超百萬

簡介

超級百萬彩票 (Mega Millions) 是一項跨州彩票，以巨額頭獎而聞名。它始於 1996 年，最初名為“The Big Game”。之後，它更名為“The Big Game Mega Millions”，最終簡稱為“Mega Millions”。在此過程中，它的規則也經歷了多次修改。本頁面介紹的是 2025 年 4 月 5 日規則修改後生效的規則。

2025年規則

2025年4月5日，規則再次更改，如下。

• 票價從 2 美元漲至 5 美元。
• 金球數量從25個減少到24個。
• 10 倍乘數已新增至 Megaplier。
• 現在已包含 Megaplier，而不是玩家必須額外支付 1 美元才能獲得的選項。
• 起始頭獎從 2000 萬美元增加到 5000 萬美元。

以下是新的完整規則，自 2025 年 4 月 5 日起生效。

1. 一張票的價格是5美元。
2. 玩家需從 1 到 70 中挑選五個不同的數字，以及從 1 到 24 中挑選一個「超級球」。
3. 彩券公司將根據下表隨機選擇一個「超級倍數」。 「超級倍數」是一個乘數，適用於頭獎以外的所有獎金。
4. 每週二和週五，美國東部時間晚上 11:00，彩票將抽出五個編號為 1 至 70 的白球和一個編號為 1 至 24 的金色超級球。
5. 玩家將根據所選球數與彩券抽獎結果相符的情況，並按照下表贏得獎金。
6. 頭獎將重新設定為 5000 萬美元。

下表顯示了玩家根據彩票中匹配白球和金球的數量獲得的獎金。獎金是在應用「百萬倍增」之前的。

白球	金球	支付
5	1	大獎
5	0	100萬美元
4	1	10,000美元
4	0	500美元
3	1	200美元
3	0	10美元
2	1	10美元
1	1	7美元
0	1	5美元

下表顯示了每個可能的 Megaplier 的權重和機率。

巨型鉗子	重量	可能性
10	1	0.03125
5	2	0.06250
4	4	0.12500
3	10	0.31250
2	15	0.46875
全部的	三十二	1.00000

2025年分析

下表展示了我對 Megaplier 的分析。右下角單元格顯示平均 Megaplier 為 3.0。

巨型鉗子	重量	可能性	預期的
10	1	0.03125	0.31250
5	2	0.06250	0.31250
4	4	0.12500	0.50000
3	10	0.31250	0.93750
2	15	0.46875	0.93750
全部的	三十二	1.00000	3.00000

下表顯示了所有固定中獎的機率及其對回報的貢獻。中獎假設平均Meagaplier為3倍。預期回報是中獎金額相對於5美元彩券價格的比率。右下角單元格顯示固定中獎對回報的貢獻為22.37%。

白球	金球	組合	可能性	支付	預期的 返回
5	1	1	0.0000000034	大獎	？
5	0	23	0.0000000792	1000000	0.047509
4	1	325	0.0000011189	10000	0.006713
4	0	7,475	0.0000257339	500	0.007720
3	1	20,800	0.0000716075	200	0.008593
3	0	478,400	0.0016469727	10	0.009882
2	1	436,800	0.0015037577	10	0.009023
1	1	3,385,200	0.0116541219	7	0.048947
0	1	8,259,888	0.0284360573	5	0.085308
2個或更少	0	277,883,424	0.9566605475	0	0.000000
全部的	0	290,472,336	1.0000000000		0.223695

在考慮年金、稅收和獎金分成之前，每 1 億美元的獎金價值還有額外的 6.89% 的回報。

忽略年金、稅收和累積獎金分配的影響，損益平衡的累積獎金將達到1,127,475,660美元。假設累積獎金因一次性領取選項而減半，並採用最高37%的邊際稅率，盈虧平衡的累積獎金將升至3,579,287,810美元。如果我們將累積獎金分配因素考慮在內，由於彩票需求增加以及累積獎金增加時預期中獎人數增加，遊戲收益永遠不會轉為正值。

2017年規則

2017年10月28日，對規則進行了修改，將成本從1美元提高到2美元，增加了中頭獎的難度，目的是增加頭獎的金額。我懷疑這些規則的改變是為了回應強力球彩票的競爭。現在這兩種彩票的規則非常相似。

1. 一張票的價格是2美元。
2. 玩家需要從 1 到 70 中挑選五個不同的數字，以及從 1 到 25 中挑選一個「超級球」。
3. 每週二和週五，美國東部時間晚上 11:00，抽獎將抽出五個編號為 1 至 70 的白球和一個編號為 1 至 25 的金色超級球。
4. 玩家將根據其選擇的球與抽出的球的數量匹配來獲勝，如下表所示。

   賠償表

   白色的 球 匹配	百萬 球 火柴	贏
   5	是的	大獎
   5	不	100萬美元
   4	是的	10,000美元
   4	不	500美元
   3	是的	200美元
   3	不	10美元
   2	是的	10美元
   1	是的	4美元
   0	是的	2美元
   0 到 2	不	0美元

5. 除加州外，玩家還可以額外支付1美元來啟用「Megaplier」倍數。如果玩家啟用「Megaplier」選項，則除累積獎金外的任何獎金都將根據下表中的機率乘以2至5。

   巨型鉗子

   乘數	重量	可能性
   5	1	0.066667
   4	3	0.200000
   3	6	0.400000
   2	5	0.333333
   全部的	15	1.000000

6. 另一種選擇是允許玩家以 3 美元的價格購買兩張彩票，但兩張彩票都只能獲得大獎。
7. 廣告宣傳的頭獎金額以30年年金的形式支付，首期獎金將立即支付，金額為總獎金的1.5051435%。之後的獎金將每年增加5%，以年複利計算。
8. 除了年金，玩家還可以選擇一次性付款，金額約為票面價值的 62.5%。
9. 加州的賠償表有所不同，因為該州的所有獎金都必須按照同註互助原則支付。
10. 與任何具有大額累積獎金的彩票一樣，如果不止一名玩家獲勝，那麼累積獎金將在所有獲勝者之間平均分配。
11. 與任何大獎彩券一樣，如果一組非常頻繁選擇的數字中獎，例如 4-8-15-16-23-42 的Lost數字，那麼獎金（包括固定獎金）可能不得不減少。
12. 頭獎以30年期年金的形式支付，每年支付一次，立即生效。每次支付金額比上一次高5%。為了使總支付金額等於中獎金額，首次支付金額為總獎金的1.50514%。玩家也可以選擇一次性付款。截至本文撰寫時（2018年10月16日），6.54美元頭獎的一次性支付金額為3.72億美元，佔總獎金的56.88%。我相信這個比例會有所波動。

分析

下表顯示了所有可能結果的機率和預期回報，假設玩家未啟用「百萬倍增」選項，且頭獎金額為 4000 萬美元。回報列是中獎金額、機率和 0.5 的乘積。之所以除以 2，是因為一張彩券的價格為 2 美元。此表未考慮稅金、頭獎年金及頭獎分享等因素。表格後面附有部分分析。

上表右下角顯示，如果頭獎金額達到 4,000 萬美元，玩家預期可獲得 18.96% 的回饋率。頭獎金額每增加 1 億美元，回報率就會增加 16.52%。損益平衡點（預期報酬率達 100%）為 530,420,124 美元*。中獎機率為 4.17%。

* 不考慮年金、稅金或累積獎金分享。

倍增器分析

下表顯示了每個乘數的機率。右下角單元格顯示「Megaplier」的平均乘數為 3.00。

下表顯示了所有可能結果的機率和預期回報，假設玩家啟用了「巨額倍增」選項，且累積獎金為 4000 萬美元。贏額列表示在應用「巨額倍增」之前的基本贏額。回報列表示贏額、機率、平均「巨額倍增」和 1/3 的乘積。之所以除以 3，是因為啟用「巨額倍增」後，一張彩券的價格為 3 美元。此表未考慮稅金、累積獎金年金及累積獎金分配等因素。表格後面附有部分分析。

上表右下角顯示，如果頭獎金額達到4,000萬美元，玩家預期可獲得29.10%的回饋率。如果選擇「倍增」選項，頭獎金額每增加1億美元，回報率就會增加11.02%。在考慮年金、稅金和頭獎分成之前，預期回報率達到100%的損益平衡點為224,191,728美元。

只是大獎分析

如果玩家選擇「只抽頭獎」選項，在計價器重新播種價值為4000萬美元的情況下，不考慮稅收、年金或頭獎分成的預期回報率為8.81%。頭獎每增加1億美元，預期報酬率就會增加22.03%。

累積獎金競賽

頭獎金額越大，其他玩家的競爭就越激烈。實際上，購買4億的彩券比購買10億的彩券更划算，因為當頭獎金額達到4億時，更有可能出現多種瓜分方式。

具體來說，我發現當頭獎金額不超過4億時，頭獎金額和彩券銷售之間存在指數關係。下圖以彩券銷售量（縱軸）和頭獎金額（橫軸）為座標軸。

對於超過4億的累積獎金，數據並不多，尤其是接近10億的累積獎金，如下圖所示。黑線顯示資料點之間的對數擬合。

我把這些最小平方法迴歸曲線放進了我的彩券大獎銷售計算器。這將有助於你根據大獎金額計算出有多少人可能與你分享大獎。網路上也有一些體育博彩網站，接受是否會中大獎的投注。

其他因素

到目前為止，我所有的分析都是在對年金、稅費和累積獎金分配進行任何調整之前進行的。不過，讓我們先考慮一下這些因素。

這種價值稀釋中最複雜的部分是獎金分割。下表按獎金規模（以百萬計）顯示了預計售出的彩票數量、至少一名中獎者的機率、每位中獎者的預期獎金份額，以及任何獎金分割後的預期獎金總額。

請注意，上表右列的最高金額為7.32億美元，對應13億美元的頭獎金額。分獎後的最高頭獎金額更接近的估計值為12.55億美元。超過這個數字，由於彩券需求增加，中獎人數增加，頭獎金額會下降。如果有人好奇，我使用拋物線回歸來估算3億美元以上頭獎的彩票銷售額。

年金因素很簡單。中獎者可以選擇年金（如上文規則部分所述），也可以選擇相當於頭獎金額一定百分比的一次性獎金。截至2018年10月16日，這一比例為56.88%。似乎每個人都選擇一次性獎金。順便說一句，忽略利率以外的所有因素，如果利率超過3.40%，選擇一次性獎金的中獎時間價值會更高，否則選擇一次性獎金。截至本文撰寫時（2018年10月16日），20年期國庫券利率為3.27%。為了計算方便，我們假設中獎者選擇一次性獎金。

稅務也相當容易。截至本文撰寫時，聯邦所得稅最高稅率為37%。各州的稅率差異很大，但我們假設州稅和地方稅均為8%。這意味著中獎者將損失45%的稅金。

為了舉例說明，我們假設頭獎金額為 10 億美元。扣除獎金分配、一次性付款和稅費後，您將獲得 2.206 億美元。中獎機率為 302,575,350 分之一。對於如此巨額的頭獎，玩家應該選擇「僅限頭獎」選項，每張彩券的成本為 1.50 美元。這意味著一張彩票的價值為 2.206 億美元 / 302,575,350 = 72.9 美分。考慮到每張彩券的成本為 1.50 美元，預期回報率為 0.729 美元 / 1.50 美元 = 48.6%。這意味著賭場優勢為 51.4%。最高頭獎金額為 12.55 億美元時，預期報酬率為 52.7%。這已經是最佳水平了。所以，超級百萬大獎的獎金從來都不是正數。事實上，它甚至從未接近過正數。

策略

遊戲方式有以下三種：

• 普通票每張2美元。
• Megaplier 門票每張 3 美元
• “Just the Jackpot” 彩券兩張售價 3 美元。

同樣，忽略稅費、年金和累積獎金分配，最佳策略是在累積獎金低於224,191,728美元時選擇「倍增」選項。如果累積獎金超過此金額，玩家應該購買「僅限累積獎金」的彩票。有趣的是，當累積獎金恰好達到224,191,728美元時，這三個選項的預期回報率相同，均為49.40%。

我真不想這麼說，但有人問我，用「僅限頭獎」的彩券買「倍增器」彩券會怎麼樣。答案是不行！ 「僅限頭獎」的彩券沒有固定的獎金可以乘以倍增，所以你什麼也得不到。我希望他們根本不允許這種做法，否則簡直就是佔便宜。

考慮到稅收、累積獎金分享和年金的影響，我的建議是無論累積獎金有多少，都購買「Megaplier」保險，並且永遠不要選擇「僅限累積獎金」選項。上述三個因素會大幅降低累積獎金的價值。

結論

從數學角度來說，超級百萬大獎是一場糟糕的賭注。考慮到彩券的抽成、頭獎分成、年金和稅收，預期回報率從未超過40%。我覺得買彩券的決定完全不理性，而且我至今仍不明白為什麼人們會排隊等著把錢丟掉。

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計算機

• 強力球計算器－計算強力球或任何有五個「白球」和一個「強力球」的彩票的中獎機率。
• 超級百萬彩票計算器（2017 年規則） ——計算超級百萬彩票（或任何包含五個“白球”和一個“超級球”的彩票）的中獎機率。預設使用 2017 年規則。
• 超級百萬彩票計算器（2025 年規則） —— 計算超級百萬彩票（或任何包含五個“白球”和一個“超級球”的彩票）的中獎機率。預設使用 2025 年規則。
• 選六計算器－計算任何「選六」遊戲的賠率。
• SuperLotto Plus — 加州彩票遊戲。
• 彩票頭獎銷售計算器－估算強力球和百萬大獎的彩票銷售量和中獎機率。

外部連結

• 彩券大週2018 年 10 月 29 日，有 2 人贏得巨額頭獎。
• 超級百萬- 官方網站。
• 維基百科。
• LottoReport.com－有關歷史彩券銷售和頭獎金額的資訊。

撰寫者: Michael Shackleford