紅利擲骰子

簡介

獎金擲骰子（Bonus Craps）是擲骰子遊戲中的一組三種附加賭注。具體如下：

• 小－如果投擲者擲出總數為 2 至 6 之間的所有點數，然後才擲出總數為 7，則獲勝。獲勝賠率通常為 30 比 1。
• 高點數 (Tall) — 若投擲者擲出總數為 8 至 12 之間的所有點數，然後才擲出總數為 7，則獲勝。獲勝賠率通常為 30 比 1。
• 全部 — 如果投擲者在擲出總數 7 之前擲出 2 到 12 之間的所有數字（除 7 外），則獲勝。獲勝賠率通常為 150 比 1。

2021 年，我開始在威尼斯人看到這種名為「Diceology」的賭注。

分析

下表顯示了我對小注和大注的分析，獲勝賠率為 30 比 1。右下角單元格顯示莊家優勢為 18.30%。

過去，有些賭桌在小型和大型賭桌上的賠率高達1比34。如今這些賠率更高，賭場優勢高達7.76%。

下表顯示了我對「全部下注」的分析，獲勝賠率為 150 比 1。右下角單元格顯示莊家優勢為 20.61%。

我見過「全注」的其他賠率，包括1比155和1比175。記得在賠率中減去1，才能將賠率從「一比一」轉換為「一比一」。下表顯示了賠率在150到175之間，且能被5整除的賠率的賭場優勢。

方法論

我從三個方面分析了 Bonus Craps，如下所示：

• 模擬—這可能是最簡單的方法。然而，對於像我這樣的數學純粹主義者來說，模擬總是無法帶來足夠的智力滿足。
• 馬可夫鏈－這種方法繁瑣且耗時。對於「小」和「高」模型，它需要一個 6x6 的轉移矩陣，而對於「全」模型，則需要一個 12x12 的轉移矩陣。
• 積分微積分－使用積分計算器，這種方法非常簡單。我將在下文中更深入地解釋。

想像一下，重大事件不再由一次擲骰子來決定，而是被視為一個時間瞬間。假設事件之間的時間間隔具有無記憶性，平均間隔為一個時間單位。換句話說，事件之間的時間間隔服從平均值為1的指數分佈。這對於判定賭注而言無關緊要，因為事件仍然是一次一個地發生的。

以下是在 x 個時間單位內任何給定總數至少未滾動一次的機率：

• 2 或 12：exp(-x/36)
• 3 或 11：exp(-x/18)
• 4 或 10：exp(-x/12)
• 5 或 9：exp(-x/9)
• 6 或 8：exp(-5x/36)
• 7：exp（-x/6）

我們先來看看小注。大注的賠率和小注完全一樣。

在 x 個時間單位內，擲出 2、3、4、5 和 6 而未擲出 7 的機率為： (1-exp(-x/36))*(1-exp(-x/18))*(1-exp(-x/12))*(1-exp(-x/9)))*(1-exp(-x/12))*(1-exp(-x/9))*(1-exp(-x/12))*(1-exp(-x/9))*(1-exp(-x/12) 擲出時間， x/4x/4x2 7，之前擲出的總數為 2 到 6，則該玩家的機率為：

對於積分，我使用了這個積分計算器。

由於中獎號碼 7 隨時可能出現，中獎機率就是該機率對 x 從 0 到無限大的積分。我們不需要知道，但在代入積分極限之前，積分是(-6*e^(-x/6)+(36*e^(-(7*x)/36))/7+(9*e^(-(2*x)/9))/2-(36*e^ (-(11*x)/36))/11-3*e^(-x/3)-(36*e^(-(13*x)/36))/13+(18*e^(- (7*x)/18))/7+(12*e^(-(5*x)/12)/18))/7+(12*e^(-(5*x)/12)/^5(2)/ (-(19*x)/36))/19-(9*e^(-(5*x)/9))/5+(12*e^(-(7*x)/12))/7)/6。

代入積分極限，答案是 20049 / 760760 = 約 0.02635390924864609。

接下來我們來看全注。

在 x 個時間單位內，擲出 2、3、4、5、6、8、9、10、11 和 12 而未擲出 7 的機率為： (1-exp(-x/36)) ^{2 *(1-exp(-x/16)) 2} *(1-exp(-x/12) ²² *(-x/16)) ² *(1-exp(-x/12) 22 *(3) *195) * ² *exp(-x/6) 在時間 x 處，^玩家擲出 7，之前擲出的總數為 2 到 6，則該玩家的機率為：

由於中獎數字 7 隨時可能出現，中獎機率就是該機率對 x 從 0 到無限大的積分。我們不需要知道這個值，但在帶入積分極限之前，積分等於(-6*e^(-x/6)+(72*e^(-(7*x)/36))/7+(9*e^(-(2*x)/9))/2-8*e^(-x/4)-(18*e^(-(5 *x)/18))/5-(72*e^(-(11*x)/36))/11+(72*e^(-(13*x)/36))/13+(108*e^(-(7*x)/1) 8))/7+(24*e^(-(5*x)/12))/5-(27*e^(-(4*x)/9))/4-(216*e^(-(17*x)/36))/17-10* e^(-x/2)-(72*e^(-(19*x)/36))/19+(27*e^(-(5*x)/9))/5+(144*e^(-(7*x)/12))/7+ (54*e^(-(11*x)/18))/11-(72*e^(-(23*x)/36))/23-(15*e^(-(2*x)/3))/2-(216*e^( -(25*x)/36))/25-(54*e^(-(13*x)/18))/13+(8*e^(-(3*x)/4))/3+(54*e^(-(7*x)/9) )/7+(72*e^(-(29*x)/36))/29-(72*e^(-(31*x)/36))/31-(9*e^(-(8*x)/9))/8-(24*e ^(-(11*x)/12))/11+(18*e^(-(17*x)/18))/17+(72*e^(-(35*x)/36))/35-e^(-x))/6。

代入積分極限，答案是 126538525259 / 24067258815600 = 0.0052577040961964420049。

撰寫者: Michael Shackleford