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紙牌擲骰子
簡介
根據加州憲法，單憑骰子可能無法決定擲骰子遊戲的結果。因此，賭場通常會使用骰子和撲克牌的組合，或只使用撲克牌，來模擬兩個骰子的擲出效果。我的擲骰子附錄6詳細介紹了不同賭場的做法。
加州賭場大多有一些使用紙牌和骰子來代表擲骰結果的方法。例如，六張牌（從A到6）可以隨機擺放，然後由骰子決定要翻開哪張牌來代表擲骰結果。然而，Viejas和San Manuel兩家賭場只使用一副從A到6的牌盒，並從中抽取兩張牌來代表擲骰結果。 Viejas賭場將這種玩法稱為「玩擲骰子」（Play Craps）。 San Manuel賭場則只使用「擲骰子」（Craps）。
在聖曼努埃爾賭場，我聽說他們使用312張牌。關於維耶哈斯賭場使用多少張牌，存在不少爭議。賭場老闆聲稱他們使用六副牌，每副54張，總共6×54=324張牌。然而，折扣賭場聲稱他們使用五副牌，每副44張，總共5×44=264張牌。每次我在維耶哈斯賭場，我總是會問大家他們使用多少張牌，但沒有人能直接回答我這個問題。
牌的數量之所以重要，是因為移除牌的影響。無論第一張牌是什麼，第二張牌與之相符的機率不到六分之一。擲骰子時，擲出一對的機率是1/6=16.667%。如果是324張牌，則機率為(53/323)=16.409%。如果是264張牌，則機率為43/263=16.350%。
我將用 324 張卡和 264 張卡兩種方式來示範計算。你得自己判斷他們實際上用了多少張卡片。
324張牌盒
擲骰子遊戲中的機率
| 骰子總數 | 324張卡片 | 骰子 |
|---|---|---|
| 2 | 2.7348% | 2.7778% |
| 3 | 5.5728% | 5.5556% |
| 4 | 8.3075% | 8.3333% |
| 5 | 11.1455% | 11.1111% |
| 6 | 13.8803% | 13.8889% |
| 7 | 16.7183% | 16.6667% |
| 8 | 13.8803% | 13.8889% |
| 9 | 11.1455% | 11.1111% |
| 10 | 8.3075% | 8.3333% |
| 11 | 5.5728% | 5.5556% |
| 12 | 2.7348% | 2.7778% |
| 全部的 | 100.0000% | 100.0000% |
下表顯示了 Viejas 規則和標準骰子遊戲下大多數賭注的莊家優勢。
擲骰子遊戲中的機率
| 賭注 | 支付 | 324張卡片 | 骰子 |
|---|---|---|---|
| 經過 | 1比1 | 1.368% | 1.414% |
| 不要通過 | 1比1 | 1.366% | 1.364% |
| 賠率 4、10 | 2比1 | 0.412% | 0.000% |
| 賠率 5, 9 | 3比2 | 0.000% | 0.000% |
| 賠率 6, 8 | 6點到5點 | 0.202% | 0.000% |
| 賠率 4、10 | 1 至 2 | -0.206% | 0.000% |
| 賠率 5, 9 | 2到3 | 0.000% | 0.000% |
| 賠率 6, 8 | 5到6 | -0.169% | 0.000% |
| 排名第 4、第 10 位 | 9點到5點 | 7.052% | 6.667% |
| 第5、9名 | 7點到5點 | 4.000% | 4.000% |
| 第6、8名 | 7點到6點 | 1.714% | 1.515% |
| 損失地點 4,10 | 5至11 | 2.830% | 3.030% |
| 輸球地點 5,9 | 5至8 | 2.500% | 2.500% |
| 輸球排名 6,8 | 4到5 | 1.653% | 1.818% |
| 買 4、10 | 39至21 | 5.155% | 4.762% |
| 購買 5、9 | 29至21 | 4.762% | 4.762% |
| 購買 6、8 | 23至21 | 4.955% | 4.762% |
| 4、10號位 | 19至41 | 2.830% | 3.030% |
| 5.9號位 | 19至31 | 2.500% | 2.500% |
| 6、8號位 | 19至23 | 1.653% | 1.818% |
| 硬地 4,10 | 7比1 | 12.577% | 11.111% |
| 硬6,8 | 9比1 | 10.624% | 9.091% |
| 場地（12賠3比1） | 3.044% | 2.778% | |
| 2、12 | 30比1 | 15.222% | 13.889% |
| 3、11 | 15比1 | 10.836% | 11.111% |
| 7 | 4比1 | 16.409% | 16.667% |
上表特別指出的是，若點數為4、6、8和10，則賭場優勢為負。換句話說，玩家佔了上風！當然，你必須先下注負期望值不及格的賭注。 Viejas賭場慷慨地允許玩家下注高達10倍的賠率，最高贏取1,000美元。如果玩家在點數為4、6、8和10時下注最高賠率，那麼不及格賠率和下注賠率之間的總賭場優勢為0.016%。如果玩家在所有點數上都下注全額賠率，那麼總賭場優勢為0.011%。
264張牌的牌盒
擲骰子遊戲中的機率
| 骰子總數 | 264 張卡片 | 骰子 |
|---|---|---|
| 2 | 2.725% | 2.7778% |
| 3 | 5.5767% | 5.5556% |
| 4 | 8.3016% | 8.3333% |
| 5 | 11.1534% | 11.1111% |
| 6 | 13.8783% | 13.8889% |
| 7 | 16.73% | 16.6667% |
| 8 | 13.8783% | 13.8889% |
| 9 | 11.1534% | 11.1111% |
| 10 | 8.3016% | 8.3333% |
| 11 | 5.5767% | 5.5556% |
| 12 | 2.725% | 2.7778% |
| 全部的 | 100% | 100% |
下表顯示了 Viejas 規則和標準骰子遊戲下大多數賭注的莊家優勢。
擲骰子遊戲中的機率
| 賭注 | 支付 | 264 張卡片 | 骰子 |
|---|---|---|---|
| 經過 | 1比1 | 1.358% | 1.414% |
| 不要通過 | 1比1 | 1.367% | 1.364% |
| 賠率 4、10 | 2比1 | 0.506% | 0.000% |
| 賠率 5, 9 | 3比2 | 0.000% | 0.000% |
| 賠率 6, 8 | 6點到5點 | 0.248% | 0.000% |
| 賠率 4、10 | 1 至 2 | -0.253% | 0.000% |
| 賠率 5, 9 | 2到3 | 0.000% | 0.000% |
| 賠率 6, 8 | 5到6 | -0.207% | 0.000% |
| 第4、10名 | 9點到5點 | 7.139% | 6.667% |
| 第5、9名 | 7點到5點 | 4.000% | 4.000% |
| 第6、8名 | 7點到6點 | 1.760% | 1.515% |
| 損失地點 4,10 | 5至11 | 2.785% | 3.030% |
| 輸球地點 5,9 | 5至8 | 2.500% | 2.500% |
| 輸球排名 6,8 | 4到5 | 1.615% | 1.818% |
| 買 4、10 | 39至21 | 5.244% | 4.762% |
| 買 5、9 | 29至21 | 4.762% | 4.762% |
| 購買 6、8 | 23至21 | 4.999% | 4.762% |
| 4、10號位 | 19至41 | 2.785% | 3.030% |
| 5.9號位 | 19至31 | 2.500% | 2.500% |
| 6、8號位 | 19至23 | 1.615% | 1.818% |
| 硬地 4,10 | 7比1 | 12.911% | 11.111% |
| 硬6,8 | 9比1 | 10.973% | 9.091% |
| 場地（12賠3比1） | 3.105% | 2.778% | |
| 2、12 | 30比1 | 15.526% | 13.889% |
| 3、11 | 15比1 | 10.773% | 11.111% |
| 7 | 4比1 | 16.350% | 16.667% |
上表特別指出的是，在4、6、8和10點的賠率下，賭場優勢為負。換句話說，玩家佔了上風！當然，你必須先下注負期望的「不過關」註。 Viejas賭場慷慨地允許玩家下注高達10倍的賠率，最高贏取1,000美元。如果玩家在4、6、8和10點的賠率下注最高，那麼「不過關」賠率和下注賠率之間的整體玩家優勢將為0.022%。
這些數字是基於每次從264張牌盒中隨機抽取兩張牌進行的「投擲」。然而，遊戲使用的是連續洗牌機。這些洗牌機的工作原理是透過牌架來實現的。任何新來的牌都不能放入最上面的牌架，因為新牌是從那裡發出的。因此，除非到達新的牌架，否則滲透的程度遠不止兩張牌。很明顯，即使是輕微的滲透也會對“不過關”的投注有利。在「出局擲骰」中用來得分的牌可能無法再次被抽取，直到新的牌架出現，這使得擲出七點並獲勝的可能性極高。
精彩的新網站discountgambling.net分析了洗牌機的效果，併計算出玩家每下注不超過線 (DNT) 的籌碼優勢為 1.8%。他也介紹了一種算牌策略，進一步提升了優勢。即使你住的地方離聖地牙哥很遠，這個網站也值得一看。他還有關於密西西比撲克 (Mississippi Stud) 和終極德州撲克 (Ultimate Texas Hold 'Em) 的精彩資料。
其他甲板數量
我收到一份報告，俄克拉荷馬州喬克托賭場玩擲骰子遊戲用的是八副牌，只用A到6。我聽說他們發六張面朝下的牌，玩家從中選兩張來代表一次擲骰子。
為了嘗試解答這種遊戲中不同牌組數量的遊戲，我提供了下表，該表顯示了根據所用牌組數量計算的大多數賭注的莊家優勢。
紙牌擲骰子遊戲中的莊家優勢（以牌組數量計算）
| 賭注 | 支付 | 4副甲板 | 6副甲板 | 8副牌 | 10副套牌 | 12副牌 | 16副甲板 | 20副套牌 | 無限 甲板 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 經過 | 1比1 | 1.26% | 1.31% | 1.34% | 1.35% | 1.36% | 1.38% | 1.38% | 1.41% |
| 不要通過 | 1比1 | 1.38% | 1.37% | 1.37% | 1.37% | 1.37% | 1.37% | 1.37% | 1.36% |
| 賠率 4、10 | 2比1 | 1.40% | 0.93% | 0.70% | 0.56% | 0.46% | 0.35% | 0.28% | 0.00% |
| 賠率 5, 9 | 3比2 | 0.00% | 0.00% | 0.00% | 0.00% | 0.00% | 0.00% | 0.00% | 0.00% |
| 賠率 6, 8 | 6點到5點 | 0.69% | 0.46% | 0.34% | 0.27% | 0.23% | 0.17% | 0.14% | 0.00% |
| 賠率 4、10 | 1 至 2 | -0.70% | -0.47% | -0.35% | -0.28% | -0.23% | -0.17% | -0.14% | 0.00% |
| 賠率 5, 9 | 2到3 | 0.00% | 0.00% | 0.00% | 0.00% | 0.00% | 0.00% | 0.00% | 0.00% |
| 賠率 6, 8 | 5到6 | -0.57% | -0.38% | -0.28% | -0.23% | -0.19% | -0.14% | -0.11% | 0.00% |
| 排名第 4、第 10 位 | 9點到5點 | 7.97% | 7.53% | 7.32% | 7.19% | 7.10% | 6.99% | 6.93% | 6.67% |
| 第5、9名 | 7點到5點 | 4.00% | 4.00% | 4.00% | 4.00% | 4.00% | 4.00% | 4.00% | 4.00% |
| 第6、8名 | 7點到6點 | 2.19% | 1.96% | 1.85% | 1.78% | 1.74% | 1.68% | 1.65% | 1.52% |
| 損失地點 4,10 | 5至11 | 2.35% | 2.58% | 2.69% | 2.76% | 2.81% | 2.86% | 2.90% | 3.03% |
| 輸球地點 5,9 | 5至8 | 2.50% | 2.50% | 2.50% | 2.50% | 2.50% | 2.50% | 2.50% | 2.50% |
| 輸球排名 6,8 | 4到5 | 1.26% | 1.44% | 1.54% | 1.59% | 1.63% | 1.68% | 1.71% | 1.82% |
| 買 4、10 | 39至21 | 6.09% | 5.65% | 5.43% | 5.29% | 5.20% | 5.09% | 5.03% | 4.76% |
| 購買 5、9 | 29至21 | 4.76% | 4.76% | 4.76% | 4.76% | 4.76% | 4.76% | 4.76% | 4.76% |
| 購買 6、8 | 23至21 | 5.41% | 5.20% | 5.09% | 5.02% | 4.98% | 4.92% | 4.89% | 4.76% |
| 4、10號位 | 19至41 | 2.35% | 2.58% | 2.69% | 2.76% | 2.81% | 2.86% | 2.90% | 3.03% |
| 5.9號位 | 19至31 | 2.50% | 2.50% | 2.50% | 2.50% | 2.50% | 2.50% | 2.50% | 2.50% |
| 6、8號位 | 19至23 | 1.26% | 1.44% | 1.54% | 1.59% | 1.63% | 1.68% | 1.71% | 1.82% |
| 硬地 4,10 | 7比1 | 16.08% | 14.42% | 13.59% | 13.09% | 12.76% | 12.35% | 12.10% | 11.11% |
| 硬6,8 | 9比1 | 14.29% | 12.55% | 11.68% | 11.16% | 10.82% | 10.38% | 10.13% | 9.09% |
| 場地（12賠2比1） | 6.32% | 6.06% | 5.93% | 5.86% | 5.81% | 5.74% | 5.71% | 5.56% | |
| 場地（12賠3比1） | 3.68% | 3.38% | 3.23% | 3.14% | 3.08% | 3.00% | 2.96% | 2.78% | |
| 2、12 | 30比1 | 18.42% | 16.90% | 16.14% | 15.69% | 15.39% | 15.01% | 14.79% | 13.89% |
| 3、11 | 15比1 | 10.18% | 10.49% | 10.65% | 10.74% | 10.80% | 10.88% | 10.93% | 11.11% |
| 七 | 4比1 | 15.79% | 16.08% | 16.23% | 16.32% | 16.38% | 16.45% | 16.49% | 16.67% |