斐波那契數列第三部分
本週我們將開始一個關於斐波那契數列的三期系列講座，這個數字在數學和自然界中都隨處可見。不過，在此之前，我先奉上每週例行的邏輯謎題。
邏輯謎題
在下圖所示的圖形中，畫四條線，筆不要離開紙面，穿過所有九個點。
斐波那契數列第三部分
本週我們將繼續探討斐波那契數列。在深入講解之前，讓我先定義一下：
F n = 斐波那契數列中的第n 個數。
本週我將展示一個公式，可以直接求出斐波那契數列中的任一項，而無需定義任何先前的項。
在上週的簡報中，我展示了當 n 趨於無限大時，斐波那契數列中每個數與前一個數的比值如何趨近於 Φ。 Φ 是下列方程式的兩個解之一，稱為黃金分割率。
Φ₂ – Φ – 1 = 0
重新排列：
（1）Φ 2 = Φ + 1
接下來，將等式（1）兩邊同時乘以Φ：
Φ₃ = Φ₂ + Φ
6;font-family: 'Open Sans',sans-serif;color: #313131!important; margin-top: 20px;">= Φ + 1 + Φ (將 Φ 2的值代入上面的公式 (1))= 2 Φ + 1
接下來，將等式（1）兩邊乘以Φ2 ：
Φ₄ = Φ₃ + Φ₂
= (2 Φ + 1) + (Φ + 1) (代入上述 Φ 3 + Φ 2的值)
=3 Φ + 2
接下來，將等式（1）兩邊乘以Φ3 ：
Φ₅ = Φ₄ + Φ₃
= (3Φ + 2) + (2Φ + 1)（代入上述Φ3 + Φ2的值）
=5 Φ + 3
接下來，將等式（1）兩邊乘以Φ4 ：
Φ6 = Φ5 + Φ4
= (5Φ + 3) + (3Φ + 2)（代入上述Φ3 + Φ2的值）
=8 Φ + 5
接下來，將等式（1）兩邊乘以Φ5 ：
Φ7 = Φ6 + Φ5
= (8Φ + 5) + (5Φ + 3)（代入上述Φ3 + Φ2的值）
=13 Φ + 8
看什麼規律了嗎？
（2） Φn = FnΦ + Fn -1
回想一下，方程式 Φ 2 – Φ – 1 = 0 有兩個解。利用二次方程，我們將這兩個解定義為 x 和 y。
6;font-family: 'Open Sans',sans-serif;color: #313131!important;margin-top: 20px;"> x = 1 + √5 2y = 1 - √5 2
將這些解代入方程式（2）：
（3）x n = F n x + F n-1
（4）y n = F n y + F n-1-
由公式 (3) 減去公式 (4)：
x n – y n = F n x - F n y
x n – y n = F n (xy)
F n = (x n – y n ) / (xy)
讓我們回到上面定義的 x 和 y。
我知道用這種方法實際計算斐波那契數會很麻煩。但是，我仍然覺得任何斐波那契數都存在純粹形式這件事非常神奇。
我要感謝 blackpenredpen YouTube 頻道，本期簡報中所展示的方法就來自於此。您可以在 影片「從二次方程式推導斐波那契數列的第 n 項公式」中找到它。
邏輯謎題答案
