歐拉恆等式
本週我們來挑戰一個大難題：證明歐拉恆等式。如果你忘了，它或許是數學中最美的恆等式：e ^(πi +1) = 0。我太喜歡這個恆等式了，它印在我的名片上，我甚至可能把它紋在身上。不過，在此之前，我先奉上每週例行的邏輯謎題。
邏輯謎題
你有四條鍊子，每條鍊子由三個鏈環組成。如何將它們連接起來，形成一個包含12個鏈環的圓環，並且只能剪掉其中三個鏈環？
證明歐拉恆等式
數學中最著名的方程式之一是歐拉恆等式，它表示 e πi +1 = 0。它的神奇之處在於它結合了數學中最重要的五個數字：0、1、e、π 和 i。
我的解法需要用到泰勒展開式的公式。提醒一下，公式是：
其中 f (n) (0) = f(x) 在 0 處的 n 階導數。
我個人認為這個方程式是數學中最令人驚嘆、最美麗的方程式之一。對我而言，它證明了數學中蘊含著某種神聖的特質。
也就是說，以下是我們將要用到的三個常用函數的泰勒展開式：
讓我們利用 e x的泰勒展開式來求 e πi 。
上述方程式可以表示為 sin(x) 和 cos(x) 的函數：
= cos(π)+i ×sin(π)
= -1 + i ×0
= -1
所以，我們有 e πi = -1。這可以重新整理成通常的形式：
e πi +1 = 0
邏輯謎題解答
- 取四條鏈中的一條，將其打開並分開所有三個鏈環。將另外三條鏈分別稱為 1、2 和 3。
- 使用一個連接環將鏈 1 和鏈 2 連接起來，形成一個七環鏈。
- 使用另一個鏈環將步驟 2 中的七鏈與鏈 3 連接起來，形成一個 11 鏈。
- 使用最後一個鏈環將步驟 3 中的 11 鏈環的兩端連接起來，形成一個 12 鏈環的圓圈。