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井字遊戲
簡介
井字棋（Tic Tac Toe）是一款基於同名真實遊戲的賭場遊戲。一位讀者告訴我，他在路易斯安那州金德市的庫沙塔賭場度假村（Coushatta Casino Resort）見過這款遊戲。遊戲有三種下注方式：X、O和平手。標示X或O的牌會在井字棋盤上隨機抽取，以確定獲勝結果。
規則
- 遊戲使用四副52張牌的牌組。每副牌包含26張標示為X的牌和26張標示為O的牌。
- 從牌盒中抽取牌，放在井字棋盤的9個方格上。牌會一直擺放，直到決勝負（X或O且三張牌連成一線），或者棋盤上的每個方格都被覆蓋，以先發生者為準。
- 押注X或O獲勝，賠付等額金額。若出現平局，押注X或O的玩家將損失一半。
- 平手獲勝的賠率為 14 比 1。
分析
下表顯示了 0 到 9 張 X 牌的機率，以及在給定 X 數量的情況下平局的機率。第一列是 9 張牌中 X 的數量。第二列是給定 X 數量的牌的機率。第三列是在給定該行 X 數量的情況下平局的條件機率。第四列是第二列和第三列的乘積。右下角單元格顯示平局的機率為 6.3735%。
井字遊戲中的平手機率－四副牌
| 數位 Xs | 可能性 | 平局的條件機率 | 產品 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.001631 | 0 | 0 |
| 1 | 0.015898 | 0 | 0 |
| 2 | 0.067526 | 0 | 0 |
| 3 | 0.163991 | 0 | 0 |
| 4 | 0.250955 | 0.126984 | 0.031867 |
| 5 | 0.250955 | 0.126984 | 0.031867 |
| 6 | 0.163991 | 0 | 0 |
| 7 | 0.067526 | 0 | 0 |
| 8 | 0.015898 | 0 | 0 |
| 9 | 0.001631 | 0 | 0 |
| 全部的 | 1.000000 | 0.063735 |
如果有 4 個 X 和 5 個 O，那麼在棋盤上放置 X 和 O 的組合方法共有 (9,4)=126 種。在這 126 種方法中，有 16 種會導致平局。下圖顯示了三種平局模式，以及每種模式可以旋轉或翻轉的方式數量。因此，給定 4 個或 5 個 X，平局的機率為 16/126 = 12.70%。
一旦可以接受平局機率為 6.3735%，剩下的就簡單了。沒有平局的機率是 100% - 6.3735% = 93.6265%。 X 或 O 獲勝的機率分別是該機率的一半，即 46.8133%。
下表顯示了X和O投注的機率及其對回報的貢獻。右下角單元格顯示莊家優勢為3.19%。
X/O 投注回報 — 四副牌
| 事件 | 可能性 | 支付 | 返回 |
|---|---|---|---|
| 贏 | 0.468133 | 1 | 0.468133 |
| 領帶 | 0.063735 | -0.5 | -0.031867 |
| 損失 | 0.468133 | -1 | -0.468133 |
| 全部的 | 1.000000 | -0.031867 |
下表顯示了平局投注中每種結果的機率及其對回報的貢獻。右下角單元格顯示莊家優勢為 4.40%。
和局投注回報 — 四副牌
| 事件 | 可能性 | 支付 | 返回 |
|---|---|---|---|
| 贏 | 0.063735 | 14 | 0.892286 |
| 損失 | 0.936265 | -1 | -0.936265 |
| 全部的 | 1.000000 | -0.043980 |
最終表格顯示了 4 至 8 副牌每次下注的莊家優勢（假設其他規則不變）。
莊家優勢－4-8副牌
| 甲板 | 去骨 | 領帶 |
|---|---|---|
| 4 | 3.19% | 4.40% |
| 5 | 3.17% | 4.78% |
| 6 | 3.17% | 5.03% |
| 7 | 3.16% | 5.20% |
| 8 | 3.16% | 5.34% |