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燈塔
簡介
法羅牌是一種簡單的運氣遊戲，使用一副牌，據說起源於17世紀的法國。它傳到了英國，然後經由新奧爾良傳入美國。這種遊戲可能是19世紀美國最受歡迎的賭博遊戲，但它的受歡迎程度在20世紀逐漸消退。據信，最後一家提供這種遊戲的賭場是20世紀80年代的里諾·拉瑪達賭場。我個人曾在博物館和古畫中多次看到法羅牌桌。
規則
- 洗牌後，牌堆頂部的一張牌（稱為「蘇打」）就會露出來。
- 以下是我所知道的可用的賭注。
- 平註：玩家可以對牌組中的 13 個等級中的任何一個進行下注。
- 分注：類似平注，但分為兩個等級。
- 高牌：玩家可以下注贏牌或輸牌哪一個比較高。
- 奇數/偶數：玩家可以下注獲勝牌是奇數還是偶數。
- 轉牌：依照牌堆中最後三張牌的順序下注。
- 下注後，莊家會發一張牌，稱為「輸牌」。
- 以下牌稱為「獲勝牌」。
- 賭注將根據每場賭注的具體規則（如下所述）進行結算。
- 發牌人在一個類似算盤的裝置上標記出已經打出的牌。
- 遊戲繼續進行，直到只剩下一張牌，稱為「Hock」。
以下是具體投注的列表，包括規則和賠率。
平註
共有13種平注（有時也稱為「面額注」），每種等級對應一種。具體規則如下：
- 若勝牌和負牌的點數不同，則押注勝牌點數的玩家獲勝，押注負牌點數的玩家輸。押注其他點數的玩家將平手。
- 如果獲勝牌和失敗牌的點數相同，則押注該點數的賭注將損失一半。
- 玩家可以選擇在賭注上放一分錢來翻轉贏牌和輸牌。此操作稱為“銅幣”。
下表顯示了平注的所有可能結果，假設有一副完整的 52 張牌。
平註
| 事件 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 贏 | 1 | 192 | 0.072398 | 0.072398 |
| 領帶 | 0 | 2256 | 0.850679 | 0.000000 |
| 損失一半 | -0.5 | 12 | 0.004525 | -0.002262 |
| 失去一切 | -1 | 192 | 0.072398 | -0.072398 |
| 全部的 | 2652 | 1.000000 | -0.002262 |
下圖右側顯示的賭場優勢為0.23%。如果我們忽略平局，那麼每注的預期損失為1.52%。
案例投注如果玩家在牌堆中只剩下一張牌時押注某個點數，則稱為「Case」賭注。除非其他規則發生變化，否則莊家優勢為零，因為不可能輸掉一半，而這正是莊家的優勢。在「Case」賭注中，莊家會收取5%的贏利佣金。
Case 賭注的賠率取決於牌堆中剩餘的牌數。剩餘的牌越多，莊家優勢越低。下表顯示了根據剩餘牌數，贏、平、輸的機率以及預期回報。右圖為預期回報列，顯示莊家優勢範圍從剩餘 49 張牌時的 0.10% 到剩餘 3 張牌時的 1.67%。
案例投注
| 牌 其餘的 | 可能性 贏 | 可能性 推 | 可能性 損失 | 預期的 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 49 | 0.020408 | 0.959184 | 0.020408 | -0.001020 |
| 四十七 | 0.021277 | 0.957447 | 0.021277 | -0.001064 |
| 45 | 0.022222 | 0.955556 | 0.022222 | -0.001111 |
| 43 | 0.023256 | 0.953488 | 0.023256 | -0.001163 |
| 41 | 0.024390 | 0.951220 | 0.024390 | -0.001220 |
| 三十九 | 0.025641 | 0.948718 | 0.025641 | -0.001282 |
| 三十七 | 0.027027 | 0.945946 | 0.027027 | -0.001351 |
| 三十五 | 0.028571 | 0.942857 | 0.028571 | -0.001429 |
| 33 | 0.030303 | 0.939394 | 0.030303 | -0.001515 |
| 31 | 0.032258 | 0.935484 | 0.032258 | -0.001613 |
| 二十九 | 0.034483 | 0.931034 | 0.034483 | -0.001724 |
| 二十七 | 0.037037 | 0.925926 | 0.037037 | -0.001852 |
| 二十五 | 0.040000 | 0.920000 | 0.040000 | -0.002000 |
| 23 | 0.043478 | 0.913043 | 0.043478 | -0.002174 |
| 21 | 0.047619 | 0.904762 | 0.047619 | -0.002381 |
| 19 | 0.052632 | 0.894737 | 0.052632 | -0.002632 |
| 17 | 0.058824 | 0.882353 | 0.058824 | -0.002941 |
| 15 | 0.066667 | 0.866667 | 0.066667 | -0.003333 |
| 十三 | 0.076923 | 0.846154 | 0.076923 | -0.003846 |
| 11 | 0.090909 | 0.818182 | 0.090909 | -0.004545 |
| 9 | 0.111111 | 0.777778 | 0.111111 | -0.005556 |
| 7 | 0.142857 | 0.714286 | 0.142857 | -0.007143 |
| 5 | 0.200000 | 0.600000 | 0.200000 | -0.010000 |
| 3 | 0.333333 | 0.333333 | 0.333333 | -0.016667 |
分割投注
我從威奇託法羅的試用版中發現了這些投注方式。它的運作方式類似於平注，只不過玩家要押注兩個等級，例如國王和王后。以下是本例中可能發生的事件以及最終結果：
- 獲勝牌是國王或王后，而輸牌是其他任何牌 = 贏得等額的錢。
- 輸牌是國王或王后，贏牌是其他任何牌 = 全部輸掉。
- 兩張牌都是國王或兩張牌都是皇后 = 輸一半。
- 既不是國王也不是皇后 = 推。
- 一張牌 K 和一張牌 Q = 平手。
玩家也可以進行分注投注。下表顯示了分注投注的賠率。下圖右側顯示賭場優勢為 0.45%。每注結算的賭場優勢為 1.65%。
分割投注
| 事件 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 贏 | 1 | 352 | 0.132730 | 0.132730 |
| 領帶 | 0 | 1924 | 0.725490 | 0.000000 |
| 損失一半 | -0.5 | 24 | 0.009050 | -0.004525 |
| 失去一切 | -1 | 352 | 0.132730 | -0.132730 |
| 全部的 | 2652 | 1.000000 | -0.004525 |
高牌
在高牌投注中，A算1點，2到10點（依點值），J算11點，Q算12點，K算13點。玩家可以押注贏牌或輸牌哪個比較大。以下是贏牌更大投注的規則。
- 贏牌大於輸牌 = 贏得等額的錢。
- 贏牌小於輸牌=全部輸掉。
- 贏牌和輸牌等級相同 = 輸一半。
下表列出了所有可能出現贏牌更高的結果。下圖右側顯示莊家優勢為 2.94%。
獲勝牌 更高賭注
| 事件 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 贏 | 1 | 1248 | 0.470588 | 0.470588 |
| 損失一半 | -0.5 | 156 | 0.058824 | -0.029412 |
| 失去一切 | -1 | 1248 | 0.470588 | -0.470588 |
| 全部的 | 2652 | 1.000000 | -0.029412 |
輸牌的下注則相反。換句話說，如果輸牌較大，則下注獲勝。
奇數投注
在單數投注中，A算1點，2到10點（依點值），J算11點，Q算12點，K算13點。以下是單數投注的可能結果。
- 贏牌奇數，輸牌偶數=贏等額的錢。
- 贏牌為偶數，輸牌為奇數 = 全部輸掉。
- 贏牌和輸牌等級相同 = 輸一半。
- 兩張牌都是奇數或都是偶數，但等級不同 = 平手。
下表顯示了非計數器奇數投注的所有可能結果。
奇數賭注
| 事件 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 贏 | 1 | 672 | 0.253394 | 0.253394 |
| 領帶 | 0 | 1152 | 0.434389 | 0.000000 |
| 損失一半 | -0.5 | 156 | 0.058824 | -0.029412 |
| 失去一切 | -1 | 672 | 0.253394 | -0.253394 |
| 全部的 | 2652 | 1.000000 | -0.029412 |
下圖右側顯示的賭場優勢為2.94%。如果我們忽略平局，那麼每注的預期損失為5.20%。
均等投注
雙數投注與單數投注相反。換句話說，如果贏牌為雙數，輸牌為單數，則贏。賠率與單數投注完全相同。
轉動
當只剩下三張牌，且有三種不同的等級時，玩家可以按其順序下注。
三張牌有六種可能的排列組合，因此獲勝的機率是六分之一。公平賠率是5比1，但實際賠率是4比1。下表顯示了「轉牌」投注的所有賠率。下圖（右圖）顯示賭場優勢為16.7%。
轉牌下注
| 事件 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 贏 | 4 | 1 | 0.166667 | 0.666667 |
| 失去一切 | -1 | 5 | 0.833333 | -0.833333 |
| 全部的 | 6 | 1.000000 | -0.166667 |
在威奇託法羅的遊戲中，如果最後三張牌中剩下一對，轉牌圈投注的賠率為2比1。這是一個公平的賠率，沒有莊家優勢。
策略
我建議法羅只做兩種類型的投注：(1) 當牌堆中剛好剩下兩張特定點數的牌時，進行平注；(2) 點數投注。平注的原因是輸掉一半的機率很低，這時賭場會佔上風。然而，如果只剩下一張牌，規則就會恢復為支付 5% 的佣金，根據牌堆中剩餘的牌數，這可能會更好，也可能更糟。
我們姑且稱之為「巫師法羅策略」。根據此策略，如果牌堆中剩餘23張或更多牌，則平注的賠率更高。如果牌堆中剩餘正好21張牌，則賠率相同。如果牌堆中剩餘19張或更少，則大寫押注的賠率更高。
巫師法羅策略的預期回報
| 牌 其餘的 | 平坦的 賭注 | 案件 賭注 |
|---|---|---|
| 49 | -0.000425 | -0.001020 |
| 四十七 | -0.000463 | -0.001064 |
| 45 | -0.000505 | -0.001111 |
| 43 | -0.000554 | -0.001163 |
| 41 | -0.000610 | -0.001220 |
| 三十九 | -0.000675 | -0.001282 |
| 三十七 | -0.000751 | -0.001351 |
| 三十五 | -0.000840 | -0.001429 |
| 33 | -0.000947 | -0.001515 |
| 31 | -0.001075 | -0.001613 |
| 二十九 | -0.001232 | -0.001724 |
| 二十七 | -0.001425 | -0.001852 |
| 二十五 | -0.001667 | -0.002000 |
| 23 | -0.001976 | -0.002174 |
| 21 | -0.002381 | -0.002381 |
| 19 | -0.002924 | -0.002632 |
| 17 | -0.003676 | -0.002941 |
| 15 | -0.004762 | -0.003333 |
| 十三 | -0.006410 | -0.003846 |
| 11 | -0.009091 | -0.004545 |
| 9 | -0.013889 | -0.005556 |
| 7 | -0.023810 | -0.007143 |
| 5 | -0.050000 | -0.010000 |
| 3 | -0.166667 | -0.016667 |
致謝
Stuart N. Ethier 的《機會主義學說》對我創建這個頁面幫助很大。 Ethier 用了第 18 章（共 23 頁）的全部篇幅來講述法羅。