河船德州撲克

簡介

河船德州撲克是一種流行於密西西比州和印第安納州的撲克賭桌遊戲。通常我會自己為本網站進行所有分析。不過，這款遊戲的數學計算是由Stanley Ko完成的。遊戲所有者向我提供了Stanley的報告，並允許我在此網站上發布。我只能獨立保證河船下注表的準確性。

1. 使用一副 52 張牌的撲克牌。
2. 遊戲開始時，玩家進行前註，並可選擇進行河牌注。
3. 發牌人會給每位玩家和自己各發兩張牌，牌面朝下。玩家可以查看自己的牌，但不允許透露資訊。
4. 玩家有以下選項。
   • 棄牌：玩家輸掉前註。河牌注（如有）仍然有效。
   • 跟注：玩家必須下注與底注完全相等的額外賭注。
   • 加註：玩家必須下額外的賭注，金額剛好是底注的兩倍。
5. 發牌人發出三張面朝上的公共牌。
6. 發牌人將翻開他的兩張底牌。
7. 莊家必須持有KJ或更高牌型才算合格。例如，最低合格牌型為K、J、4、3、2。若莊家不合格，所有前註將按1比1賠付，所有跟注和加註將按平手。
8. 如果莊家有資格並且玩家擁有更高的牌，那麼底注和跟注或加註將支付 1 比 1。
9. 如果莊家符合資格且莊家手牌較大，或出現平局，則底注和跟注或加註將會輸。
10. 荷官將只根據玩家手牌的牌值來決定河牌注。遊戲製造商提供四種賠付表，如下所示。

策略

下表根據玩家最初兩張牌，展示了最佳玩家策略。沒有棄牌的代碼，因為玩家永遠不應該棄牌。



分析

依照最佳策略，前註的賭場優勢為2.2240%。平均而言，玩家跟注的機率為73.3032%，加註的機率為26.6968%，最終平均投注額為2.2670個單位。因此，風險因素為0.9810%。

下表顯示了每手初始牌的機率以及每手牌給出的每個結果的機率。

河船德州撲克機率表

初始手牌	可能性	Win 3	贏2	贏 1	輸2	輸3
非同花 23	0.00905	0	0.128983	0.219176	0.651841	0
非同花24	0.00905	0	0.136228	0.219296	0.644476	0
非同花 25	0.00905	0	0.146682	0.219417	0.633901	0
不合身的 26	0.00905	0	0.157035	0.219537	0.623429	0
不合身的 27	0.00905	0	0.172098	0.219567	0.608335	0
非同花色 28	0.00905	0	0.192181	0.219567	0.588252	0
非同花 29	0.00905	0	0.215257	0.219447	0.565296	0
非同花 2T	0.00905	0	0.241543	0.219326	0.539131	0
非同花 2J	0.00905	0	0.270936	0.225312	0.503753	0
非同花2Q	0.00905	0	0.30825	0.225191	0.466559	0
不適合 2K	0.00905	0	0.332831	0.234335	0.432834	0
非同花 2A	0.00905	0	0.372709	0.247808	0.379483	0
非同花 34	0.00905	0	0.145283	0.219386	0.635331	0
不合身 35	0.00905	0	0.155737	0.219507	0.624756	0
不適合 36	0.00905	0	0.16609	0.219627	0.614283	0
不適合 37	0.00905	0	0.181189	0.219657	0.599154	0
不適合 38	0.00905	0	0.199426	0.219687	0.580887	0
不適合 39	0.00905	0	0.222502	0.219567	0.557931	0
非同花3T	0.00905	0	0.248788	0.219447	0.531765	0
非同花 3J	0.00905	0	0.278722	0.225432	0.495846	0
非同花3Q	0.00905	0	0.316037	0.225312	0.458652	0
不適合 3K	0.00905	0	0.341375	0.234455	0.424169	0
非同花3A	0.00905	0.382518	0	0.247928	0	0.369554
不合身 45	0.00905	0	0.164793	0.219597	0.61561	0
不適合 46	0.00905	0	0.175145	0.219717	0.605138	0
不適合 47	0.00905	0	0.190244	0.219747	0.590008	0
不適合 48	0.00905	0	0.208517	0.219778	0.571705	0
不適合 49	0.00905	0	0.229747	0.219687	0.550566	0
非同花 4T	0.00905	0	0.256033	0.219567	0.5244	0
非同花 4J	0.00905	0	0.286509	0.225552	0.487939	0
非同花4Q	0.00905	0	0.323823	0.225432	0.450745	0
不適合 4K	0.00905	0	0.34992	0.234575	0.415504	0
非同花 4A	0.00905	0.392326	0	0.248048	0	0.359625
不適合 56	0.00905	0	0.1842	0.219807	0.595992	0
不適合 57	0.00905	0	0.1993	0.219838	0.580863	0
不適合 58	0.00905	0	0.217573	0.219868	0.56256	0
不適合 59	0.00905	0	0.238838	0.219778	0.541384	0
不適合的 5T	0.00905	0	0.263278	0.219687	0.517035	0
非同花 5J	0.00905	0	0.294295	0.225673	0.480033	0
非同花5Q	0.00905	0	0.33161	0.225552	0.442838	0
不適合 5K	0.00905	0	0.358465	0.234696	0.406839	0
非同花5A	0.00905	0.402134	0	0.248169	0	0.349696
不適合 67	0.00905	0	0.208391	0.219928	0.571681	0
不適合 68	0.00905	0	0.226664	0.219958	0.553378	0
不適合 69	0.00905	0	0.24793	0.219868	0.532202	0
不適合的 6T	0.00905	0	0.272405	0.219778	0.507817	0
非同花6J	0.00905	0	0.302118	0.225793	0.47209	0
非同花6Q	0.00905	0	0.339432	0.225673	0.434895	0
不適合 6K	0.00905	0	0.367046	0.234816	0.398138	0
非同花6A	0.00905	0.410232	0	0.248289	0	0.341479
非同花色 78	0.00905	0	0.235984	0.219928	0.544088	0
不適合 79	0.00905	0	0.25725	0.219838	0.522913	0
非同花 7T	0.00905	0	0.281725	0.219747	0.498527	0
非同花7J	0.00905	0	0.311739	0.225763	0.462499	0
非同花7Q	0.00905	0	0.347219	0.225673	0.427109	0
不適合 7K	0.00905	0	0.37559	0.234816	0.389593	0
非同花7A	0.00905	0.42004	0	0.248289	0	0.33167
不適合 89	0.00905	0	0.266534	0.219807	0.513659	0
不適合的 8T	0.00905	0	0.291009	0.219717	0.489273	0
非同花 8J	0.00905	0	0.321564	0.225733	0.452704	0
非同花8Q	0.00905	0	0.35708	0.225642	0.417278	0
不適合的8K	0.00905	0.384135	0	0.234816	0	0.381049
非同花8A	0.00905	0.429849	0	0.248289	0	0.321862
非同花9T	0.00905	0	0.299989	0.219597	0.480414	0
非同花9J	0.00905	0	0.331037	0.225612	0.443351	0
非同花9Q	0.00905	0	0.366554	0.225522	0.407925	0
不適合 9K	0.00905	0.394367	0	0.234696	0	0.370937
非同花9A	0.00905	0.439777	0	0.248169	0	0.312054
不適合的 TJ	0.00905	0	0.340186	0.225492	0.434323	0
不適合的 TQ	0.00905	0	0.375654	0.225402	0.398945	0
不適合的 TK	0.00905	0.404225	0	0.234575	0	0.361199
不適合的TA	0.00905	0.450899	0	0.248048	0	0.301052
非同花JQ	0.00905	0.385222	0	0.232021	0	0.382757
不適合的JK	0.00905	0.407468	0	0.239503	0	0.353028
不適合的 JA	0.00905	0.453968	0	0.254668	0	0.291364
非同花 QK	0.00905	0.417325	0	0.239383	0	0.343292
不合適的品質保證	0.00905	0.463776	0	0.254547	0	0.281676
不適合的 KA	0.00905	0.463523	0	0.264537	0	0.27194
23號花色	0.003017	0	0.135208	0.219127	0.645665	0
24號花色	0.003017	0	0.14242	0.219247	0.638333	0
25號花色	0.003017	0	0.152818	0.219367	0.627814	0
26號花色	0.003017	0	0.16314	0.219488	0.617372	0
27號花色	0.003017	0	0.178128	0.219518	0.602354	0
28號花色	0.003017	0	0.198089	0.219518	0.582393	0
29號花色	0.003017	0	0.221023	0.219397	0.559579	0
同花 2T	0.003017	0	0.247144	0.219277	0.533579	0
同花 2J	0.003017	0	0.276258	0.225272	0.49847	0
同花2Q	0.003017	0	0.313295	0.225152	0.461553	0
同花2K	0.003017	0	0.337669	0.234308	0.428023	0
同花 2A	0.003017	0.377063	0	0.247808	0	0.375129
34號花色	0.003017	0	0.151419	0.219338	0.629243	0
適合 35	0.003017	0	0.161817	0.219458	0.618725	0
36號花色	0.003017	0	0.172139	0.219578	0.608283	0
37號套裝	0.003017	0	0.187163	0.219608	0.593229	0
適合 38	0.003017	0	0.205301	0.219638	0.57506	0
39號套裝	0.003017	0	0.228236	0.219518	0.552246	0
同花 3T	0.003017	0	0.254357	0.219397	0.526246	0
同花 3J	0.003017	0	0.284004	0.225392	0.490604	0
同花3Q	0.003017	0	0.321041	0.225272	0.453687	0
適合3K	0.003017	0	0.346161	0.234429	0.419411	0
同花 3A	0.003017	0.386799	0	0.247928	0	0.365272
適合 45	0.003017	0	0.170816	0.219549	0.609635	0
適合 46	0.003017	0	0.181138	0.219669	0.599192	0
適合 47	0.003017	0	0.196162	0.219699	0.58414	0
適合 48	0.003017	0	0.214336	0.219729	0.565935	0
49號套裝	0.003017	0	0.235449	0.219638	0.544913	0
同花 4T	0.003017	0	0.26157	0.219518	0.518912	0
同花 4J	0.003017	0	0.291749	0.225513	0.482738	0
同花4Q	0.003017	0	0.328786	0.225392	0.445821	0
適合4K	0.003017	0	0.354653	0.234549	0.410798	0
同花 4A	0.003017	0.396535	0	0.248048	0	0.355416
適合 56	0.003017	0	0.190137	0.21976	0.590103	0
適合 57	0.003017	0	0.205161	0.219789	0.575049	0
適合 58	0.003017	0	0.223335	0.219819	0.556846	0
適合 59	0.003017	0	0.244483	0.219729	0.535788	0
適合 5T	0.003017	0	0.268782	0.219638	0.511579	0
同花 5J	0.003017	0	0.299495	0.225633	0.474871	0
同花5Q	0.003017	0	0.336532	0.225513	0.437955	0
適合5K	0.003017	0	0.363145	0.234669	0.402186	0
同花 5A	0.003017	0.406271	0	0.248169	0	0.345559
適合 67	0.003017	0	0.214198	0.21988	0.565922	0
適合 68	0.003017	0	0.232372	0.21991	0.547718	0
適合 69	0.003017	0	0.253521	0.219819	0.526661	0
同花6T	0.003017	0	0.277855	0.219729	0.502416	0
同花 6J	0.003017	0	0.307279	0.225753	0.466967	0
同花6Q	0.003017	0	0.344316	0.225633	0.43005	0
適合6K	0.003017	0	0.371676	0.23479	0.393535	0
同花 6A	0.003017	0.414323	0	0.248289	0	0.337387
78號套裝	0.003017	0	0.241636	0.21988	0.538484	0
適合 79	0.003017	0	0.262784	0.219789	0.517426	0
同花 7T	0.003017	0	0.287119	0.219699	0.493183	0
同花 7J	0.003017	0	0.316839	0.225724	0.457437	0
同花7Q	0.003017	0	0.352067	0.225633	0.4223	0
同花7K	0.003017	0	0.380172	0.23479	0.385038	0
同花 7A	0.003017	0.424064	0	0.248289	0	0.327647
適合 89	0.003017	0	0.272012	0.21976	0.508228	0
同花8T	0.003017	0	0.296347	0.219669	0.483984	0
同花 8J	0.003017	0	0.3266	0.225694	0.447706	0
同花 8Q	0.003017	0	0.361863	0.225603	0.412533	0
適合8K	0.003017	0.388669	0	0.23479	0	0.376542
同花 8A	0.003017	0.433804	0	0.248289	0	0.317906
同花 9T	0.003017	0	0.305277	0.219549	0.475174	0
同花9J	0.003017	0	0.336016	0.225573	0.438411	0
同花9Q	0.003017	0	0.371279	0.225483	0.403238	0
同花9K	0.003017	0.398831	0	0.234669	0	0.3665
同花9A	0.003017	0.443665	0	0.248169	0	0.308166
同花TJ	0.003017	0	0.345111	0.225453	0.429436	0
同花TQ	0.003017	0	0.380327	0.225362	0.394311	0
同花TK	0.003017	0.408625	0	0.234549	0	0.356826
適合的TA	0.003017	0.454703	0	0.248048	0	0.297248
同花JQ	0.003017	0.389739	0	0.231982	0	0.378279
同花JK	0.003017	0.411805	0	0.239503	0	0.348692
同花 JA	0.003017	0.457708	0	0.254668	0	0.287624
同花QK	0.003017	0.421597	0	0.239383	0	0.33902
適合的 QA	0.003017	0.467453	0	0.254547	0	0.277999
適合的 KA	0.003017	0.467135	0	0.264537	0	0.268328
第 22 對	0.004525	0.447155	0	0.215914	0	0.336931
第 33 對	0.004525	0.471466	0	0.216155	0	0.312379
第 44 對	0.004525	0.495777	0	0.216395	0	0.287827
55 對	0.004525	0.520088	0	0.216636	0	0.263276
66 對	0.004525	0.544158	0	0.216877	0	0.238965
對子 77	0.004525	0.568469	0	0.216877	0	0.214654
對 88	0.004525	0.592779	0	0.216877	0	0.190343
99對	0.004525	0.617331	0	0.216636	0	0.166033
配對 TT	0.004525	0.641882	0	0.216395	0	0.141722
對子 JJ	0.004525	0.652714	0	0.229634	0	0.117652
配對QQ	0.004525	0.677024	0	0.229394	0	0.093582
對子 KK	0.004525	0.681116	0	0.249372	0	0.069511
對AA	0.004525	0.675098	0	0.279701	0	0.045201

下表顯示了每種可能結果的總體機率。

Riverboat Hold'em 的回報表

贏	可能性	返回
3	0.121363	0.364088
2	0.192021	0.384042
1	0.228022	0.228022
-2	0.377389	-0.754779
-3	0.081205	-0.243614
全部的	1	-0.02224

河牌投注

遊戲開發商提供的資料包含四種可能的河牌注賠率表。下方的四張賠率表分別顯示了四種賠率表、每種結果的機率和回報，以及右下角單元格中的玩家預期值。

遊戲製作者告訴我，密西西比州的賭場遵循支付表 3，印第安納州的賭場遵循支付表 4。

河牌注 - 賠償表 1

事件	支付	組合	可能性	返回
皇家同花順	10000	4	0.000002	0.015391
同花順	1000	三十六	0.000014	0.013852
四條	100	624	0.00024	0.02401
客滿	20	3744	0.001441	0.028812
沖洗	15	5108	0.001965	0.029481
直的	8	10200	0.003925	0.031397
三條	4	54912	0.021128	0.084514
兩對	3	123552	0.047539	0.142617
九點或更好	1	506880	0.195032	0.195032
所有其他	-1	1893900	0.728715	-0.728715
全部的		2598960	1	-0.16361

河牌注 - 賠率表 2

事件	支付	組合	可能性	返回
皇家同花順	250	4	0.000002	0.000385
同花順	50	三十六	0.000014	0.000693
四條	20	624	0.00024	0.004802
客滿	12	3744	0.001441	0.017287
沖洗	9	5108	0.001965	0.017689
直的	5	10200	0.003925	0.019623
三條	4	54912	0.021128	0.084514
兩對	3	123552	0.047539	0.142617
九點或更好	2	506880	0.195032	0.390064
所有其他	-1	1893900	0.728715	-0.728715
全部的		2598960	1	-0.051042

河牌投注 - 賠率表 3（密西西比州）

事件	支付	組合	可能性	返回
皇家同花順	250	4	0.000002	0.000385
同花順	50	三十六	0.000014	0.000693
四條	二十五	624	0.00024	0.006002
客滿	15	3744	0.001441	0.021609
沖洗	10	5108	0.001965	0.019654
直的	8	10200	0.003925	0.031397
三條	5	54912	0.021128	0.105642
兩對	3	123552	0.047539	0.142617
七分或更好	1	675840	0.260042	0.260042
所有其他	-1	1724940	0.663704	-0.663704
全部的		2598960	1	-0.075663

河牌投注 - 賠率表 4（印第安納州）

事件	支付	組合	可能性	返回
皇家同花順	500	4	0.000002	0.00077
同花順	100	三十六	0.000014	0.001385
四條	40	624	0.00024	0.009604
客滿	15	3744	0.001441	0.021609
沖洗	8	5108	0.001965	0.015723
直的	6	10200	0.003925	0.023548
三條	4	54912	0.021128	0.084514
兩對	3	123552	0.047539	0.142617
六分或更好	1	760320	0.292548	0.292548
所有其他	-1	1640460	0.631199	-0.631199
全部的		2598960	1	-0.038882

撰寫者: Michael Shackleford