賓果機率：Station Casinos 巨額累積獎金分析

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自從我寫了第一份報告後，Station 的賭場顯然又改變了賠率和雙數的分配，大概是在十月份的某個時候。下表顯示了我最近拿到的牌以及另一張我暫且稱之為「L」的牌的分配情況。

雖然賠率範圍保持不變，但機率現在嚴重偏向14，而不是之前的更均勻分佈。賠率越高，贏得累積獎金就越困難。基於此樣本，如果您想要獲得正的預期值，我現在建議等到巨球達到54。

下表將我的總樣本與相同樣本大小下的預期總數進行比較，並假設採用 Stephen L. Cavallaro（Station Casinos 執行副總裁兼首席營運官）之前向我解釋的相同抽牌方法，假設每個總數的機率相同。

顯而易見，我的結果與預期不符。此分佈的偏度與預期進行比較的統計檢定結果顯示，卡方統計量為 330.71，自由度為 5。出現如此或更大偏度結果的機率為402,433,741,048,496,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000換個角度來看，連續八次中強力球的機率更大。

為了進一步論證抽牌方式確實發生了變化，下表展示了我所謂的更改前後的樣本結果。樣本1採集於8月，樣本2採集於10月30日及11月1日。

下圖比較了上表中兩個機率列與預期機率的關係。

這表明，儘管樣本1與預期結果不太吻合，但偏差仍有可能是由於樣本傾斜造成的（這種機率為4844分之一）。然而，新的樣本無疑既不符合預期，也不符合舊樣本。

我向Station Casinos管理層諮詢了新牌的抽獎方式，他們說抽牌方式沒有任何變化。他們對我提出的相反證據沒有做出任何評論，並且由於我的“負面報道”，拒絕了進一步的合作。

註：「麥克的樣本」於11月1日下午3點在日落站採集。 「L的樣本」於10月30日上午9點和11點在博爾德站採集。

以下是我的初步研究，但現在已經過時了。

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以下是我的證據，證明以下拉斯維加斯賭場出售的累積賓果卡並非完全隨機創建。

• 皇宮站
• 聖塔菲站
• 德州站
• 博爾德站
• 日落站
• 嘉年華牧場
• 嘉年華亨德森
• 山姆小鎮

拉斯維加斯的Station賭場經營一款名為「巨無霸賓果」（Jumbo Bingo）的連線賓果累積獎金遊戲。累積獎金的起始價為10萬美元。玩家必須在47次叫牌中全中（即卡牌上所有24個號碼全部覆蓋）才能中獎。如果第一週五家賓果店中無人中獎，則累積獎金（稱為巨無霸球）的叫牌次數將增加一次，達到48次。同樣，巨無霸球的叫牌次數也會每週增加一次，直到有人中獎為止。

顯然，為了節省時間，前37個被叫出的數字都是2到74之間的偶數。巨型賓果卡上預先標示了所有偶數，非常方便。遊戲開始時，主持人會詢問是否有人憑藉全是偶數的卡牌獲勝。然後，在無人認領中獎卡後，主持人將隨機抽出球，不考慮偶數球。如果在巨型球被叫出時無人獲得連身衣，則在52次叫牌後，將獲得5000美元的安慰獎，獎品是連身衣。如果沒有人認領，無論叫牌次數多少，第一個獲得連身衣的人都將獲得1199美元的獎金。與賓果遊戲一樣，如果多名玩家同時獲勝，獎金將平分。

Fiesta 賭場也有類似的遊戲，但規模較小。累積獎金起獎金額為 25,000 美元，安慰獎金額較小。所有雙數號碼都提前叫出。 Sam's Town 賭場則相反，奇數號碼提前叫出。

下表顯示了公平牌中，根據牌上奇數總數的機率分佈。我對公平牌的定義是，5 個“B”數字從 1 到 15 中隨機選擇，5 個“I”數字從 16 到 30 中隨機選擇，以此類推。另一種實現相同結果的方法是，從 1 到 75 中抽取數字，按所選數字填滿牌面，如果相應列已經填滿，則忽略這些數字。

顯然，賠率極低的牌比賠率大多為奇數的牌更有優勢，中獎幾率也更高。在2002年7月的《拉斯維加斯顧問》雜誌上，我寫了一篇關於巨型賓果遊戲的文章，文章基於一個假設：這些牌是隨機產生的。那篇專欄的一位讀者告訴我，他相信這些牌不是隨機產生的，證據是他買了1500張牌，這些牌的賠率總數都在9到14之間。

為了證實所有卡片的賠率都在9到14之間的指控，我的助手Rob Feldheim在Palace Station收集了259張巨型賓果卡。然後我們計算了每張卡上的賠率，不出我所料，總賠率始終在9到14之間。下表顯示了每種賠率對應的總賠率，以及公平遊戲中的預期總賠率。

賠率總數在9到14之間的機率是0.834524756。樣本中42.858088個賠率本應落在9到14的範圍之外，但實際上沒有一個落在這個範圍之外。在公平遊戲中發生這種情況的機率是0.834524756 ²⁵⁹ = 4.4953 * 10 ^-21 ，即222,454,364,282,805,000,000分之一。

以下是對 2002 年 8 月 22 日上午 11:00 在 Fiesta Rancho 舉行的遊戲後獲得的 Grande 賓果卡進行同類測試的結果。

預計落在 9 到 14 範圍之外的數字是 14.396346，但實際上沒有一個落在這個範圍之外。這個機率是 1.46289 * 10 ^-7 ，即 6,835,771 分之一。

接下來是我從 Sams Town 抽取的累積獎金卡樣本的結果。

根據與 Station Casinos 的 Stephen L. Cavallaro 的交談，我原本預計 Sam's Town 的賠率範圍是 10 到 15，或 9 到 14 個雙數。然而，我拿到了一張 8 個雙數的牌，也只拿到了一張 9 個雙數的牌。任何一張牌出現 8 到 14 個雙數的機率是 0.881703。102 張牌出現在這個範圍內的機率是 2.647786 * 10 ^-6 ，也就是 377,674 分之一。

此外，我還對 Suncoast 的普通賓果卡進行了類似的測試。 129 張樣本的實際結果和預期結果如下。

在129張牌中，超出9到14範圍的牌有21張，預期數字是21.34630654。這些牌很容易就通過了奇偶檢定。它們應該如此，因為沒有提前宣布奇數或偶數的遊戲。

下表顯示了公平遊戲中獲勝的機率，假設玩家必須獲得 50 個數字以內的所有數字。

下圖右側顯示，總中獎機率為 0.000006053319，即 1/165199。如果在公平遊戲中出現中獎，請注意，中獎機率最有可能出現在賠率 6 的牌上。在賠率低於 9 的公平遊戲中，中獎牌的機率為 94.15%。

當我計劃撰寫調查報告的消息傳開後，我被安排與Stephen L. Cavallaro（Station Casinos執行副總裁兼首席營運官）和Jonathan Swain（Palace Station副總裁兼總經理）見面。 Stephen坦言，這些牌的賠率是預先選定的，每張牌的賠率在9到14之間。他說，這樣做是為了創造公平的競爭環境，讓每張牌和每位顧客都有獲勝的希望。他也表示，最初的賠率範圍要廣得多，第一位獲勝者牌上的賠率一開始只有3個。此外，他還表示，Sam's Town和Fiesta Casinos也在做同樣的事情，而Station遊戲已獲得內華達州博彩管理委員會的完全批准。

在後續的電話訪談中，Stephen Cavallaro 告訴我，卡片的產生方式是電腦隨機選擇一組公平的數字。如果總賠率在 9 到 14 之間，計算機就會列印這張卡片；否則，計算機會丟棄這組數字，並繼續處理下一組。下表顯示了這種卡片產生方法下每個賠率數字的調整機率。

總的來說，從組合中剔除最佳牌型的結果是，任何一張牌中獎的機率都會大幅降低。剔除最差的牌型並不能彌補這項缺陷。這種預選牌型的策略會導致累積獎金不斷增加。同時，賭場也減少了重新播種計量器的頻率。最終結果是累積獎金的贏家數量減少，總獎金也隨之減少。下表顯示了根據叫出的球數，公平牌型和站牌型中獎的預期機率。

比率欄顯示使用 Station 賭場卡贏錢的難度是使用普通卡的多少倍。例如，如果必須在 50 個或更少的球內中獎，那麼贏錢的難度是普通卡的 14.28 倍。

我認為所有賓果卡都應該按照上述建議的方式真正隨機產生。除此之外，我認為如果一張卡不是隨機產生的，就應該公開其產生方式及其對玩家的影響。我強烈支持所有形式的賭博，公平且公開。但我發現內華達州的賓果遊戲並沒有做到這兩點。所以，賓果玩家要謹慎行事。

我感謝 Stephen Cavallaro 和 Jonathan Swaim 與我會面並對此事持開放態度。

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邁克爾·沙克爾福德，ASA

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撰寫者: Michael Shackleford