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撲克數學
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五張牌梭哈的衍生遊戲
我被問過很多次如何推導出每手牌的機率，因此我特意創建了本節來解釋計算過程。這部分內容需要一定的數學基礎；任何高中數學基礎紮實的人都應該要能理解。這裡運用的技巧可以應用於各種機率問題。
階乘函數
如果你已經了解階乘函數，可以跳過這一步。如果你認為“5！”的意思是喊出數字“5”，那就繼續閱讀。
客廳沙發的說明書可能會建議您定期重新排列墊子。假設您的沙發有四個墊子。您可以用多少種組合來排列它們？答案是 4!，即 24。顯然，第一個墊子有 4 個位置可以放，然後剩下 3 個位置可以放第二個墊子，2 個位置可以放第三個墊子，最後一個墊子只有 1 個位置，即 4*3*2*1 = 24。如果您有 n 個墊子，則有 n*(n-1)*(n-2)* ... * 1 = n! 種排列方式。任何科學計算器都應該有一個階乘按鈕，通常表示為 x!，Excel 中的 fact(x) 函數將給出 x 的階乘。排列 52 張卡片的總方法數為 52! = 8.065818 * 10 67 。
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組合函數
假設您想從辦公室的 10 個人中選出 4 個人組成一個委員會。有多少種不同的人員組合可供選擇？答案是 10!/(4!*(10-4)!) = 210。一般情況是，如果您必須從 x 個人中選出 y 個人組成一個委員會，那麼就有 x!/(y!*(xy)!) 種組合可供選擇。為什麼？對於給出的例子，有 10! = 3,628,800 種方法可以按順序排列辦公室中的 10 個人。您可以將前四個人視為委員會成員，並將其他六個人視為幸運兒。但是，您不必為委員會中的人或不在委員會中的人確定順序。有 4! = 24 種方法來安排委員會中的人員，有 6! = 720 種方法來安排其他人。將 10! 除以 4! 和 6! 的乘積您將劃分出委員會內和委員會外人員的順序，只剩下組合數，具體來說是 (1*2*3*4*5*6*7*8*9*10)/((1*2*3*4)*(1*2*3*4*9*10)/((1*2*3*4)*(1*2*3*4*9*10)/((1*2*3*4)*(1*2*3*4*9*10)/((1*2*3*4)*(1*2*3*4*9*10)/((1*2*3*4)*(1*2*3*4*9*10)/((1*2*3*4)*(1*2*3*4*9*10)/((1*2*3*4)*(1*2*3*4*9*10)) = 210。 Excel 中的combin (x,y) 函數會告訴您可以從 x 排列一組 y 的方式數。
現在我們可以確定一副 52 張牌中五張牌可能的組合數。答案是 combin(52,5)，即 52!/(5!*47!) = 2,598,960。如果您的計算器沒有階乘按鈕，而且您沒有 Excel 軟體，而您手動計算，那麼請注意，47! 的所有因數都可以抵消 52! 的所有因數，結果為 (52*51*50*49*48)/(1*2*3*4*5)。任何給定組合的機率等於該組合的排列方式數除以 2,598.960 的總組合數。以下是每種組合的組合數。只需除以 2,598,960 即可得到機率。
撲克數學
下一節將介紹如何推導出五張牌梭哈中每手牌的組合數。
皇家同花順
抽取同花大順有四種不同的方法（每種花色一種）。
同花順
同花順中最大的牌可以是 5、6、7、8、9、10、J、Q 或 K。因此，總共有 9 張可能的高牌和 4 種可能的花色，從而形成 9 * 4 = 36 種不同的同花順組合。
四條
四條有13種不同的可能點數。第五張牌可能是其餘48張牌中的任何一張。因此，四條共有13 * 48 = 624種不同的點數。
客滿
三條有 13 種不同的可能點數，兩條有 12 種不同的點數。三張同點牌有 4 種排列方式（可以省略 4 張不同的牌），兩張同點牌有 combin(4,2) = 6 種排列方式。因此，總共有 13 * 12 * 4 * 6 = 3,744 種組合方式來湊成葫蘆。
沖洗
有四種花色可供選擇，組合(13,5) = 1,287 種方法可以將五張牌排列成同花色。從 1,287 種方法中減去 10，即可以組成順子的十張高牌，從而得到同花順，剩下 1,277 種方法。再乘以 4，即四花色，得到 5,108 種方法可以組成同花。
直的
順子中最大的牌可以是5、6、7、8、9、10、J、Q、K或A。因此，共有10張可能的高牌。每張牌可能有四種不同的花色。五張四種花色的牌的排列方式共有 4 × 5 = 1024 種。接下來，以 1024 種方式減去 4，得到同花的四種排列方式，即同花順，剩下 1020 種。所以，組成順子的方式總數為 10*1020=10,200 種。
三張同點牌
三條有 13 種排列方式，其中 3 張牌有 4 種排列方式。另外兩張牌有 combin(12,2) = 66 種排列方式。每張牌都有 4 張牌可供選擇。因此，三條的排列方式總數為 13 * 4 * 66 * 4 2 = 54,912。
兩對
兩種牌型共有 (13:2) = 78 種排列方式。兩種牌型的兩張牌共有 (4:2) = 6 種排列方式。第五張牌剩下 44 張。因此，兩對牌共有 78 * 6 2 * 44 = 123,552 種排列方式。
一對
一對牌共有 13 種排列方式，其中兩張牌的排列方式有 combin(4,2) = 6 種。另外三張牌的排列方式有 combin(12,3) = 220 種，每張牌有四張可供選擇。因此，一對牌共有 13 * 6 * 220 * 4 3 = 1,098,240 種排列方式。
沒有什麼
首先，計算從 13 張牌中選擇 5 種不同點數的組合方式數，即 combin(13,5) = 1287。然後，將 10 張不同的高牌（可以組成順子）減去 10，剩下 1277 種組合方式。每張牌可以是 4 種花色中的一種，因此 1277 種組合方式中，每種花色都有 4 × 5 = 1024 種不同的組合方式。但是，我們必須從 4 種組合方式（組成同花）中減去 4，剩下 1020 種。因此，最終的高牌組合方式數為 1277*1020=1,302,540。
特定高牌
例如，讓我們計算抽到J高的機率。手中必須有四張不同的牌，且都小於J，而J共有9張。從9張牌中排列出4個點數的方式數為combin(9,4) = 126。然後，對於10-9-8-7的組合，我們必須減去1，這樣才能組成順子，剩餘的方式數為125。由上式可知，花色的排列方式有1020種。將125乘以1020，得出127,500，這就是J高牌的組合方式數。對於A高牌，請記住從排列方式總數中減去2而不是1，因為AKQJ-10和5-4-3-2-A都是有效的順子。這是一個很好的網站，它還解釋瞭如何計算撲克機率。
五張牌抽牌 — 高牌
| 手 | 組合 | 可能性 |
|---|---|---|
| A 高 | 502,860 | 0.19341583 |
| 國王高 | 335,580 | 0.12912088 |
| 女王高 | 213,180 | 0.08202512 |
| 傑克高 | 127,500 | 0.04905808 |
| 10高 | 70,380 | 0.02708006 |
| 9高 | 34,680 | 0.01334380 |
| 8高 | 14,280 | 0.00549451 |
| 7高 | 4,080 | 0.00156986 |
| 全部的 | 1,302,540 | 0.501177394 |
Ace/King High
為了方便對加勒比海梭哈撲克有興趣的朋友，我將計算一下用第二大牌K抽到A的機率。其他三張牌必須各不相同，大小從Q到2不等。從11個點數中抽出3張，組合方式有(11:3) = 165種。 QJ-10減1，形成順子，剩下164種組合方式。如上所述，有1020種組合方式來排列花色，避免同花。最終，A/K的排列方式有164*1020=167,280種。內部連結
有關撲克中的許多其他機率，請參閱我的“撲克中的機率”部分。