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德克薩斯州選擇他們
簡介
德州撲克「選我」（Texas Choose 'Em）是一款簡單的撲克遊戲，由龍魚公司（Dragon Fish）開發，該公司為網路賭場提供遊戲。遊戲玩法很簡單——隨機顯示一手五張牌的撲克牌。玩家可以押注另一手牌的點數會高於或低於這手牌。每次下注的賠率與獲勝機率成正比。
規則
- 使用一副 52 張牌的撲克牌。
- 同一副牌中會發出兩手五張牌的撲克牌。牌面朝上的是頂牌，牌面朝下的是底牌。
- 每手牌都會顯示賠償金。例如，下注1美元，贏取最高手牌的賠付可能是1.46美元，贏取最低手牌的賠付可能是2.76美元。所有贏款均以「一賠一」計算，這意味著賠付包含原始投注金的回饋。
- 玩家可以選擇押注任一手牌，也可以不押注。
- 選擇要下注的一手牌後，將顯示最底下的一手牌。
- 如果玩家獲勝，他可以在下一手牌中繼續贏錢，或者「收取」他的獎金並重新開始。
- 如果玩家選擇連贏，那麼上一場遊戲的底牌將被移到頂部，與新的隨機牌競爭。
- 我認為平局是平局，儘管我從未見過這種情況來證實這一點。
例子
我下注1美元，拿到了上面那手牌。這手牌剛好接近五張牌梭哈的中位數。我的選擇是押注2，將我的1美元翻倍至1.89美元，或是押注那手未知的牌，翻倍至1.90美元。以下是對此情況的分析：
範例手牌 1
| 手 | 贏 | 支付 （一人） | 組合 | 可能性 | 預期的 返回 |
|---|---|---|---|---|---|
| 頂部 | 1.89 | 1.89 | 769,282 | 0.501508 | 0.947867 |
| 底部 | 1.90 | 1.90 | 764,630 | 0.498475 | 0.947102 |
| 領帶 | 二十七 | 0.000018 | |||
| 全部的 | 1,533,939 | 1.000000 |
右欄顯示，上手牌的預期報酬率為 94.79%，下手牌的預期報酬率為 94.71%。儘管回報率較低，我還是押注了下手牌。
上圖顯示，我底牌的一對六擊敗了一對二，所以我晉級了。
底牌中的一對6被移到了頂牌。我的選擇是押注這手未知的底牌，或者退出並拿走我的1.90美元。以下是對此情況的分析：
範例手牌 2
| 手 | 贏 | 支付 （一人） | 組合 | 可能性 | 預期的 返回 |
|---|---|---|---|---|---|
| 頂部 | 2.77 | 1.457895 | 1,010,892 | 0.659017 | 0.960811 |
| 底部 | 5.19 | 2.731579 | 523,020 | 0.340965 | 0.931374 |
| 領帶 | 二十七 | 0.000018 | |||
| 全部的 | 1,533,939 | 1.000000 |
右欄顯示，上方牌型的預期報酬率為 96.08%，下方牌型的預期報酬率為 93.14%。我選擇押注上方的一對六。
上圖顯示，我上面的一對6擊敗了下面的A，所以我可以加註2.77美元。下面的A被移到上面的牌組。
我的下一個選擇是押注A高牌（未知的底牌），或者退出並拿回我的2.77美元。以下是對此情況的分析：
範例手牌 3
| 手 | 贏 | 支付 （一人） | 組合 | 可能性 | 預期的 返回 |
|---|---|---|---|---|---|
| 頂部 | 6.65 | 2.400722 | 597,847 | 0.389746 | 0.936109 |
| 底部 | 4.35 | 1.570397 | 935,850 | 0.610096 | 0.958093 |
| 領帶 | 242 | 0.000158 | |||
| 全部的 | 1,533,939 | 1.000000 |
右欄顯示，上手牌的預期報酬率為 93.61%，下手牌的預期報酬率為 95.81%。我選擇押注未知的下手牌。
上圖顯示，我底牌的一對Q擊敗了頂牌的高A，所以我可以加註4.35美元。底牌移至頂牌。
我的下一個選擇是押註一對Q（未知的底牌），或是棄牌，拿回我的4.35美元。以下是對此情況的分析：
範例手牌 4
| 手 | 贏 | 支付 （一人） | 組合 | 可能性 | 預期的 返回 |
|---|---|---|---|---|---|
| 頂部 | 5.09 | 1.170115 | 1,284,691 | 0.837511 | 0.980061 |
| 底部 | 24.49 | 5.629885 | 249,221 | 0.162471 | 0.914695 |
| 領帶 | 二十七 | 0.000018 | |||
| 全部的 | 1,533,939 | 1.000000 |
右欄顯示，上手牌的預期報酬率為 98.01%，下手牌的預期報酬率為 91.47%。我選擇押注上手牌的 Q。
上圖顯示，我上面的一對Q贏了下面的一對10，所以我可以加註5.09美元。下面的牌移到了上面的牌。
我的下一個選擇是押註一對10（未知的底牌），或是棄牌，拿回我的5.09美元。以下是對此情況的分析：
例手 5
| 手 | 贏 | 支付 （一人） | 組合 | 可能性 | 預期的 返回 |
|---|---|---|---|---|---|
| 頂部 | 6.21 | 1.220039 | 1,229,568 | 0.801576 | 0.978043 |
| 底部 | 23.57 | 4.630648 | 304,344 | 0.198407 | 0.918752 |
| 領帶 | 二十七 | 0.000018 | |||
| 全部的 | 1,533,939 | 1.000000 |
右欄顯示，上方牌型的預期報酬率為 97.80%，下方牌型的預期報酬率為 91.88%。我選擇押注上方的一對 10。
上圖顯示，我上面的一對10擊敗了下面的高牌J，所以我可以加註6.21美元。下面的牌移到了上面的牌。
我的下一個選擇是押注J高，也就是未知的底牌，或是退出並拿走我的6.21美元。以下是對此情況的分析：
範例手牌 6
| 手 | 贏 | 支付 （一人） | 組合 | 可能性 | 預期的 返回 |
|---|---|---|---|---|---|
| 頂部 | 78.43 | 12.629630 | 110,242 | 0.071869 | 0.908657 |
| 底部 | 6.58 | 1.059581 | 1,423,454 | 0.927973 | 0.983263 |
| 領帶 | 243 | 0.000158 | |||
| 全部的 | 1,533,939 | 1.000000 |
右欄顯示，上手牌的預期報酬率為 90.87%，下手牌的預期報酬率為 98.33%。我選擇押注未知的下手牌。
上圖顯示，我的底牌K高贏了頂牌J高，所以我可以加註6.58美元。底牌移至頂牌。
我的下一個選擇是押注K高牌（未知的底牌），或者退出並拿走我的6.58美元。以下是對此情況的分析：
範例手牌 7
| 手 | 贏 | 支付 （一人） | 組合 | 可能性 | 預期的 返回 |
|---|---|---|---|---|---|
| 頂部 | 28.82 | 4.379939 | 322,537 | 0.210267 | 0.921995 |
| 底部 | 8.09 | 1.229483 | 1,211,160 | 0.789575 | 0.970769 |
| 領帶 | 242 | 0.000158 | |||
| 全部的 | 1,533,939 | 1.000000 |
右欄顯示，上手牌的預期報酬率為 92.20%，下手牌的預期報酬率為 97.08%。我決定不顧一切，押注那張微薄的 K 高牌！說實話，我以為我的例子早就說明了一切，我寧願輸。
上圖顯示，我的頂牌K擊敗了底牌9，所以我可以贏得28.82美元！底牌移至頂牌。
我的下一個選擇是押注9高，也就是未知的底牌，或是退出並拿回我的28.82美元。以下是對此情況的分析：
範例手牌 8
| 手 | 贏 | 支付 （一人） | 組合 | 可能性 | 預期的 返回 |
|---|---|---|---|---|---|
| 頂部 | 3656.11 | 126.860167 | 10,856 | 0.007077 | 0.902343 |
| 底部 | 28.82 | 1.000000 | 1,522,842 | 0.992766 | 0.992766 |
| 領帶 | 241 | 0.000157 | |||
| 全部的 | 1,533,939 | 1.000000 |
右欄顯示，上手牌的預期報酬率為 90.23%，下手牌的預期報酬率為 99.28%。雖然下手牌的回報率更高，但請注意，下注只能贏或平手。我原則上不會這麼做。任何風險都應該有回報。所以我在九點高牌投了個萬福瑪利亞。
不幸的是，瑪麗在那一局不站在我這邊，我輸給了一對三。
分析
我寫了一個程式來分析任何一手牌擊敗其他47張牌中隨機一手牌的機率。結果顯示，遊戲提供的賠率與獲勝機率相當。在觀察了大約40個例子後，我發現優勢的次數為零。
在計算每次投注的預期價值時，我發現押注熱門球隊的價值更高。熱門球隊越大，賠率就越高，反之，賠率就越低。
整體而言，根據我的隨機牌局樣本，隨機選擇下注牌局的玩家預期回報率為94.78%，賭場優勢為5.22%。如果玩家總是押注熱門牌局，那麼我的預期回報率為97.05%，賭場優勢為2.95%。
影片
我製作了上述範例手的YouTube影片。