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Criss Cross Poker縱橫交叉撲克
簡介
照⽚攝於2014年Global Gaming Expo全球博弈展場
「Criss Cross Poker縱橫交叉撲克」是由 In Bet Gaming 所創製的poker撲 克變體改版遊戲。在2014年, 我開始聽到美國東部好幾家賭場關於這個遊 戲的報告。遊戲的賣點是玩家押注兩⼿牌⾯, 在某種程度上使⽤五張交叉 排列的community cards公牌。
規則
- 遊戲開始於玩家押注相同⾦額在「Ante Across橫向進場注」與「Ante Down縱向進場注」上⾯。玩家也可以押注⼀種選擇性的「Five Card Bonus五張牌紅利」邊注。
- 荷官發給玩家兩張hole cards洞牌、還有五張牌⾯朝下的community cards公牌、排列成縱橫交叉的形式。
- 玩家可以押注⼀筆「Across Bet橫向注」在「Across Hand橫向牌 ⾯」、⾦額等於 1x 到 3x倍於「Ante Across橫向進場注」的⾦額, 或者 fold棄牌不玩。
- 荷官翻開橫向左右兩邊的兩張公牌。
- 玩家可以押注⼀筆「Down Bet縱向注」在「Down Hand縱向牌⾯」、 ⾦額等於 1x 到 3x倍於「Ante Down縱向進場注」的⾦額, 或者fold棄牌不 玩。
- 荷官翻開縱向上下兩邊的兩張公牌。
- 玩家可以押注⼀筆「Middle Bet中央注」、⾦額等於 1x 到 3x倍於Ante bet進場注的⾦額, 或者fold棄牌不玩。
- 荷官翻開中央那張公牌。
- 玩家運⽤他⼿中的兩張hole cards洞牌、再加上橫向的三張公牌去形成 「Across Hand橫向牌⾯」。
- 同理, 玩家運⽤他⼿中的兩張hole cards洞牌、再加上縱向的三張公牌 去形成「Down Hand縱向牌⾯」。
- 「Middle Bet中央注」根據「Across Hand橫向牌⾯」與「Down Hand縱向牌⾯」的排⾏較⾼牌⾯來⽀付賠率。
- 所有的押注根據以下的⽀付列表來⽀付賠率。贏注的表⽰以「to one ⽐⼀」為基準。
Criss Cross Poker縱橫交叉撲克 ⽀付列表
牌⾯ 進場注賠率 橫向, 縱向 & 中央注 ⽀付賠率 同花⼤順 1 500 同花順 1 100 四條 1 40 葫蘆 1 12 同花 1 8 順⼦ 1 5 三條 1 3 兩對 1 2 ⾼牌 (J-A) 1 1 低牌 (6-10) 0 0 所有其他 -1 -1 - 「Five Card Bonus五張牌紅利」的邊注是根據交叉排列的五張公牌⽽ 定、依照以下的⽀付賠率表。
Five Card Bonus五張牌紅利 ⽀付列表
牌⾯ ⽀付賠率 同花⼤順 250 同花順 100 四條 40 葫蘆 15 同花 10 順⼦ 6 三條 4 兩對 3 6點或更好對⼦ 1 輸家 -1
分析
在兩組可能的牌⾯、四種raise提⾼賭注的組合、加上在遊戲的不同階段 folding棄牌, 總共有975種可能的結果。我將它們全部的機率標⽰在我的 Criss Cross Poker縱橫交叉撲克 Full Expected Value Table完整期望值列 表 專⾴中。不過, 我並不想在這裡拿出偌⼤驚⼈的數據列表來嚇跑你。反 之, 我在以下總結出每⼀種牌⾯的結果。
以下的列表顯⽰「Ante Across橫向進場注」與「Across Bet橫向注」的可 能結果。其中的「PAYS⽀付賠率」欄位顯⽰合併兩種押注的總和。右下 ⽅的欄位顯⽰出玩家在兩種押注的期望輸值為0.600581個單位。
Ante Across橫向進場注 與 Across Bet橫向注
| 牌⾯ | 橫向注 | ⽀付賠率 | 排列組合總數 | 機率 | 回報率 |
|---|---|---|---|---|---|
| 同花⼤順 | 3 | 1501 | 12,972 | 0.000000 | 0.000231 |
| 同花⼤順 | 1 | 501 | 116,748 | 0.000001 | 0.000694 |
| 同花順 | 3 | 301 | 25,944 | 0.000000 | 0.000093 |
| 同花順 | 1 | 101 | 1,141,536 | 0.000014 | 0.001368 |
| 四條 | 3 | 121 | 12,167,736 | 0.000144 | 0.017468 |
| 四條 | 1 | 41 | 7,601,592 | 0.000090 | 0.003698 |
| 葫蘆 | 3 | 37 | 48,800,664 | 0.000579 | 0.021423 |
| 葫蘆 | 1 | 13 | 68,414,328 | 0.000812 | 0.010552 |
| 同花 | 3 | 25 | 2,101,464 | 0.000025 | 0.000623 |
| 同花 | 1 | 9 | 163,550,976 | 0.001940 | 0.017464 |
| 順⼦ | 3 | 16 | 2,451,708 | 0.000029 | 0.000465 |
| 順⼦ | 1 | 6 | 288,484,308 | 0.003423 | 0.020537 |
| 三條 | 3 | 10 | 538,234,224 | 0.006386 | 0.063859 |
| 三條 | 1 | 4 | 1,170,645,168 | 0.013889 | 0.055557 |
| 兩對 | 3 | 7 | 811,632,096 | 0.009630 | 0.067408 |
| 兩對 | 1 | 3 | 3,010,230,432 | 0.035715 | 0.107146 |
| ⾼牌對⼦ | 3 | 4 | 1,170,593,280 | 0.013889 | 0.055555 |
| ⾼牌對⼦ | 1 | 2 | 9,458,722,620 | 0.112224 | 0.224448 |
| 中牌對⼦ | 3 | 0 | 1,385,409,600 | 0.016437 | 0.000000 |
| 中牌對⼦ | 1 | 0 | 11,610,887,160 | 0.137759 | 0.000000 |
| 輸家 | 3 | -4 | 1,240,719,912 | 0.014721 | -0.058883 |
| 輸家 | 1 | -2 | 44,512,795,932 | 0.528127 | -1.056254 |
| 棄牌1個單位 | 0 | -1 | 4,576,521,600 | 0.054299 | -0.054299 |
| 棄牌2個單位 | 0 | -2 | 4,203,010,800 | 0.049867 | -0.099734 |
| 棄牌4個單位 | 0 | -4 | 0 | 0.000000 | 0.000000 |
| 總計 | 84,284,272,800 | 1.000000 | -0.600581 |
以下的列表顯⽰「Ante Down縱向進場注」與「Down Bet縱向注」的可 能結果。其中的「PAYS⽀付賠率」欄位顯⽰合併兩種押注的總和。右下 ⽅的欄位顯⽰出玩家在兩種押注的期望輸值為0.597666個單位。
Ante Down縱向進場注 與 Down Bet縱向注
| 牌⾯ | 縱向注 | ⽀付賠率 | 排列組合總數 | 機率 | 回報率 |
|---|---|---|---|---|---|
| 同花⼤順 | 3 | 1501 | 45,792 | 0.000001 | 0.000815 |
| 同花⼤順 | 1 | 501 | 83,928 | 0.000001 | 0.000499 |
| 同花順 | 3 | 301 | 37,116 | 0.000000 | 0.000133 |
| 同花順 | 1 | 101 | 1,118,700 | 0.000013 | 0.001341 |
| 四條 | 3 | 121 | 12,233,808 | 0.000145 | 0.017563 |
| 四條 | 1 | 41 | 7,485,048 | 0.000089 | 0.003641 |
| 葫蘆 | 3 | 37 | 48,603,888 | 0.000577 | 0.021337 |
| 葫蘆 | 1 | 13 | 68,156,856 | 0.000809 | 0.010513 |
| 同花 | 3 | 25 | 6,951,456 | 0.000082 | 0.002062 |
| 同花 | 1 | 9 | 157,641,288 | 0.001870 | 0.016833 |
| 順⼦ | 3 | 16 | 4,780,980 | 0.000057 | 0.000908 |
| 順⼦ | 1 | 6 | 285,297,516 | 0.003385 | 0.020310 |
| 三條 | 3 | 10 | 540,593,136 | 0.006414 | 0.064139 |
| 三條 | 1 | 4 | 1,160,967,816 | 0.013774 | 0.055098 |
| 兩對 | 3 | 7 | 814,576,176 | 0.009665 | 0.067652 |
| 兩對 | 1 | 3 | 2,988,662,184 | 0.035459 | 0.106378 |
| ⾼牌對⼦ | 3 | 4 | 1,336,724,496 | 0.015860 | 0.063439 |
| ⾼牌對⼦ | 1 | 2 | 9,281,584,656 | 0.110122 | 0.220245 |
| 中牌對⼦ | 3 | 0 | 1,417,841,568 | 0.016822 | 0.000000 |
| 中牌對⼦ | 1 | 0 | 11,550,329,616 | 0.137040 | 0.000000 |
| 輸家 | 3 | -4 | 1,450,469,088 | 0.017209 | -0.068837 |
| 輸家 | 1 | -2 | 44,370,555,288 | 0.526439 | -1.052879 |
| 棄牌1個單位 | 0 | -1 | 5,013,003,456 | 0.059477 | -0.059477 |
| 棄牌2個單位 | 0 | -2 | 3,766,528,944 | 0.044688 | -0.089377 |
| 棄牌4個單位 | 0 | -4 | 0 | 0.000000 | 0.000000 |
| 總計 | 84,284,272,800 | 1.000000 | -0.597666 |
以下的列表顯⽰「Middle bet中央注」的可能結果。右下⽅的欄位顯⽰出 玩家的期望贏值為1.111675個單位。
Middle Bet中央注
| 牌⾯ | 中央注 | ⽀付賠率 | 排列組合總數 | 機率 | 回報率 |
|---|---|---|---|---|---|
| 同花⼤順 | 3 | 1500 | 259,440 | 0.000003 | 0.004617 |
| 同花⼤順 | 1 | 500 | 0 | 0.000000 | 0.000000 |
| 同花順 | 3 | 300 | 2,323,104 | 0.000028 | 0.008269 |
| 同花順 | 1 | 100 | 0 | 0.000000 | 0.000000 |
| 四條 | 3 | 120 | 39,488,184 | 0.000469 | 0.056221 |
| 四條 | 1 | 40 | 0 | 0.000000 | 0.000000 |
| 葫蘆 | 3 | 36 | 231,865,848 | 0.002751 | 0.099036 |
| 葫蘆 | 1 | 12 | 0 | 0.000000 | 0.000000 |
| 同花 | 3 | 24 | 325,921,056 | 0.003867 | 0.092806 |
| 同花 | 1 | 8 | 0 | 0.000000 | 0.000000 |
| 順⼦ | 3 | 15 | 375,011,412 | 0.004449 | 0.066740 |
| 順⼦ | 1 | 5 | 199,154,268 | 0.002363 | 0.011814 |
| 三條 | 3 | 9 | 2,751,292,188 | 0.032643 | 0.293787 |
| 三條 | 1 | 3 | 399,927,564 | 0.004745 | 0.014235 |
| 兩對 | 3 | 6 | 5,494,091,328 | 0.065185 | 0.391111 |
| 兩對 | 1 | 2 | 1,329,787,368 | 0.015777 | 0.031555 |
| ⾼牌對⼦ | 3 | 3 | 11,485,872,240 | 0.136275 | 0.408826 |
| ⾼牌對⼦ | 1 | 1 | 4,170,202,716 | 0.049478 | 0.049478 |
| 中牌對⼦ | 3 | 0 | 12,309,204,636 | 0.146044 | 0.000000 |
| 中牌對⼦ | 1 | 0 | 4,837,617,228 | 0.057396 | 0.000000 |
| 輸家 | 3 | -3 | 1,789,381,740 | 0.021230 | -0.063691 |
| 輸家 | 1 | -1 | 29,763,340,080 | 0.353130 | -0.353130 |
| 棄牌 | 0 | 0 | 8,779,532,400 | 0.104166 | 0.000000 |
| 總計 | 84,284,272,800 | 1.000000 | 1.111675 |
下個列表總結所有三種押注群類的期望贏值。
總結
| 押注類別 | 期望贏值 |
|---|---|
| 橫向進場注 & 橫向注 | -0.600581 |
| 縱向進場注 & 縱向注 | -0.597666 |
| 中央注 | 1.111675 |
| 總計 | -0.086571 |
右下⽅的欄位顯⽰其期望輸值為0.086571個單位。因為玩家⾄少必須押注 兩個單位, 我將這個數值除以⼆來得出house edge賭場優勢為4.33%.
考量raise提⾼賭注的部分, 每⼿牌⾯最後的平均總押注值為5.86529個單 位。那麼其 element of risk危險元素、期望輸值對⽐於總押注值的⽐率值, 為 8.6571/5.8629 = 1.48%, 這樣的數值對於⼀種poker撲克的變體改版遊 戲⽽⾔還算不錯。
其standard deviation標準均⽅差、相對於合併的原初賭注, 為4.802.
策略
在所有的決策點當中, 唯⼀可實⾏的選項是 fold棄牌、最低1x倍的raise提 ⾼賭注、最⾼3x倍的raise提⾼賭注。提⾼賭注的倍數絕對不要在1x與3x 之間。
Across橫向注的策略
- 如果兩張hole cards洞牌沒有同花⾊、沒有成對、⽽且最⼤的牌為5點或 更⼩, 則fold棄牌不玩。
- 如果兩張hole cards洞牌為同花⾊J/Q、或是任何對⼦, 則押注最⼤倍數 的raise提⾼賭注。
- 若是其他牌⾯的hole cards洞牌, 則押注最⼩倍數的raise提⾼賭注。
Down縱向注的策略
這個決策類似於Across橫向注的策略。不過, 玩家此時可以多看到額外兩 張牌的優勢。這樣對於含糊不清的狀況會有所助益。我並沒有暗⽰這會更 動Across橫向注的策略。然⽽, 我可以說, 無論額外得知的兩張牌是什麼, 將會提⾼「Ante Down縱向進場注」的期望回報率達到0.29%、或是降低 0.15%的賭場優勢。
Middle中央注的策略
在額外⾒過四張牌之後, Middle bet中央注的策略會有數千種可能的狀況。 然⽽, 完美的決策可以根據剩下的所有可能46張牌組、在最低與最⾼倍數 的Middle bet中央注之下, 來決定平均的贏值。我可以說, 如果玩家押注了 3x倍的賭注、那他就不會fold棄牌。我也可以說, 在4.5%的時候, 玩家會在 Across橫向注與Down縱向注押注了⼩倍數的賭注、接著卻⼜在Middle bet中央注fold棄牌不玩。
Five Card Bonus五張牌紅利 押注
以下列表顯⽰「Five Card Bonus五張牌紅利」押注的可能結果。右下⽅ 的欄位顯⽰其賭場優勢為3.53%, 這個數值對於⼀種side bet邊注⽽⾔還算 不錯。
Five Card Bonus五張牌紅利 押注
| 牌⾯ | ⽀付賠率 | 排列組合總數 | 機率 | 回報率 |
|---|---|---|---|---|
| 同花⼤順 | 250 | 4 | 0.000002 | 0.000385 |
| 同花順 | 100 | 36 | 0.000014 | 0.001385 |
| 四條 | 40 | 624 | 0.000240 | 0.009604 |
| 葫蘆 | 15 | 3,744 | 0.001441 | 0.021609 |
| 同花 | 10 | 5,108 | 0.001965 | 0.019654 |
| 順⼦ | 6 | 10,200 | 0.003925 | 0.023548 |
| 三條 | 4 | 54,912 | 0.021128 | 0.084514 |
| 兩對 | 3 | 123,552 | 0.047539 | 0.142617 |
| 6點或更好對⼦ | 1 | 760,320 | 0.292548 | 0.292548 |
| 輸家 | -1 | 1,640,460 | 0.631199 | -0.631199 |
| 總計 | 2,598,960 | 1.000000 | -0.035336 |
⽅法
這個遊戲是由我分析的、在C++遞迴運算透過 combin(52,2)*combin(50,2)*combin(48,2)*46 = 84,284,272,800種可能的 組合。這個程式包含了⼤約600條程式碼、耗費⼤約六個⼩時去完成運 算。
內部連結
Full expected value table完整期望值列表 這個專⾴顯⽰所有974種可能結 果的機率與回報率。