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Mississippi Stud密⻄⻄⽐梭哈撲克 - Wizard of Odds概率巫師
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簡介
「Mississippi Stud密⻄⻄⽐梭哈撲克」是由Scientific Games所創製的⼀ 種流⾏的賭桌撲克遊戲。遊戲的玩法簡單。贏注只根據玩家的最後五張牌 ⾯。技巧在於牌⾯逐⼀翻開時、要raise提⾼多少倍的賭注、或是fold棄牌 不玩。
規則
- 玩家押注⼀筆「Ante進場注」。
- 莊家發給每位玩家各兩張牌⾯朝下的牌、還有三張牌⾯朝下的 community cards公牌。玩家可以檢視⾃⼰⼿中的牌。
- 玩家可以fold棄牌, 或是再押注⼀筆「3rd Street三牌注」、⾦額等於 「Ante進場注」的⼀倍到三倍。
- 第⼀張公牌被翻開。
- 玩家可以fold棄牌, 或是再押注⼀筆「4th Street四牌注」、⾦額等於 「Ante進場注」的⼀倍到三倍。
- 第⼆張公牌被翻開。
- 玩家可以fold棄牌, 或是再押注⼀筆「5th Street五牌注」、⾦額等於 「Ante進場注」的⼀倍到三倍。
- 第三張公牌被翻開。
- 所有的賭注根據以下的⽀付列表來⽀付賠率。
教學視頻
Wizard of Odds概率巫師說明他的「Mississippi Stud密⻄⻄⽐梭哈撲克」 ⽰範遊戲, 展⽰遊戲的規則、概率、還有策略。
Mississippi Stud密⻄⻄⽐梭哈撲克 ⽀付列表
牌⾯ | ⽀付賠率 |
---|---|
同花⼤順 | 500 ⽐ 1 |
同花順 | 100 ⽐ 1 |
四條 | 40 ⽐ 1 |
葫蘆 | 10 ⽐ 1 |
同花 | 6 ⽐ 1 |
順⼦ | 4 ⽐ 1 |
三條 | 3 ⽐ 1 |
兩對 | 2 ⽐ 1 |
Jacks或更好對⼦ | 1 ⽐ 1 |
對⼦6s 到 10s | 平⼿ |
所有其他 | 輸 |
在線上玩真錢
「Mississippi Stud密⻄⻄⽐梭哈撲克」在線上賭場並不普遍, 不過在以下 的品牌可以玩得到:
策略
以下的策略由Joseph Kisenwether所創, 經過允許在這裡發表。我可以認 證這個策略確實是最佳的策略。
牌⾯價值
- High⾼牌 = J 到 A = 2點
- Mid中牌 = 6點 到 10點 = 1點
- Low低牌 = 2點 到 5點 = 0點
2張牌
- 有任何對⼦時提⾼3x賭注。
- ⾄少有兩點牌⾯價值時提⾼1x賭注。
- 有6/5同花⾊牌⾯時提⾼1x賭注。
- 在所有其他牌⾯時棄牌。
3張牌
- 出牌時(中牌對⼦或更⾼)提⾼3x賭注。
- 可以聽牌同花⼤順時提⾼3x賭注。
- 可以聽牌同花順、中間不缺牌、567或更⾼時提⾼3x賭注。
- 可以聽牌同花順、中間缺⼀張牌、⾄少有⼀張⾼牌時提⾼3x賭注。
- 可以聽牌同花順、中間缺⼆張牌、⾄少有⼆張⾼牌時提⾼3x賭注。
- 任何其他三張同花牌⾯時提⾼1x賭注。
- 有⼀個低牌對⼦時提⾼1x賭注。
- ⾄少有三點的牌⾯價值時提⾼1x賭注。
- 可以聽牌順⼦、中間不缺牌、456或更⾼時提⾼1x賭注。
- 可以聽牌順⼦、中間缺⼀張牌、有⼆張中牌時提⾼1x賭注。
- 在所有其他牌⾯時棄牌。
4張牌
- 出牌時(中牌對⼦或更⾼)提⾼3x賭注。
- 有四張同花牌⾯時提⾼3x賭注。
- 有四張外邊順⼦、8點或更⾼順⼦時提⾼3x賭注。
- 有其他的外邊順⼦時提⾼1x賭注。
- 有低牌對⼦時提⾼1x賭注。
- 有⾄少四點牌⾯價值時提⾼1x賭注。
- 有三張中牌、並且之前⾄少提⾼過⼀次3x賭注時提⾼1x賭注。
- 在所有其他牌⾯時棄牌。
以下圖表版本是我的策略, 由Ray A所創製, 經過允許之後使⽤。
點按圖像可⾒到放⼤的版本。
分析
以下的列表顯⽰每⼀種可能牌⾯與押注順序的排列組合總數、機率、與相 應的回報率。
Mississippi Stud密⻄⻄⽐梭哈撲克 回報率列表
三牌注 | 四牌注 | 五牌注 | 牌⾯ | ⽀付 | 排列組合總數 | 機率 | 回報率 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 輸 | -4 | 43594056 | 0.279561 | -1.118244 |
1 | 1 | 1 | 對⼦6-10點 | 0 | 5078808 | 0.032569 | 0 |
1 | 1 | 1 | 對⼦J-A | 4 | 5396544 | 0.034607 | 0.138428 |
1 | 1 | 1 | 兩對 | 8 | 489888 | 0.003142 | 0.025133 |
1 | 1 | 1 | 三條 | 12 | 163296 | 0.001047 | 0.012566 |
1 | 1 | 1 | 順⼦ | 16 | 216288 | 0.001387 | 0.022192 |
1 | 1 | 1 | 同花 | 24 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 葫蘆 | 40 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 四條 | 160 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 同花順 | 400 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 同花⼤順 | 2000 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 3 | 輸 | -6 | 1079292 | 0.006921 | -0.041528 |
1 | 1 | 3 | 對⼦6-10點 | 0 | 4761396 | 0.030534 | 0 |
1 | 1 | 3 | 對⼦J-A | 6 | 5033856 | 0.032281 | 0.193687 |
1 | 1 | 3 | 兩對 | 12 | 1516536 | 0.009725 | 0.116703 |
1 | 1 | 3 | 三條 | 18 | 539832 | 0.003462 | 0.062313 |
1 | 1 | 3 | 順⼦ | 24 | 130944 | 0.00084 | 0.020153 |
1 | 1 | 3 | 同花 | 36 | 185808 | 0.001192 | 0.042896 |
1 | 1 | 3 | 葫蘆 | 60 | 14040 | 0.00009 | 0.005402 |
1 | 1 | 3 | 四條 | 240 | 1560 | 0.00001 | 0.002401 |
1 | 1 | 3 | 同花順 | 600 | 672 | 0.000004 | 0.002586 |
1 | 1 | 3 | 同花⼤順 | 3000 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 棄牌 | 無 | -3 | 7569216 | 0.04854 | -0.14562 |
1 | 3 | 1 | 輸 | -6 | 261252 | 0.001675 | -0.010052 |
1 | 3 | 1 | 對⼦6-10點 | 0 | 34236 | 0.00022 | 0 |
1 | 3 | 1 | 對⼦J-A | 6 | 41760 | 0.000268 | 0.001607 |
1 | 3 | 1 | 兩對 | 12 | 144 | 0.000001 | 0.000011 |
1 | 3 | 1 | 三條 | 18 | 48 | 0 | 0.000006 |
1 | 3 | 1 | 順⼦ | 24 | 6432 | 0.000041 | 0.00099 |
1 | 3 | 1 | 同花 | 36 | 0 | 0 | 0 |
1 | 3 | 1 | 葫蘆 | 60 | 0 | 0 | 0 |
1 | 3 | 1 | 四條 | 240 | 0 | 0 | 0 |
1 | 3 | 1 | 同花順 | 600 | 0 | 0 | 0 |
1 | 3 | 1 | 同花⼤順 | 3000 | 0 | 0 | 0 |
1 | 3 | 3 | 輸 | -8 | 88644 | 0.000568 | -0.004548 |
1 | 3 | 3 | 對⼦6-10點 | 0 | 3459060 | 0.022182 | 0 |
1 | 3 | 3 | 對⼦J-A | 8 | 4124256 | 0.026448 | 0.211585 |
1 | 3 | 3 | 兩對 | 16 | 1691352 | 0.010846 | 0.173541 |
1 | 3 | 3 | 三條 | 24 | 750168 | 0.004811 | 0.115457 |
1 | 3 | 3 | 順⼦ | 32 | 7968 | 0.000051 | 0.001635 |
1 | 3 | 3 | 同花 | 48 | 22440 | 0.000144 | 0.006907 |
1 | 3 | 3 | 葫蘆 | 80 | 76248 | 0.000489 | 0.039117 |
1 | 3 | 3 | 四條 | 320 | 8472 | 0.000054 | 0.017385 |
1 | 3 | 3 | 同花順 | 800 | 720 | 0.000005 | 0.003694 |
1 | 3 | 3 | 同花⼤順 | 4000 | 240 | 0.000002 | 0.006156 |
1 | 3 | 棄牌 | 無 | -5 | 1152 | 0.000007 | -0.000037 |
1 | 棄牌 | 無 | 無 | -2 | 11966976 | 0.076742 | -0.153484 |
3 | 1 | 1 | 輸 | -6 | 2027520 | 0.013002 | -0.078013 |
3 | 1 | 1 | 對⼦6-10點 | 0 | 0 | 0 | 0 |
3 | 1 | 1 | 對⼦J-A | 6 | 0 | 0 | 0 |
3 | 1 | 1 | 兩對 | 12 | 304128 | 0.00195 | 0.023404 |
3 | 1 | 1 | 三條 | 18 | 101376 | 0.00065 | 0.011702 |
3 | 1 | 1 | 順⼦ | 24 | 0 | 0 | 0 |
3 | 1 | 1 | 同花 | 36 | 0 | 0 | 0 |
3 | 1 | 1 | 葫蘆 | 60 | 0 | 0 | 0 |
3 | 1 | 1 | 四條 | 240 | 0 | 0 | 0 |
3 | 1 | 1 | 同花順 | 600 | 0 | 0 | 0 |
3 | 1 | 1 | 同花⼤順 | 3000 | 0 | 0 | 0 |
3 | 1 | 3 | 輸 | -8 | 0 | 0 | 0 |
3 | 1 | 3 | 對⼦6-10點 | 0 | 0 | 0 | 0 |
3 | 1 | 3 | 對⼦J-A | 8 | 0 | 0 | 0 |
3 | 1 | 3 | 兩對 | 16 | 152064 | 0.000975 | 0.015603 |
3 | 1 | 3 | 三條 | 24 | 101376 | 0.00065 | 0.015603 |
3 | 1 | 3 | 順⼦ | 32 | 0 | 0 | 0 |
3 | 1 | 3 | 同花 | 48 | 0 | 0 | 0 |
3 | 1 | 3 | 葫蘆 | 80 | 20736 | 0.000133 | 0.010638 |
3 | 1 | 3 | 四條 | 320 | 2304 | 0.000015 | 0.004728 |
3 | 1 | 3 | 同花順 | 800 | 0 | 0 | 0 |
3 | 1 | 3 | 同花⼤順 | 4000 | 0 | 0 | 0 |
3 | 1 | 棄牌 | 無 | -5 | 0 | 0 | 0 |
3 | 3 | 1 | 輸 | -8 | 0 | 0 | 0 |
3 | 3 | 1 | 對⼦6-10點 | 0 | 0 | 0 | 0 |
3 | 3 | 1 | 對⼦J-A | 8 | 0 | 0 | 0 |
3 | 3 | 1 | 兩對 | 16 | 0 | 0 | 0 |
3 | 3 | 1 | 三條 | 24 | 0 | 0 | 0 |
3 | 3 | 1 | 順⼦ | 32 | 0 | 0 | 0 |
3 | 3 | 1 | 同花 | 48 | 0 | 0 | 0 |
3 | 3 | 1 | 葫蘆 | 80 | 0 | 0 | 0 |
3 | 3 | 1 | 四條 | 320 | 0 | 0 | 0 |
3 | 3 | 1 | 同花順 | 800 | 0 | 0 | 0 |
3 | 3 | 1 | 同花⼤順 | 4000 | 0 | 0 | 0 |
3 | 3 | 3 | 輸 | -10 | 0 | 0 | 0 |
3 | 3 | 3 | 對⼦6-10點 | 0 | 2534400 | 0.016253 | 0 |
3 | 3 | 3 | 對⼦J-A | 10 | 2027520 | 0.013002 | 0.130021 |
3 | 3 | 3 | 兩對 | 20 | 1026432 | 0.006582 | 0.131647 |
3 | 3 | 3 | 三條 | 30 | 785664 | 0.005038 | 0.15115 |
3 | 3 | 3 | 順⼦ | 40 | 0 | 0 | 0 |
3 | 3 | 3 | 同花 | 60 | 0 | 0 | 0 |
3 | 3 | 3 | 葫蘆 | 100 | 69120 | 0.000443 | 0.044325 |
3 | 3 | 3 | 四條 | 400 | 20160 | 0.000129 | 0.051713 |
3 | 3 | 3 | 同花順 | 1000 | 0 | 0 | 0 |
3 | 3 | 3 | 同花⼤順 | 5000 | 0 | 0 | 0 |
3 | 3 | 棄牌 | 無 | -7 | 0 | 0 | 0 |
3 | 棄牌 | 無 | 無 | -4 | 0 | 0 | 0 |
棄牌 | 無 | 無 | 無 | -1 | 48451200 | 0.310709 | -0.310709 |
總計 | 155937600 | 1 | -0.049149 |
右下⽅的欄位顯⽰其house edge賭場優勢為4.91%. 平均上, 玩家每⼀局會 押注3.59個單位。期望輸值對⽐於總押注值的⽐率值, 我稱之為「element of risk危險元素」, 為4.91%/3.59 = 1.37%.
以下的列表顯⽰在所有可能的起始牌⾯、提⾼⼀個單位與三個單位賭注的 期望值。玩家應該在較⾼期望值的牌⾯去玩牌。如果期望值⼩於-1, 那麼 玩家就應該要fold棄牌不玩。
不同花⾊牌⾯ — 期望值
較⾼牌⾯ | 較低牌⾯ | 提⾼1X賭注 | 提⾼3X賭注 |
---|---|---|---|
3 | 2 | -1.716327 | -3.333061 |
4 | 2 | -1.716327 | -3.333061 |
5 | 2 | -1.716327 | -3.333061 |
6 | 2 | -1.389592 | -2.67898 |
7 | 2 | -1.389592 | -2.705918 |
8 | 2 | -1.389592 | -2.705918 |
9 | 2 | -1.389592 | -2.705918 |
10 | 2 | -1.389592 | -2.705918 |
J | 2 | -0.901429 | -1.810408 |
Q | 2 | -0.901429 | -1.810408 |
K | 2 | -0.901429 | -1.810408 |
A | 2 | -0.901429 | -1.722245 |
4 | 3 | -1.716327 | -3.262041 |
5 | 3 | -1.716327 | -3.262041 |
6 | 3 | -1.389592 | -2.587551 |
7 | 3 | -1.389592 | -2.653673 |
8 | 3 | -1.389592 | -2.705918 |
9 | 3 | -1.389592 | -2.705918 |
10 | 3 | -1.389592 | -2.705918 |
J | 3 | -0.901429 | -1.810408 |
Q | 3 | -0.901429 | -1.810408 |
K | 3 | -0.901429 | -1.810408 |
A | 3 | -0.901429 | -1.722245 |
5 | 4 | -1.710204 | -3.186122 |
6 | 4 | -1.370952 | -2.492857 |
7 | 4 | -1.377075 | -2.55898 |
8 | 4 | -1.389592 | -2.63 |
9 | 4 | -1.389592 | -2.705918 |
10 | 4 | -1.389592 | -2.705918 |
J | 4 | -0.901429 | -1.810408 |
Q | 4 | -0.901429 | -1.810408 |
K | 4 | -0.901429 | -1.810408 |
A | 4 | -0.901429 | -1.722245 |
6 | 5 | -1.336122 | -2.394354 |
7 | 5 | -1.342245 | -2.460476 |
8 | 5 | -1.360748 | -2.531497 |
9 | 5 | -1.389592 | -2.607959 |
10 | 5 | -1.389592 | -2.705918 |
J | 5 | -0.901429 | -1.810408 |
Q | 5 | -0.901429 | -1.810408 |
K | 5 | -0.901429 | -1.810408 |
A | 5 | -0.901429 | -1.722245 |
7 | 6 | -0.78517 | -1.51932 |
8 | 6 | -0.81619 | -1.610748 |
9 | 6 | -0.85102 | -1.705986 |
10 | 6 | -0.893469 | -1.806122 |
J | 6 | -0.357959 | -0.927755 |
Q | 6 | -0.357959 | -0.927755 |
K | 6 | -0.357959 | -0.927755 |
A | 6 | -0.357959 | -0.927755 |
8 | 7 | -0.748707 | -1.510612 |
9 | 7 | -0.783537 | -1.60585 |
10 | 7 | -0.825986 | -1.705986 |
J | 7 | -0.292653 | -0.829796 |
Q | 7 | -0.357959 | -0.927755 |
K | 7 | -0.357959 | -0.927755 |
A | 7 | -0.357959 | -0.927755 |
9 | 8 | -0.714422 | -1.504082 |
10 | 8 | -0.756871 | -1.604218 |
J | 8 | -0.223537 | -0.728027 |
Q | 8 | -0.292653 | -0.829796 |
K | 8 | -0.357959 | -0.927755 |
A | 8 | -0.357959 | -0.927755 |
10 | 9 | -0.686122 | -1.500816 |
J | 9 | -0.152789 | -0.624626 |
Q | 9 | -0.221905 | -0.726395 |
K | 9 | -0.292653 | -0.829796 |
A | 9 | -0.357959 | -0.927755 |
J | 10 | -0.080408 | -0.519592 |
Q | 10 | -0.149524 | -0.621361 |
K | 10 | -0.220272 | -0.724762 |
A | 10 | -0.292653 | -0.829796 |
Q | J | 0.581905 | 0.374558 |
K | J | 0.511156 | 0.271156 |
A | J | 0.438776 | 0.166122 |
K | Q | 0.511156 | 0.271156 |
A | Q | 0.438776 | 0.166122 |
A | K | 0.438776 | 0.166122 |
同花⾊牌⾯ — 期望值
較⾼牌⾯ | 較低牌⾯ | 提⾼1X賭注 | 提⾼3X賭注 |
---|---|---|---|
3 | 2 | -1.478367 | -2.884286 |
4 | 2 | -1.478367 | -2.884286 |
5 | 2 | -1.478367 | -2.884286 |
6 | 2 | -1.133265 | -2.243571 |
7 | 2 | -1.173367 | -2.322041 |
8 | 2 | -1.173367 | -2.322041 |
9 | 2 | -1.173367 | -2.322041 |
10 | 2 | -1.173367 | -2.322041 |
J | 2 | -0.633265 | -1.406939 |
Q | 2 | -0.633265 | -1.406939 |
K | 2 | -0.633265 | -1.406939 |
A | 2 | -0.591327 | -1.279796 |
4 | 3 | -1.435816 | -2.770306 |
5 | 3 | -1.435816 | -2.770306 |
6 | 3 | -1.090102 | -2.113367 |
7 | 3 | -1.132041 | -2.222755 |
8 | 3 | -1.173367 | -2.322041 |
9 | 3 | -1.173367 | -2.322041 |
10 | 3 | -1.173367 | -2.322041 |
J | 3 | -0.633265 | -1.406939 |
Q | 3 | -0.633265 | -1.406939 |
K | 3 | -0.633265 | -1.406939 |
A | 3 | -0.591327 | -1.279796 |
5 | 4 | -1.388061 | -2.651735 |
6 | 4 | -1.032347 | -1.980102 |
7 | 4 | -1.078878 | -2.08949 |
8 | 4 | -1.130816 | -2.203469 |
9 | 4 | -1.173367 | -2.322041 |
10 | 4 | -1.173367 | -2.322041 |
J | 4 | -0.633265 | -1.406939 |
Q | 4 | -0.633265 | -1.406939 |
K | 4 | -0.633265 | -1.406939 |
A | 4 | -0.591327 | -1.279796 |
6 | 5 | -0.960000 | -1.841224 |
7 | 5 | -1.006531 | -1.950612 |
8 | 5 | -1.064694 | -2.066633 |
9 | 5 | -1.129592 | -2.185714 |
10 | 5 | -1.173367 | -2.322041 |
J | 5 | -0.633265 | -1.406939 |
Q | 5 | -0.633265 | -1.406939 |
K | 5 | -0.633265 | -1.406939 |
A | 5 | -0.591327 | -1.279796 |
7 | 6 | -0.385306 | -0.953810 |
8 | 6 | -0.453469 | -1.086054 |
9 | 6 | -0.529082 | -1.225578 |
10 | 6 | -0.605714 | -1.364898 |
J | 6 | -0.068367 | -0.519082 |
Q | 6 | -0.068367 | -0.519082 |
K | 6 | -0.068367 | -0.519082 |
A | 6 | -0.068367 | -0.519082 |
8 | 7 | -0.351531 | -0.941463 |
9 | 7 | -0.427143 | -1.080986 |
10 | 7 | -0.509082 | -1.225578 |
J | 7 | 0.026224 | -0.382755 |
Q | 7 | -0.068367 | -0.519082 |
K | 7 | -0.068367 | -0.519082 |
A | 7 | -0.068367 | -0.519082 |
9 | 8 | -0.319626 | -0.930986 |
10 | 8 | -0.401565 | -1.075578 |
J | 8 | 0.135578 | -0.231667 |
Q | 8 | 0.028707 | -0.380272 |
K | 8 | -0.068367 | -0.519082 |
A | 8 | -0.068367 | -0.519082 |
10 | 9 | -0.291769 | -0.924048 |
J | 9 | 0.249252 | -0.076259 |
Q | 9 | 0.140986 | -0.226259 |
K | 9 | 0.031190 | -0.377789 |
A | 9 | -0.068367 | -0.519082 |
J | 10 | 0.527721 | 0.284762 |
Q | 10 | 0.419456 | 0.134762 |
K | 10 | 0.30966 | -0.016769 |
A | 10 | 0.196939 | -0.171224 |
Q | J | 1.170816 | 1.149388 |
K | J | 1.057143 | 0.99398 |
A | J | 0.941939 | 0.837041 |
K | Q | 1.057143 | 0.99398 |
A | Q | 0.941939 | 0.837041 |
A | K | 0.941939 | 0.837041 |
對⼦ — 期望值
較⾼牌⾯ | 較低牌⾯ | 提⾼1X賭注 | 提⾼3X賭注 |
---|---|---|---|
2 | 2 | 1.929796 | 2.177959 |
3 | 3 | 1.929796 | 2.177959 |
4 | 4 | 1.929796 | 2.177959 |
5 | 5 | 1.929796 | 2.177959 |
6 | 6 | 6.739592 | 8.424490 |
7 | 7 | 6.739592 | 8.42449 |
8 | 8 | 6.739592 | 8.424490 |
9 | 9 | 6.739592 | 8.424490 |
10 | 10 | 6.739592 | 8.424490 |
J | J | 12.486531 | 15.608163 |
Q | Q | 12.486531 | 15.608163 |
K | K | 12.486531 | 15.608163 |
A | A | 12.486531 | 15.608163 |
Barona⽀付列表
我有⼀份⾮經證實的報告指出, 在San Diego聖地⽛哥的Barona賭場, straight順⼦牌⾯⽀付5⽐1的賠率、取代⼀般的4倍賠率。在Barona最佳策 略之下、賭場優勢為3.7591%. 若是運⽤基本策略、在Barona遊戲的標準 ⽀付列表, 最後的賭場優勢為3.7906%. 所以, 在Barona遊戲運⽤標準策略, 其錯誤的代價為0.0315%.
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