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多卡基諾的差異

簡介

本文探討多張牌基諾的變異數。許多電子基諾遊戲允許玩家同時玩四張牌，有些則允許玩家同時玩多達20張牌。玩家可以透過控制牌中相同數字的數量來控制遊戲的變異數。牌中相同數字越多，變異數越大。

四張牌基諾

數學複習

讓：

E(x) = 隨機變數 X 的期望值。
Cov(x) = 任兩張卡片之間的協方差。

P單張卡牌的變異數可以表示為：

Var(x)=E(x^2)-(E(x)) 2

當兩張牌上有任何相同的數字時，每局遊戲的結果都會相關。通常，這種相關關係用它們的協方差來衡量。兩個隨機變數 x 和 y 之間的協方差的一般公式為：

Cov(x,y) = E(xy) - E(x)*E(y)

若任兩張牌的共同數字相同，則 n 張牌的總變異數為：

總協方差 = n*Var(x) + n*(n-1)*Cov(x,y)

用 3 個常見數字選 6

首先，讓我們在典型的3、4、68、1500賠率表下，找出單張牌的變異數。下表顯示了所有可能結果的預期贏利和贏利的平方。

Pick Six 基諾彩票回報表

抓住支付可能性預期的
贏		預期的
贏^2
0 0 0.166602 0.000000 0.000000
1 0 0.363495 0.000000 0.000000
2 0 0.308321 0.000000 0.000000
3 3 0.129820 0.389459 1.168376
4 4 0.028538 0.114152 0.456607
5 68 0.003096 0.210503 14.314233
6 1500 0.000129 0.193477 290.216113
全部的1.000000 0.907591 306.155328

最下面一行顯示預期收益為0.907591，預期收益平方為306.155328。因此變異數為306.155328 - 0.907591 2 = 305.331607。

接下來，讓我們深入探討玩家選擇 6 個數字的情況，其中 3 個數字在所有牌上都是相同的，另外 3 個數字在每張牌上都是不同的。例如，在 4 張牌的遊戲中，我可能會選擇：

  • 卡A：1,2,3,5,10,15
  • 卡B：1,2,3,20,25,30
  • 卡C：1,2,3,35,40,45
  • 卡D：1,2,3,50,55,60

下表顯示了兩張卡片 A 和 B 之間接球次數的所有 49 種可能組合的機率，這兩張卡片的六個數字中有三個相同。左列是卡片 A 的接球次數，頂行是卡片 B 的接球次數。

組合機率表－選出 6 個有 3 個共同數字的號碼

漁獲量抓住 0抓住 1抓住 2抓住 3抓住 4抓住 5抓住 6全部的
0 0.063748 0.073555 0.026369 0.002930 0.000000 0.000000 0.000000 0.166602
1 0.073555 0.152662 0.105475 0.029086 0.002717 0.000000 0.000000 0.363495
2 0.026369 0.105475 0.113626 0.051596 0.010479 0.000776 0.000000 0.308321
3 0.002930 0.029086 0.051596 0.034435 0.010316 0.001389 0.000068 0.129820
4 0.000000 0.002717 0.010479 0.010316 0.004216 0.000761 0.000049 0.028538
5 0.000000 0.000000 0.000776 0.001389 0.000761 0.000159 0.000011 0.003096
6 0.000000 0.000000 0.000000 0.000068 0.000049 0.000011 0.000001 0.000129
全部的0.166602 0.363495 0.308321 0.129820 0.028538 0.003096 0.000129 1.000000

下表顯示了兩張牌之間的勝利乘積。

贏取產品表 -- 選擇 6

漁獲量抓住 0抓住 1抓住 2抓住 3抓住 4抓住 5抓住 6
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 9 12 204 4500
4 0 0 0 12 16 272 6000
5 0 0 0 204 272 4624 102000
6 0 0 0 4500 6000 102000 2250000

下表將上面兩張表相乘，得出兩張牌的贏率預期乘積。右下角單元格顯示預期贏率乘積為 7.390131。

預期中獎產品表 - 選出 6 個有 3 個常見數字的號碼

漁獲量抓住 0抓住 1抓住 2抓住 3抓住 4抓住 5抓住 6全部的
0 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
1 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
2 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
3 0.000000 0.000000 0.000000 0.309916 0.123788 0.283363 0.306405 1.023472
4 0.000000 0.000000 0.000000 0.123788 0.067463 0.206918 0.295839 0.694008
5 0.000000 0.000000 0.000000 0.283363 0.206918 0.734216 1.108143 2.332641
6 0.000000 0.000000 0.000000 0.306405 0.295839 1.108143 1.629623 3.340010
全部的0.000000 0.000000 0.000000 1.023472 0.694008 2.332641 3.340010 7.390131

因此，兩張卡之間的協方差為 7.390131 - 0.907591 2 = 6.566409。

下表顯示了玩 1 到 20 張牌時的變異數和標準差，包括所有牌的組合和每張牌的變異數和標準差。

用 3 個常見數字選出 6 個——變異數摘要

牌全部的
變異數		變異數
每張卡		全部的
標準差		標準差
每張卡
1 305.33 305.33 17.47 17.47
2 623.80 311.90 24.98 17.66
3 955.39 318.46 30.91 17.85
4 1300.12 325.03 36.06 18.03
5 1657.99 331.60 40.72 18.21
6 2028.98 338.16 45.04 18.39
7 2413.11 344.73 49.12 18.57
8 2810.37 351.30 53.01 18.74
9 3220.77 357.86 56.75 18.92
10 3644.29 364.43 60.37 19.09
11 4080.95 371.00 63.88 19.26
12 4530.75 377.56 67.31 19.43
十三4993.67 384.13 70.67 19.60
14 5469.73 390.69 73.96 19.77
15 5958.92 397.26 77.19 19.93
16 6461.24 403.83 80.38 20.10
17 6976.70 410.39 83.53 20.26
18 7505.29 416.96 86.63 20.42
19 8047.01 423.53 89.71 20.58
20 8601.87 430.09 92.75 20.74

用 5 個常見數字選 10

下表顯示了 3-4-68-1500 賠付表下 pick-10 基諾的預期贏利和預期贏利平方。

Pick Ten Keno 回報表

抓住支付可能性預期的
贏		預期的
贏^2
0 0 0.045791 0.000000 0.000000
1 0 0.179571 0.000000 0.000000
2 0 0.295257 0.000000 0.000000
3 0 0.267402 0.000000 0.000000
4 0 0.147319 0.000000 0.000000
5 5 0.051428 0.257138 1.285692
6 23 0.011479 0.264026 6.072600
7 132 0.001611 0.212671 28.072557
8 1000 0.000135 0.135419 135.419355
9 4500 0.000006 0.027543 123.943139
10 10000 0.000000 0.001122 11.221190
全部的1.000000 0.897920 306.014533

最下面一行顯示預期收益為 0.897920，預期收益平方為 306.014533。因此變異數為 306.014533 - 0.897920^2 = 305.208273。

經過大量的數學計算（我將省略），協方差是 9.998613。

下表顯示了玩 1 到 9 張牌時的變異數和標準差，包括所有牌的組合和每張牌的變異數和標準差。

總變異數和標準差－從 5 個常見數字中挑選 10 個

牌全部的
變異數		變異數
每張卡		全部的
標準差		標準差
每張卡
1 305.21 305.21 17.47 17.47
2 630.41 315.21 25.11 17.75
3 975.62 325.21 31.23 18.03
4 1340.82 335.20 36.62 18.31
5 1726.01 345.20 41.55 18.58
6 2131.21 355.20 46.17 18.85
7 2556.40 365.20 50.56 19.11
8 3001.59 375.20 54.79 19.37
9 3466.77 385.20 58.88 19.63
10 3951.96 395.20 62.86 19.88
11 4457.14 405.19 66.76 20.13
12 4982.32 415.19 70.59 20.38
十三5527.49 425.19 74.35 20.62
14 6092.66 435.19 78.06 20.86
15 6677.83 445.19 81.72 21.10

用 3 個常見數字選 9

下表顯示了 1-6-44-300-4700-10000 賠付表下 pick-9 基諾的預期贏利和預期贏利平方。

Pick Ten Keno 回報表

抓住支付可能性預期的
贏		預期的
贏^2
0 0 0.063748 0.000000 0.000000
1 0 0.220666 0.000000 0.000000
2 0 0.316426 0.000000 0.000000
3 0 0.246109 0.000000 0.000000
4 1 0.114105 0.114105 0.114105
5 6 0.032601 0.195609 1.173653
6四十四0.005720 0.251661 11.073064
7 300 0.000592 0.177504 53.251057
8 4700 0.000033 0.153185 719.967331
9 10000 0.000001 0.007243 72.427678
全部的1.000000 0.899305 858.006889

最下面一行顯示預期收益為0.899305，預期收益平方為858.006889。因此變異數為858.006889 - 0.899305 2 = 857.198138。

經過大量的數學計算（我將省略），協方差是 3.401478。

下表顯示了玩 1 到 12 張牌時的變異數和標準差，包括所有牌的組合和每張牌的變異數和標準差。

總變異數和標準差－選出 9 個有 3 個共同數字的數

牌全部的
變異數		變異數
每張卡		全部的
標準差		標準差
每張卡
1 857.20 857.20 29.28 29.28
2 1721.20 860.60 41.49 29.34
3 2592.00 864.00 50.91 29.39
4 3469.61 867.40 58.90 29.45
5 4354.02 870.80 65.99 29.51
6 5245.23 874.21 72.42 29.57
7 6143.25 877.61 78.38 29.62
8 7048.07 881.01 83.95 29.68
9 7959.69 884.41 89.22 29.74
10 8878.11 887.81 94.22 29.80
11 9803.34 891.21 99.01 29.85
12 10735.37 894.61 103.61 29.91

選出 9 個有 6 個共同數字的號碼

上圖顯示了單張卡牌的預期收益表，其中選9號，包含3個公共號碼。提醒一下，變異數為857.198138。

經過大量的數學計算（我將省略），兩張有六個共同數字的 pick-9 卡的協方差為 57.283444。

下表顯示了玩 1 到 20 張牌時的變異數和標準差，包括所有牌的組合和每張牌的變異數和標準差。

總變異數和標準差－選出 9 個有 6 個共同數字的數

牌全部的
變異數		變異數
每張卡		全部的
標準差		標準差
每張卡
1 857.20 857.20 29.28 29.28
2 1828.96 914.48 42.77 30.24
3 2915.30 971.77 53.99 31.17
4 4116.19 1029.05 64.16 32.08
5 5431.66 1086.33 73.70 32.96
6 6861.69 1143.62 82.84 33.82
7 8406.29 1200.90 91.69 34.65
8 10065.46 1258.18 100.33 35.47
9 11839.19 1315.47 108.81 36.27
10 13727.49 1372.75 117.16 37.05
11 15730.36 1430.03 125.42 37.82
12 17847.79 1487.32 133.60 38.57
十三20079.79 1544.60 141.70 39.30
14 22426.36 1601.88 149.75 40.02
15 24887.50 1659.17 157.76 40.73
16 27463.20 1716.45 165.72 41.43
17 30153.47 1773.73 173.65 42.12
18 32958.30 1831.02 181.54 42.79
19 35877.70 1888.30 189.41 43.45
20 38911.67 1945.58 197.26 44.11

概括

下表顯示了上述所有情況以及從 2 到 10 的每個選擇數（沒有重疊數字）的相關統計數據。

概括

精選賠率表重疊
數位		變異數協方差
2 14 0 0.841772 11.076230 -0.108155
3 2,45 0 0.901899 27.839208 -0.205128
4 2,5,85 0 0.901899 23.251327 -0.183044
5 3,11,804 0 0.901899 418.292207 -0.441581
6 3,4,68,1500 0 0.903340 305.331607 -0.376538
7 1,2,20,390,7000 0 0.908473 1310.087945 -0.518283
8 2,12,98,1550,10000 0 0.906738 844.928926 -0.603251
9 1,6,44,300,4700,10000 0 0.899305 857.198138 -0.609176
10 5,23,132,1000,4500,10000 0 0.897920 305.208273 -0.631869
6 3,4,68,1500 3 0.903340 305.331607 6.566409
9 1,6,44,300,4700,10000 3 0.899305 857.198138 3.401478
9 1,6,44,300,4700,10000 6 0.899305 857.198138 57.283444
10 5,23,132,1000,4500,10000 5 0.897920 305.208273 9.998613

例子

以上資訊有什麼用呢？這裡有一個數學範例題，上面的資訊會很有幫助。

喬玩了10,000場四張牌基諾遊戲。每局遊戲他都會從四張牌中選出三個相同的數字，其餘三個數字則各不相同。他每張牌下注1美元。賠率表採用3-4-68-1500。他的預期總贏利的95%信賴區間是多少？

點擊下面的按鈕以取得答案。

答案是虧損 10,763.44 美元，獲利 3,370.73 美元。

點擊下面的按鈕以取得簡要解決方案。

[劇透=解]

預期贏利為 10,000 × 4 × $1 × (0.907591-1) = -3,696.35。

上表顯示，每張卡的變異數為 325.0308343。總計 40,000 張卡，總變異數為 40,000 × 325.0308343 = 13,001,233 美元。

變異數的平方根是標準差，等於 sqrt($13,001,233) = $3,605.72。

95% 的置信區間在兩個方向上都跨越 1.959964 個標準差。這意味著 95% 的情況下，實際收益將在預期收益的 1.959964 × 3,605.72 美元 = 7,067.09 美元範圍內。

因此，95% 信賴區間的下限為 -$3,696.35 - $7,067.09 = -$10,763.44。

95% 信賴區間的上限為 -3,696.35 美元 + 7,067.09 美元 = 3,370.73 美元。

[劇透]

內部連結

撰寫者: Michael Shackleford