不同的雙打

簡介

「不同雙倍」是比洛克西博里瓦奇賭場常見的一種擲骰子附加賭注。它根據擲骰者在擲出總數為7之前擲出的不同雙倍的次數來支付賠付。賠付表如下：

• 6 次雙倍賠率為 100 比 1
• 5 次雙倍賠率為 15 比 1
• 4 個雙倍賠率為 8 比 1
• 3 次雙倍賠率為 4 比 1

分析

下表顯示了所有可能結果的機率及其對回報的貢獻。右下角單元格顯示莊家優勢為 27.92%（哎喲！）。

代數分析

任何給定雙倍的機率為 1/36。因此，任何雙倍的機率為 6/36 = 1/6。任何七的機率為 1/6。除了雙倍和七之外，我們可以忽略所有擲出的點數。因此，假設有一輪擲出的點數與投注相關，則該輪的機率如下：

• 任一雙倍 = 1/2
• 任七 = 1/2

第一次擲出有效點數 7 的機率是 1/2。因此，出現雙倍點數的機率為零。

否則，玩家就會擲出雙點。現在我們可以忽略再次擲出雙點這一重要事件。兩種重要事件的機率現在分別為：

• 任何顯著的雙倍 = 5/11
• 任七 = 6/11

此時，玩家擲出7點（一次雙倍）的機率為6/11。因此，擲出一次雙倍的總體機率為(1/2)*(6/11) = 3/11 = 約27.27%。

否則，玩家就會擲出第二個雙倍。現在，我們可以忽略擲出兩個不同的雙倍作為顯著事件。現在，兩種顯著事件的機率分別為：

• 任何顯著的雙倍 = 4/10
• 任七 = 6/10

此時玩家擲出兩次雙倍點數的機率為 6/10。因此，一次雙倍點數的總體機率為 (1/2)*(5/11)*(6/10) = 3/22 = 約 13.6363636%。

否則，玩家就會擲出第三個雙數。現在我們可以忽略擲出三個不同的雙數作為顯著事件。兩種顯著事件的機率現在分別為：

• 任何顯著的雙倍 = 3/9
• 任七 = 6/9

此時玩家擲出兩次雙倍點數的機率為 6/9。因此，擲出一次雙倍點數的總體機率為 (1/2)*(5/11)*(4/10)*(6/9) = 2/33 = 約 6.060606%。

否則，玩家就會擲出第四個雙數。現在我們可以忽略擲出四個不同的雙數作為顯著事件。兩種顯著事件的機率現在分別為：

• 任何顯著的雙倍 = 2/8
• 任七 = 6/8

此時玩家擲出兩次雙倍點數的機率為 6/8。因此，一次雙倍點數的總體機率為 (1/2)*(5/11)*(4/10)*(3/9)*(6/8) = 1/44 = 約 2.272727%。

否則，玩家就會擲出第五個雙數。現在我們可以忽略擲出五個不同的雙數作為顯著事件。兩種顯著事件的機率現在分別為：

• 任何顯著的倍數 = 1/7
• 任七 = 6/7

此時玩家擲出兩次雙倍的機率為 6/7。因此，一次雙倍的總體機率為 (1/2)*(5/11)*(4/10)*(3/9)*(2/8)*(6/7) = 1/154 = 約 0.649351%。

否則，玩家會擲出最後一個剩下的雙點。其機率為 (1/2)*(5/11)*(4/10)*(3/9)*(2/8)*(1/7) = 1/924 = 約 0.108225%。

現在，我們可以將所有這些放在上面的回報表中。組合數共有 924 種。

積分分析

想像一下，重大事件不再由一次擲骰子來決定，而是被視為一個時間瞬間。假設事件之間的時間間隔具有無記憶性，平均間隔一個單位時間。換句話說，事件之間的時間間隔服從平均值為1的指數分佈。這對裁決賭注來說無關緊要，因為事件仍然是一次一個地發生的。

特定雙倍事件之間的時間間隔服從指數分佈，平均值為 12。之所以使用 12，是因為如果發生重大事件，則有 1/12 的機率是該特定雙倍事件。因此，特定雙倍事件在 x 個單位時間內未發生的機率為 exp(-x/12)。因此，它發生的機率為 1-exp(-x/12)。

設 x 為投注開始以來的時間單位數。所有雙倍出現且七點未出現的機率為 (1-exp(-x/12)) ⁶ × exp(-x/2)。

以在時間 x 擲出 7 來結束此過程，將其乘以 1/2（擲出 7 的機率），得到在時間 x 恰好擲出獲勝的機率為 (1/2) ×(1-exp(-x/12)) ⁶ × exp(-x/2)

若要找出所有時間內獲勝的機率，請從 1 到無限大進行積分：

為了求積分，我推薦使用這個積分計算器。在積分欄中輸入「(1-exp(-x/12))^6*(1/2)*exp(-x/2)」。對於積分極限，在選項下輸入 0 和 ∞。然後點選“開始”。「它將給出下面的積分：

(-(1-e^(-x/12))^12+(60*(1-e^(-x/12))^11)/11-12*(1-e^(-x/12))^10+(40 *(1-e^(-x/12))^9)/3-(15*(1-e^(-x/12))^8)/2+(12*(1-e^(-x/12))^7)/7)/2

但是，我們不需要輸入 0。計算器給的答案是 1/924 = 約 0.001082251082251082。

這是五種不同加倍的積分。結果為 6 是因為有 6 種可能的加倍沒有被算出來：

這是在 x 個時間單位內獲勝的機率：

將積分範圍設為從 0 到無限大，則擲出五個不同雙數的機率為 1/154。

這是四個不同雙精度浮點數的積分。之所以是 15，是因為在 6 個浮點數中，有 4 個浮點數有 6!/(4!*2!) = 15 種可能的組合：

這是在 x 個時間單位內獲勝的機率：

將積分範圍設為從 0 到無限大，則擲出四個不同雙精度數的機率為 1/44。

這是三個不同雙精度數的積分。之所以是 20，是因為在 6 個雙精度數中，有 3 個可能的組合，總共有 6!/(3!*3!) = 20 種：

這是在 x 個時間單位內獲勝的機率：

將積分範圍設為從 0 到無限大，則擲出三個不同雙精度數的機率為 2/33。

撰寫者: Michael Shackleford