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火註
簡介
火注（Fire Bet）是擲骰子遊戲中一種流行的附加投注，其賠付金額取決於擲骰者獲得的點數。我知道有三種火注賠償表，如下所示。每張賠付表的底行都標示了莊家優勢。賠付表 1 最常見。賠付以「1 比 1」表示。負 1 表示輸。
火注賠率表
| 提出的觀點 | 薪資表 A | 薪資表 B | 薪資表 C |
|---|---|---|---|
| 6 | 999 | 2000 | 299 |
| 5 | 249 | 200 | 149 |
| 4 | 24 | 10 | 29 |
| 3 | -1 | -1 | 6 |
| 2 | -1 | -1 | -1 |
| 1 | -1 | -1 | -1 |
| 0 | -1 | -1 | -1 |
| 莊家優勢 | 20.76% | 24.86% | 20.73% |
以下是我對賠率表 A 的分析。右下角單元格顯示莊家優勢為 20.76%。
火之賭注 — 賠率表 A
| 提出的觀點 | 支付 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|
| 0 | -1 | 0.593939 | -0.593939 |
| 1 | -1 | 0.260750 | -0.26075 |
| 2 | -1 | 0.101275 | -0.101275 |
| 3 | -1 | 0.033434 | -0.033434 |
| 4 | 24 | 0.008798 | 0.211156 |
| 5 | 249 | 0.001640 | 0.408343 |
| 6 | 999 | 0.000162 | 0.162272 |
| 全部的 | 1 | -0.207628 |
以下是我對賠率表 B 的分析。右下角單元格顯示莊家優勢為 24.86%。
火注 — 賠率表 B
| 提出的觀點 | 支付 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|
| 0 | -1 | 0.593939 | -0.593939 |
| 1 | -1 | 0.260750 | -0.26075 |
| 2 | -1 | 0.101275 | -0.101275 |
| 3 | -1 | 0.033434 | -0.033434 |
| 4 | 10 | 0.008798 | 0.087982 |
| 5 | 200 | 0.001640 | 0.327987 |
| 6 | 2000 | 0.000162 | 0.324869 |
| 全部的 | 1 | -0.248562 |
以下是我對賠率表 C 的分析。右下角單元格顯示莊家優勢為 20.73%。
火注 — 賠率表 C
| 提出的觀點 | 支付 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|
| 0 | -1 | 0.593939 | -0.593939 |
| 1 | -1 | 0.260750 | -0.26075 |
| 2 | -1 | 0.101275 | -0.101275 |
| 3 | 6 | 0.033434 | 0.200605 |
| 4 | 29 | 0.008798 | 0.255147 |
| 5 | 149 | 0.001640 | 0.244350 |
| 6 | 299 | 0.000162 | 0.048568 |
| 全部的 | 1 | -0.207295 |
下表顯示了獲得 0 到 6 分的機率，有效數字位數以 Excel 能夠處理的數量為準。
火注機率
| 提出的觀點 | 可能性 |
|---|---|
| 0 | 0.593939393939394 |
| 1 | 0.260750492003903 |
| 2 | 0.101275355549231 |
| 3 | 0.0334342121788456 |
| 4 | 0.00879817844040312 |
| 5 | 0.00163993313895325 |
| 6 | 0.000162434749269826 |
我常被問到如何計算上述機率。這的確是一個頗具挑戰性的數學問題。下面，我列出了三種計算得0到6分之間任意分數的機率的方法。
隨機模擬
隨機模擬是分析「火注」最簡單的方法。憑藉現代計算機的運算速度，它也極為精確。只有像我這樣的數學純粹主義者才會追求精確解。下表顯示了根據賠率表 A 計算的近 400 億次「火注」模擬結果。右下角單元格顯示賭場優勢為 20.7531%。實際賭場優勢為 20.7628%，因此模擬結果的誤差在 0.01% 以內。
火災投注模擬
| 提出的觀點 | 支付 | 勝利 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 999 | 6,452,452 | 0.000162 | 0.162257 |
| 5 | 249 | 65,165,019 | 0.001640 | 0.408438 |
| 4 | 24 | 349,553,690 | 0.008799 | 0.211173 |
| 3 | -1 | 1,328,267,592 | 0.033435 | -0.033435 |
| 2 | -1 | 4,023,371,732 | 0.101275 | -0.101275 |
| 1 | -1 | 10,358,742,102 | 0.260747 | -0.260747 |
| 0 | -1 | 23,595,605,529 | 0.593941 | -0.593941 |
| 全部的 | 39,727,158,116 | 1.000000 | -0.207531 |
馬可夫鏈
要精確計算「火之賭注」的機率，可以使用馬可夫鏈。這意味著要計算在已知 64 種已完成分數的情況下，完成任意未來分數的機率。計算過程在最後階段相當簡單，只要再得一分即可完成全部六分。然後，再逐步推算到第一次擲骰的初始狀態。
表格的第一行（不包括列標題）代表第一種狀態。它顯示了完成 0 到 6 個任意分數的機率（如上所述）。
火賭注馬可夫鏈
| 積分 已經 製成 | 可能性 0 分 | 可能性 1 分 | 可能性 2 分 | 可能性 3 分 | 可能性 4 分 | 可能性 5 分 | 可能性 6 分 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 沒有任何 | 0.593939 | 0.260750 | 0.101275 | 0.033434 | 0.008798 | 0.001640 | 0.000162 |
| 10 | 0.000000 | 0.619763 | 0.256759 | 0.091331 | 0.026183 | 0.005375 | 0.000589 |
| 9 | 0.000000 | 0.636364 | 0.252138 | 0.084540 | 0.022402 | 0.004153 | 0.000404 |
| 9,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.666100 | 0.244772 | 0.072316 | 0.015152 | 0.001660 |
| 8 | 0.000000 | 0.656067 | 0.244255 | 0.076831 | 0.019163 | 0.003370 | 0.000314 |
| 8,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.687719 | 0.234612 | 0.063990 | 0.012405 | 0.001274 |
| 8,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.708220 | 0.225365 | 0.055933 | 0.009618 | 0.000864 |
| 8、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 6 | 0.000000 | 0.656067 | 0.244255 | 0.076831 | 0.019163 | 0.003370 | 0.000314 |
| 6,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.687719 | 0.234612 | 0.063990 | 0.012405 | 0.001274 |
| 6,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.708220 | 0.225365 | 0.055933 | 0.009618 | 0.000864 |
| 6、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 6,8 | 0.000000 | 0.000000 | 0.732710 | 0.210728 | 0.048135 | 0.007762 | 0.000665 |
| 6、8、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.772414 | 0.190903 | 0.033563 | 0.003120 |
| 6、8、9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.798371 | 0.173323 | 0.026215 | 0.002091 |
| 6、8、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.845739 | 0.142050 | 0.012211 |
| 5 | 0.000000 | 0.636364 | 0.252138 | 0.084540 | 0.022402 | 0.004153 | 0.000404 |
| 5,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.666100 | 0.244772 | 0.072316 | 0.015152 | 0.001660 |
| 5,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.685315 | 0.237358 | 0.064328 | 0.011875 | 0.001124 |
| 5、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.719927 | 0.224997 | 0.049645 | 0.005432 |
| 5.8 | 0.000000 | 0.000000 | 0.708220 | 0.225365 | 0.055933 | 0.009618 | 0.000864 |
| 5、8、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 5,8,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.769382 | 0.195368 | 0.032496 | 0.002754 |
| 5、8、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.813278 | 0.170376 | 0.016346 |
| 5,6 | 0.000000 | 0.000000 | 0.708220 | 0.225365 | 0.055933 | 0.009618 | 0.000864 |
| 5、6、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 5,6,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.769382 | 0.195368 | 0.032496 | 0.002754 |
| 5、6、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.813278 | 0.170376 | 0.016346 |
| 5、6、8 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.798371 | 0.173323 | 0.026215 | 0.002091 |
| 5、6、8、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.845739 | 0.142050 | 0.012211 |
| 5、6、8、9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.876957 | 0.114977 | 0.008066 |
| 5、6、8、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.934446 | 0.065554 |
| 4 | 0.000000 | 0.619763 | 0.256759 | 0.091331 | 0.026183 | 0.005375 | 0.000589 |
| 4,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.647934 | 0.250930 | 0.079930 | 0.018752 | 0.002454 |
| 4,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.666100 | 0.244772 | 0.072316 | 0.015152 | 0.001660 |
| 4、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.698752 | 0.234682 | 0.058434 | 0.008131 |
| 4.8 | 0.000000 | 0.000000 | 0.687719 | 0.234612 | 0.063990 | 0.012405 | 0.001274 |
| 4、8、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.722581 | 0.221643 | 0.049624 | 0.006153 |
| 4,8,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 4、8、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.786359 | 0.188851 | 0.024790 |
| 4.6 | 0.000000 | 0.000000 | 0.687719 | 0.234612 | 0.063990 | 0.012405 | 0.001274 |
| 4、6、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.722581 | 0.221643 | 0.049624 | 0.006153 |
| 4,6,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 4、6、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.786359 | 0.188851 | 0.024790 |
| 4,6,8 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.772414 | 0.190903 | 0.033563 | 0.003120 |
| 4、6、8、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.816667 | 0.164832 | 0.018502 |
| 4、6、8、9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.845739 | 0.142050 | 0.012211 |
| 4、6、8、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.899083 | 0.100917 |
| 4.5 | 0.000000 | 0.000000 | 0.666100 | 0.244772 | 0.072316 | 0.015152 | 0.001660 |
| 4、5、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.698752 | 0.234682 | 0.058434 | 0.008131 |
| 4,5,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.719927 | 0.224997 | 0.049645 | 0.005432 |
| 4、5、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.758221 | 0.208531 | 0.033248 |
| 4、5、8 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 4、5、8、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.786359 | 0.188851 | 0.024790 |
| 4、5、8、9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.813278 | 0.170376 | 0.016346 |
| 4、5、8、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.862486 | 0.137514 |
| 4、5、6 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 4、5、6、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.786359 | 0.188851 | 0.024790 |
| 4、5、6、9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.813278 | 0.170376 | 0.016346 |
| 4、5、6、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.862486 | 0.137514 |
| 4、5、6、8 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.845739 | 0.142050 | 0.012211 |
| 4、5、6、8、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.899083 | 0.100917 |
| 4、5、6、8、9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.934446 | 0.065554 |
| 4、5、6、8、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 1.000000 |
如果您打算嘗試復現我的工作，以下是一些關於如何從一個狀態過渡到另一個狀態的建議。從接近結束的狀態開始，也就是投擲者已經獲得 5 分的狀態。例如，如果投擲者只需要 4 分，那麼可能會發生三種情況：（1）他投中並獲得了 4 分；（2）他投中並獲得了他已經獲得過的一個分數；（3）他投中了 7 分。情況 (1) 的機率為 (3/24)*(1/3) = 1/24 = 0.041667。情況 (2) 的機率為 (4/24)*(2/5) + (5/24)*(5/11) + (5/24)*(5/11) + (4/24)*(2/5) + (3/24)*(1/3) = 0.364394。事件 (3) 發生的機率為 1 - 0.041667 - 0.364394 = 0.593939。最終事件 (1) 或 (3) 會發生。事件 (1) 先於事件 (3) 發生的機率為 0.041667 / (0.041667 + 0.593939) = 0.065554。遞歸地推導至起點。這要么耗時、重複且枯燥，要么你可以使用電子表格自動完成。
結石
此方法的第一步是計算點數確定後，過線投注所有7種可能結果的機率。我們可以忽略玩家在開局擲骰中立即獲勝或失敗的12種組合（即1/3的機率），因為這些事件對火線投注並不重要。因此，第一次擲骰是基於24種可能的組合，而不是36種。
- 得4分並獲勝 = (3/24) × (3/9) = 1/24 ≈ 4.17%
- 5分中獲勝的1分 = (4/24) × (4/10) = 1/15 ≈ 6.67%
- 6分得分並獲勝 = (5/24) × (5/11) = 25/264 ≈ 9.47%
- 8分中得分並獲勝 = (5/24) × (5/11) = 25/264 ≈ 9.47%
- 9分中得分並獲勝 = (4/24) × (4/10) = 1/15 ≈ 6.67%
- 10分中得分並獲勝的機率 = (3/24) × (3/9) = 1/24 ≈ 4.17%
- 任何得分和7出局 = 2×((3/24) × (6/9))+ 2× ((4/24) × (6/10)) + 2×((5/24) × (6/11)) = 98/165 ≈ 59.39%
請注意，這些機率總和等於 1。
接下來，我們不再讓「火注」由每次擲一次兩顆骰子來決定，而是假設事件之間的時間間隔是隨機的，服從平均值為1的指數分佈。如果某個事件發生，那麼該事件的發生機率將遵循我們剛才計算的擲骰子機率。
例如，0.4 勝的機率是 1/24。因此，兩次 0.4 勝之間的平均時間間隔為 24 個單位。連續 x 個單位時間沒有 0.10 勝的機率是 exp(-x/24)。反過來，在 x 個單位時間內至少取得一次 0.10 勝的機率是 1-exp(-x/24)。
判定「火之賭局」勝負時，事件之間的時間間隔並不重要，重要的是事件本身。因此，我們可以如下對所有事件進行積分，從而得出最終的勝負結果：
讓我解釋一下這個積分的意思。它表示經過 x 個時間單位後，除 7 點以外，其他點數至少出現過一次的機率。由於 0.4 和 0.10 的機率相同，我們可以將 0.4 的機率平方。 5 和 9、6 和 8 的情況也類似。最後，我們將整個結果乘以 98/165（即出現 7 點的機率），從而結束投注。如果我們不這樣做，玩家可能會因為多次重疊的獲勝而獲得賠償。
手動計算這個積分非常繁瑣且容易出錯。幸運的是，有積分計算器可以使用。要使用積分計算器解決這個問題，請點擊鏈接，並在頂部的文本框中輸入以下內容：(1-exp(-x/24))^2*(1-exp(-x/15))^2*(1-exp(-25x/264))^2*exp(-98x/165)/(165/98)。然後點擊“選項”，將下限設為 0，上限設為無限大。最後點選“計算”。
在考慮積分限之前，答案是(98*(-(165*e^(-(98*x)/165))/98+(2640*e^(-(839*x)/1320))/839+(330*e^(-(109*x)/165))/109 -(220*e^(-(149*x)/220))/149+(880*e^(-(303*x)/440))/303-(1760*e^(-(309*x)/440))/309-(11* e^(-(8*x)/11))/8-(1320*e^(-(241*x)/330))/241+(1320*e^(-(491*x)/660))/491-(5280*e^(-(99) 7*x)/1320))/997+(528*e^(-(203*x)/264))/203+(2640*e^(-(1019*x)/1320))/1019-(60*e^(-(47*x) )/60))/47+(2640*e^(-(263*x)/330))/263-(132*e^(-(107*x)/132))/107+(528*e^(-(217*x)/264) )/217+(80*e^(-(33*x)/40))/33-(1760*e^(-(369*x)/440))/369+(40*e^(-(17*x)/20))/17-(88*e^( -(19*x)/22))/19-(15*e^(-(13*x)/15))/13-(480*e^(-(107*x)/120))/107+(528*e^(-(239*x)/264) )/239-(12*e^(-(11*x)/12))/11+(15*e^(-(14*x)/15))/7+(48*e^(-(23*x)/24))/23-e^(-x)))/165。
幸運的是，該計算器允許積分邊界，並給出了 3700403899126040038831518494284887738125 / 22780863797678919004236184381936184381936095 0.0001624347492698264。
當然，這只是全部六分的機率，但同樣的邏輯也可以用來計算任意分數的機率。這留給讀者當作練習吧 ;-)。
外部連結
- 關於火註數學的討論，請造訪我的姊妹網站Wizard of Vegas。
- 請查看我自己的電子表格，我已將其發佈在 Google Docs 上，供任何人下載。
- 《機會論：賭博的機率面》 （作者：Stwart N. Ethier）一書中討論了火注數學。
致謝
我要感謝 Wizard of Vegas 論壇成員 Ace2，感謝他孜孜不倦地指導我使用積分法求解火注的機率。