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Powerball 彩票
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簡介
威力球是一種以極高頭獎金額著稱的多州樂透彩票。其於1988年啟動時原名為「美國樂透」。1992年更名為威力球。截至本文撰寫時，全美已有44個州可購買威力球彩票。
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| 名稱 | Jackpot | Buy Tickets | |
|---|---|---|---|
|
SuperEnalotto | € 67,600,000 | 門票 |
|
Euro Millions | € 17,000,000 | 門票 |
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La Primitiva | € 14,200,000 | 門票 |
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Lotto | £ 11,400,000 | 門票 |
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El Gordo | € 10,300,000 | 門票 |
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Lotto | € 6,000,000 | 門票 |
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Oz Lotto | AU$ 10,000,000 | 門票 |
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Lotto 6/49 | CA$ 9,000,000 | 門票 |
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Lotto 6aus49 | € 4,000,000 | 門票 |
|
Powerball | AU$ 6,000,000 | 門票 |
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FDJ Loto | € 3,000,000 | 門票 |
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Thunderball | £ 500,000 | 門票 |
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Mega Millions | $ 346,000,000 | 門票 |
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Lotto | $ 4,400,000 | 門票 |
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Lotto | $ 4,500,000 | 門票 |
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Hoosier Lotto | $ 20,000,000 | 門票 |
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SuperLotto Plus | $ 62,000,000 | 門票 |
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Hot Lotto | $ 9,100,000 | 門票 |
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Powerball | $ 307,000,000 | 門票 |
規則
規則已於2015年10月7日更改，使頭獎更難中，從而累積更大獎金。先前的頭獎概率為1.75億分之1。現在則是2.92億分之1。完整規則如下：
- 一張票的價格是2美元。玩家也可以額外支付1美元來啟用強力球倍數功能，但加州除外。
- 玩家應從1至69中選擇五個不同的號碼，以及一個從1至26的「強力球」號碼。
- 每週六和週三，東部時間晚上10:59，彩票將開出五個編號1至69的白球和一個編號1至26的紅色強力球。
- 玩家將根據其選擇的號碼與開出球號的匹配數量來贏得獎金，如下表所示。
賠付表
白
球
配對威力球
對決贏 5 是的 頭獎 5 無 $1,000,000 4 是的 $10,000 3 是的 $100 4 無 $100 2 是的 $7 3 無 $7 1 是的 $4 0 是的 $4 - 若玩家啟動「強力玩法」選項，則除頭獎外所有獎項將至少以2倍計算。100萬美元獎項的倍數恆為2。其餘可能之倍數如下所示。
低於1.5億美元的頭獎
乘數 權重 概率 10 1 0.023256 5 2 0.046512 4 3 0.069767 3 13 0.302326 2 24 0.558140 總計 43 1.000000 獎金超過1.5億美元
乘數 權重 概率 5 2 0.047619 4 3 0.071429 3 13 0.309524 2 24 0.571429 總計 42 1.000000 - 廣告宣傳的頭獎金額以30年期年金方式支付，首期付款將立即支付總應付金額的1.5051435%。後續付款每年將按5%的比例遞增，並以年複利計算。
- 玩家可選擇一次性領取獎金，金額約為面值的61%。
- 加州的獎金分配表有所不同，因該州所有獎項必須採用彩池分配方式支付。
- 與任何設有高額累積獎金的彩票相同，若多名玩家中獎，頭獎將由所有獲勝者均分。
- 與任何設有高額獎金的彩票相同，若開出極高頻率被選取的號碼組合（例如遺失的數字4-8-15-16-23-42），則包括固定獎項在內的獎金可能需按比例調降。
加州規則
如上所述，加利福尼亞州的所有獎金必須按照彩池制方式支付，這意味著所有獎金本質上必須是累進式的。該州保留約50%的銷售額作為利潤，並將其餘50%按以下方式分配給各個獎金池。頭獎金額越低，其貢獻率就越高。
加州獎金分配
| 白色 球 |
威力 球 |
貢獻 比率 |
|---|---|---|
| 5 | 是的 | 60.0131% to 68.0131% |
| 5 | 無 | 8.5558% |
| 4 | 是的 | 2.1903% |
| 3 | 是的 | 1.0951% |
| 4 | 無 | 1.1380% |
| 2 | 是的 | 1.3109% |
| 3 | 無 | 1.2405% |
| 1 | 是的 | 5.6536% |
| 0 | 是的 | 10.8027% |
| 0 到 2 | 無 | 0.0000% |
| Reserves | 0% to 8% | |
| 總計 | 100.0000% |
加利福尼亞沒有強力遊戲選項。
來源： 加州彩票規定 — 參見第39頁起第3.7節。
Powerball分析
下表顯示了所有可能結果的概率和預期回報，假設玩家未選擇強力球選項。回報欄是贏獎概率乘以0.5的乘積。除以2的原因是每張彩票售價2美元。右下角單元格顯示玩家預計可通過固定獎項（除頭獎外的所有獎金）收回其資金的13.8%。同時也顯示中獎概率為4.02%。
Powerball 回報表
| 白色 球體 匹配 |
威力球 對決 |
贏 | 組合 | 概率 | 返回 |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 是的 | 頭獎 | 1 | 0.00000000342 | ? |
| 5 | 無 | $1,000,000 | 25 | 0.00000008556 | 0.04277872266 |
| 4 | 是的 | $10,000 | 320 | 0.00000109514 | 0.00547567650 |
| 3 | 是的 | $100 | 20,160 | 0.00006899352 | 0.00344967620 |
| 4 | 無 | $100 | 8,000 | 0.00002737838 | 0.00136891913 |
| 2 | 是的 | $7 | 416,640 | 0.00142586616 | 0.00499053156 |
| 3 | 無 | $7 | 504,000 | 0.00172483810 | 0.00603693334 |
| 1 | 是的 | $4 | 3,176,880 | 0.01087222948 | 0.02174445895 |
| 0 | 是的 | $4 | 7,624,512 | 0.02609335074 | 0.05218670149 |
| 0 到 2 | 無 | $0 | 280,450,800 | 0.95978615950 | 0.00000000000 |
| 總計 | 292,201,338 | 1.00000000000 | 0.13803161983 + ? |
頭獎共享
下一張圖表顯示了估計售出的彩券數量（以百萬計）、估計的獲獎者數量，以及根據頭獎金額（以百萬計）計算的至少一名獲獎者的機率。
頭獎共享
| 頭獎 (Millions) |
票 已售 (數百萬張) |
預計 獲勝者 |
概率 1+ 獲獎者 |
|
|---|---|---|---|---|
| $40 | 7.41 | 0.0254 | 2.51% | |
| $50 | 7.60 | 0.0260 | 2.57% | |
| $60 | 7.79 | 0.0267 | 2.63% | |
| $70 | 7.99 | 0.0274 | 2.70% | |
| $80 | 8.19 | 0.0280 | 2.77% | |
| $90 | 8.40 | 0.0288 | 2.83% | |
| $100 | 8.61 | 0.0295 | 2.91% | |
| $120 | 9.06 | 0.0310 | 3.05% | |
| $140 | 9.52 | 0.0326 | 3.21% | |
| $160 | 10.01 | 0.0343 | 3.37% | |
| $180 | 10.52 | 0.0360 | 3.54% | |
| $200 | 11.06 | 0.0379 | 3.71% | |
| $250 | 12.53 | 0.0429 | 4.20% | |
| $300 | 14.20 | 0.0486 | 4.74% | |
| $350 | 16.09 | 0.0551 | 5.36% | |
| $400 | 18.24 | 0.0624 | 6.05% | |
| $450 | 27.77 | 0.0950 | 9.06% | |
| $500 | 37.30 | 0.1276 | 11.98% | |
| $550 | 46.82 | 0.1602 | 14.81% | |
| $600 | 56.35 | 0.1929 | 17.54% | |
| $650 | 65.88 | 0.2255 | 20.19% | |
| $700 | 75.41 | 0.2581 | 22.75% | |
| $750 | 84.94 | 0.2907 | 25.23% | |
| $800 | 94.47 | 0.3233 | 27.63% | |
| $850 | 104.00 | 0.3559 | 29.95% | |
| $900 | 113.53 | 0.3885 | 32.20% | |
| $950 | 123.06 | 0.4211 | 34.37% | |
| $1,000 | 132.59 | 0.4538 | 36.48% | |
| $1,100 | 151.65 | 0.5190 | 40.49% | |
| $1,200 | 170.71 | 0.5842 | 44.25% | |
| $1,300 | 189.77 | 0.6494 | 47.77% | |
| $1,400 | 208.83 | 0.7147 | 51.06% | |
| $1,500 | 227.89 | 0.7799 | 54.15% | |
| $1,600 | 246.94 | 0.8451 | 57.05% | |
| $1,700 | 266.00 | 0.9103 | 59.76% | |
| $1,800 | 285.06 | 0.9756 | 62.30% | |
| $1,900 | 304.12 | 1.0408 | 64.68% | |
| $2,000 | 323.18 | 1.1060 | 66.91% |
估計售票數量基於自2015年10月7日（強力球更改規則為69個白球與26個紅球之日）至2022年11月7日（產生20.4億美元頭獎之日）的數據。根據此數據，我發現需求與頭獎規模呈指數關係，直至頭獎達到約4億美元。此後，我證明該關係轉為線性。由於截至2022年11月9日撰寫本文時，僅出現過62次4億美元及以上頭獎，且僅有五次達到十億美元或更高，因此估算大型頭獎的需求相當困難。以下是我根據頭獎規模（以百萬美元計的j值）對售票數量（以百萬張計）的最佳估計。
如果 j <= 400，門票銷量 = 6.7092指數函數(0.0025j)
如果 j > 400，門票銷量 = 0.19059*j - 58
強力進攻分析
根據上述規則條款，若頭獎獎金低於1.5億美元，則會將一顆10倍彩球加入強力加倍號碼機，使平均倍數達到119/43（即2.7674%）。下表顯示頭獎低於1.5億美元時啟動強力加倍功能帶來的額外獎金。「賠率」欄位顯示的是超越標準強力球獎金之外的額外收益。請注意100萬美元獎金的倍數固定為2倍。右下角單元格顯示42.23%的回報率。
強力球回歸獎金表 — 累積獎金低於1.5億
| 白色 球體 匹配 |
威力球 對決 |
贏 | 組合 | 概率 | 返回 |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 是的 | $0 | 1 | 0.0000000034 | 0.0000000000 |
| 5 | 無 | $1,000,000.00 | 25 | 0.0000000856 | 0.0855574453 |
| 4 | 是的 | $17,674.42 | 320 | 0.0000010951 | 0.0193558797 |
| 3 | 是的 | $176.74 | 20,160 | 0.0000689935 | 0.0121942042 |
| 4 | 無 | $176.74 | 8,000 | 0.0000273784 | 0.0048389699 |
| 2 | 是的 | $12.37 | 416,640 | 0.0014258662 | 0.0176409488 |
| 3 | 無 | $12.37 | 504,000 | 0.0017248381 | 0.0213398574 |
| 1 | 是的 | $7.07 | 3,176,880 | 0.0108722295 | 0.0768641340 |
| 0 | 是的 | $7.07 | 7,624,512 | 0.0260933507 | 0.1844739215 |
| 0 到 2 | 無 | $0 | 280,450,800 | 0.9597861595 | 0.0000000000 |
| 總計 | 292,201,338 | 1.0000000000 | 0.4222653609 |
如果頭獎獎金超過1.5億美元，則10倍球將從強力加倍彩球機中移除，導致平均倍數變為109/42，即2.5952%。下表顯示當頭獎獎金超過1.5億美元時啟動強力加倍功能所帶來的額外獎金。右下角單元格顯示回報率為38.95%。
強力球回報表 — 累積獎金超過1.5億
| 白色 球體 比賽 |
威力球 對決 |
贏 | 組合 | 概率 | 返回 |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 是的 | $0 | 1 | 0.0000000034 | 0.0000000000 |
| 5 | 無 | $1,000,000.00 | 25 | 0.0000000856 | 0.0855574453 |
| 4 | 是的 | $15,952.38 | 320 | 0.0000010951 | 0.0174700155 |
| 3 | 是的 | $159.52 | 20,160 | 0.0000689935 | 0.0110061098 |
| 4 | 無 | $159.52 | 8,000 | 0.0000273784 | 0.0043675039 |
| 2 | 是的 | $11.17 | 416,640 | 0.0014258662 | 0.0159221721 |
| 3 | 無 | $11.17 | 504,000 | 0.0017248381 | 0.0192606921 |
| 1 | 是的 | $6.38 | 3,176,880 | 0.0108722295 | 0.0693751786 |
| 0 | 是的 | $6.38 | 7,624,512 | 0.0260933507 | 0.1665004286 |
| 0 到 2 | 無 | $0 | 280,450,800 | 0.9597861595 | 0.0000000000 |
| 總計 | 292,201,338 | 1.0000000000 | 0.3894595458 |
雙殺
自2021年8月起，部分州推出名為「雙重玩法」的附加遊戲。截至2022年11月，提供雙重玩法選項的地區包括：科羅拉多州、佛羅里達州、印第安納州、馬里蘭州、密西根州、密蘇里州、蒙大拿州、紐澤西州、賓夕法尼亞州、波多黎各、南卡羅來納州、南達科他州、田納西州、華盛頓州。
「雙重樂透」是一項可選擇的額外投注，僅需在威力球彩票上多支付1美元。每期威力球開獎後三十分鐘將進行雙重樂透開獎，其規則與威力球相同：從69顆白球中抽取五顆（不放回），並從26顆紅球（稱為威力球）中抽取一顆。玩家為威力球開獎選擇的同一組號碼將自動適用於雙重樂透開獎。若玩家同時購買「倍數獎金」與「雙重樂透」，倍數獎金乘數將不適用於雙重樂透遊戲。
以下是「雙重機會」抽獎根據白球匹配數量以及強力球號碼所對應的獎金表。
- 匹配5個號碼+強力球獎金為$10,000,000
- 匹配4個號碼+強力球獎金為$50,000
- 匹配3個號碼+強力球獎金為$500
- 匹配2個號碼+強力球獎金為$20
- 匹配1個號碼+強力球獎金為$10
- 匹配0個號碼+強力球獎金為$7
- 匹配5個號碼獎金為$500,000
- 匹配4個號碼獎金為$500
- 匹配3個號碼獎金為$20
以下表格顯示我對「雙倍支付」功能本身的分析。右下角單元格顯示預期回報率為53.43%，在大多數情況下，這個回報率比強力球單獨開獎時更高。
雙倍工資分析
| 白 球 配對 |
威力球 對決 |
贏 | 組合 | 概率 | 返回 |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 是的 | 10,000,000 | 1 | 0.000000 | 0.034223 |
| 4 | 是的 | 50,000 | 320 | 0.000001 | 0.054757 |
| 3 | 是的 | 500 | 20,160 | 0.000069 | 0.034497 |
| 2 | 是的 | 20 | 416,640 | 0.001426 | 0.028517 |
| 1 | 是的 | 10 | 3,176,880 | 0.010872 | 0.108722 |
| 0 | 是的 | 7 | 7,624,512 | 0.026093 | 0.182653 |
| 5 | 無 | 500,000 | 25 | 0.000000 | 0.042779 |
| 4 | 無 | 500 | 8,000 | 0.000027 | 0.013689 |
| 3 | 無 | 20 | 504,000 | 0.001725 | 0.034497 |
| 2 | 無 | - | 10,416,000 | 0.035647 | 0.000000 |
| 1 | 無 | - | 79,422,000 | 0.271806 | 0.000000 |
| 0 | 無 | - | 190,612,800 | 0.652334 | 0.000000 |
| 總計 | - | 292,201,338 | 1.000000 | 0.534334 |
年金分析
假設一次性付款方案提供61%的金額，且您能以某種方式投資該筆款項以避免稅負，那麼從長遠來看，選擇一次性付款方案需要獲得超過2.84%的利率才能實現更多收益。若假定資本利得稅率為20%，則需要達到3.92%的投資回報率才能使一次性付款方案更具價值。
讓我也澄清一件事。有一個普遍流傳的迷思認為，如果樂透得主在領取全部獎金前去世，那麼未來尚未支付的獎金將會回歸樂透彩機構/州政府。事實是，未來支付的獎金將與任何其他資產的處理方式相同——根據得主的遺囑進行分配。引用Powerball網站的說法：
- 如果年金獎得主去世會發生什麼情況？
- 遺產將處理彩票獎金。彩票年金獎就像任何其他資產一樣。您可以將任何剩餘的年金付款傳給您的繼承人或任何其他人。強力球遊戲甚至會為遺產兌現年金獎。這可能使遺產更容易分配獎金。也可能需要兌現年金以支付聯邦遺產稅。我們將以競標方式出售部分或全部證券，或者甚至只是將證券轉讓給遺產。我們不收取任何形式的費用。我們經常聽到人們抱怨當獲獎者去世時，頭獎不應該回到「州」。它不會。我認為這種誤解可能來自於獎金「歸遺產所有」的回應，而有些人聽成了「歸州所有」。
結論
從數學角度來說，Powerball（強力球）是一項極糟糕的賭注。在考慮彩票抽成、頭獎獎金分配、年金支付方式及稅賦因素後，期望回報率從未超過40%。我認為購買彩票的決定完全是非理性的，至今仍無法理解人們為何要排隊浪費金錢。
自1984年加州將彩票合法化—那時我正居住於當地—我便一直宣揚這是一種多麼糟糕的賭注。我可能拯救了多少人？據我所知，零。儘管如此，努力嘗試是我的使命。我不至於斷言所有彩票都絕非良注，但但願本文已闡明：威力球彩票永遠不值得下注
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內部連結
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