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賓果機率

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介紹

此頁面是我在賓果遊戲頁面中的主要機率的後續。

本文檔中的每個表格均基於美式賓果遊戲，該遊戲基於一張 24 個數字的卡片（加上一個自由方塊）和 75 個球。

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平均抽球數

下表顯示了按遊戲類型和牌數劃分的平均抽球數：

平均抽球數

遊戲牌
2000 4000 6000 8000 10000
單賓果8.62 8.05 7.82 7.71 7.56
雙倍賓果19.32 18.04 17.22 16.79 16.53
三重賓果27.13 25.77 25.03 24.49 24.08
單行道11.41 10.33 9.79 9.49 9.36
雙硬路24.56 23.07 22.25 21.76 21.28
三重硬路33.44 31.95 31.09 30.64 30.02
六塊肌9.51 8.9 8.55 8.37 8.26
九塊腹肌21.79 20.27 19.6 18.95 18.65
連體服57.57 56.38 55.56 55.08 54.79

分享獎金

平局在所有賓果遊戲中都很常見，包括連體賓果遊戲。牌的數量越多，圖案越容易覆蓋，平局的情況就越多。下表顯示了根據圖案和牌的數量，平均有多少人會判定為賓果。 HW 代表「Hard Way」（困難路），這意味著玩家無法使用空閒的格子。

預計叫賓果的玩家數量

遊戲牌
2000 4000 6000 8000 10000
單賓果2.62 4.11 5.72 7.11 8.2
雙倍賓果1.3 1.34 1.37 1.39 1.42
三重賓果1.27 1.31 1.33 1.34 1.33
單人家庭賓果遊戲1.49 1.78 2.01 2.32 2.6
雙倍 HW 賓果遊戲1.27 1.3 1.33 1.35 1.4
三重 HW 賓果遊戲1.26 1.27 1.29 1.31 1.31
六塊肌1.96 2.54 3.08 3.68 4.21
九塊腹肌1.35 1.43 1.47 1.53 1.55
連體服1.32 1.34 1.34 1.35 1.38

玩賓果遊戲最頭痛的就是必須分享累積獎金。在我看來，許多玩家願意支付保費以獲得全額累積獎金，無論同時參與賓果遊戲的其他玩家有多少。上表可以用來計算此類累積獎金分享保險的合理保費。例如，在一場包含10,000張卡牌的遊戲中，預期中獎人數為1.38人。累積獎金分享保險的合理保費應為每張卡牌價格的38%。

我正在申請一項關於累積獎金分享保險的專利。我歡迎任何賓果遊戲廳嘗試這個概念。如有任何興趣，請與我聯絡。

下表顯示了在給定數量的球和牌張中，一件連身衣被擊中的機率。例如，在 6000 張牌中，一件連身衣在 50 球中被擊中的機率為 0.012944。最後一行顯示了樣本量中的場次數。

連身衣的平均抽球數

遊戲牌
2000 4000 6000 8000 10000
40 或更少0 0 0 0 0
41 0 0.00004 0 0.00009 0
四十二0.00004 0.00004 0.000063 0 0.000112
43 0 0.00004 0 0.00018 0.000112
四十四0.00004 0.00028 0.000127 0.00027 0.000448
45 0.00012 0.00048 0.000508 0.00054 0.00056
46 0.000241 0.00048 0.000952 0.000989 0.001121
四十七0.000482 0.001039 0.002284 0.003238 0.002914
四十八0.001084 0.002118 0.003617 0.004047 0.005155
49 0.002571 0.004077 0.006409 0.010073 0.012104
50 0.004338 0.008593 0.012944 0.017178 0.020733
51 0.008274 0.015508 0.022525 0.0286 0.035974
52 0.014018 0.028338 0.043464 0.053422 0.065785
53 0.026148 0.049043 0.071447 0.087418 0.101984
54 0.042355 0.081418 0.113135 0.135264 0.151294
55 0.073263 0.124625 0.153934 0.179243 0.19489
56 0.10865 0.167073 0.187056 0.194622 0.194329
57 0.152692 0.190495 0.186485 0.161435 0.132691
58 0.180025 0.168832 0.124492 0.089756 0.06119
59 0.179945 0.108318 0.056091 0.02797 0.016026
60 0.128853 0.03969 0.012437 0.005216 0.002466
61 0.059245 0.008194 0.002094 0.00054 0.000336
62 0.015344 0.001319 0 0.00009 0
63 0.002229 0.00008 0 0.00009 0
64 0.00008 0 0 0 0
65歲或以上0 0 0 0 0
全部的1 1 1 1 1
平均的57.57741 56.316 55.594289 55.12672 54.768912
樣本量49793 25019 15760 11119 8923

單向模式的機率密度

接下來的三個表格顯示了根據確切的叫牌次數，覆蓋4到24個標記的「單向」圖案的機率。此表僅適用於只有一種圖案產生方式的情況。例如，在恰好50次叫牌中覆蓋郵票圖案的機率為1.52%，其中圖案定義為覆蓋卡片右上角的四個數字。例如，如果玩家可以覆蓋任意角落的四個數字，則此表不適用。

透過呼叫次數準確覆蓋 4 至 10 個標記模式的機率擴展

呼叫4 分5 分6 分7 分8 分9 分10 分
4 0.000000823 0 0 0 0 0 0
5 0.000003291 0.000000058 0 0 0 0 0
6 0.000008227 0.00000029 0.000000005 0 0 0 0
7 0.000016455 0.000000869 0.00000003 0.000000001 0 0 0
8 0.000028796 0.000002028 0.000000104 0.000000004 0 0 0
9 0.000046073 0.000004056 0.000000278 0.000000014 0 0 0
10 0.00006911 0.0000073 0.000000626 0.000000042 0.000000002 0 0
11 0.000098729 0.000012167 0.000001251 0.000000106 0.000000007 0 0
12 0.000135752 0.00001912 0.000002294 0.000000233 0.00000002 0.000000001 0
十三0.000181003 0.00002868 0.000003933 0.000000466 0.000000047 0.000000004 0
14 0.000235304 0.000041427 0.000006392 0.000000865 0.000000102 0.00000001 0.000000001
15 0.000299478 0.000057997 0.000009942 0.000001513 0.000000203 0.000000024 0.000000002
16 0.000374347 0.000079087 0.000014914 0.000002522 0.000000381 0.000000051 0.000000006
17 0.000460735 0.00010545 0.000021693 0.000004035 0.000000678 0.000000102 0.000000014
18 0.000559464 0.000137896 0.000030731 0.000006235 0.000001153 0.000000194 0.000000029
19 0.000671356 0.000177295 0.000042551 0.000009353 0.000001886 0.000000348 0.000000059
20 0.000797236 0.000224573 0.000057747 0.00001367 0.000002987 0.000000602 0.000000111
21 0.000937924 0.000280717 0.000076997 0.000019528 0.000004595 0.000001003 0.000000203
22 0.001094245 0.000346768 0.000101058 0.000027339 0.000006892 0.00000162 0.000000355
23 0.00126702 0.000423827 0.000130781 0.000037592 0.000010109 0.000002546 0.0000006
24 0.001457074 0.000513054 0.000167109 0.000050859 0.000014531 0.000003904 0.000000986
二十五0.001665227 0.000615665 0.000211085 0.000067812 0.000020515 0.000005856 0.000001577
二十六0.001892303 0.000732934 0.000263856 0.000089227 0.000028493 0.000008612 0.000002465
二十七0.002139125 0.000866195 0.000326679 0.000115995 0.00003899 0.000012439 0.000003769
二十八0.002406516 0.001016838 0.000400925 0.000149136 0.000052636 0.000017676 0.000005654
二十九0.002695298 0.001186311 0.000488082 0.00018981 0.000070182 0.000024747 0.000008332
三十0.003006294 0.00137612 0.000589766 0.000239325 0.000092512 0.000034174 0.000012082
31 0.003340327 0.001587831 0.000707719 0.000299157 0.000120668 0.000046601 0.00001726
三十二0.003698219 0.001823066 0.000843819 0.000370954 0.000155863 0.000062811 0.000024321
33 0.004080793 0.002083504 0.001000082 0.000456559 0.000199505 0.000083747 0.000033837
三十四0.004488872 0.002370883 0.001178668 0.000558017 0.000253218 0.000110546 0.000046526
三十五0.004923279 0.002687001 0.001381886 0.000677592 0.000318867 0.000144561 0.000063276
三十六0.005384837 0.003033711 0.001612201 0.000817783 0.000398583 0.000187394 0.000085179
三十七0.005874368 0.003412925 0.001872233 0.00098134 0.000494793 0.000240935 0.000113572
三十八0.006392694 0.003826613 0.002164769 0.001171276 0.000610245 0.000307399 0.000150077
三十九0.006940639 0.004276802 0.002492765 0.001390891 0.000748042 0.000389373 0.000196653
40 0.007519026 0.00476558 0.002859348 0.00164378 0.000911676 0.000489856 0.000255649
41 0.008128677 0.005295089 0.003267826 0.001933858 0.001105062 0.00061232 0.000329869
四十二0.008770414 0.005867531 0.003721691 0.002265377 0.001332575 0.000760761 0.000422645
43 0.009445061 0.006485165 0.004224622 0.00264294 0.00159909 0.000939764 0.000537912
四十四0.010153441 0.007150311 0.004780493 0.003071525 0.001910024 0.001154567 0.0006803
45 0.010896376 0.007865342 0.005393377 0.003556502 0.00227138 0.001411137 0.000855235
46 0.011674688 0.008632692 0.006067549 0.004103657 0.002689792 0.001716248 0.001069043
四十七0.012489202 0.009454853 0.006807494 0.004719205 0.003172575 0.002077563 0.001329081
四十八0.013340738 0.010334375 0.00761791 0.00540982 0.003727775 0.00250373 0.001643863
49 0.014230121 0.011273863 0.008503714 0.006182652 0.004364225 0.003004476 0.002023216
50 0.015158172 0.012275984 0.009470045 0.007045347 0.005091596 0.003590715 0.00247844
51 0.016125715 0.013343461 0.010522272 0.008006077 0.00592046 0.004274661 0.003022487
52 0.017133572 0.014479075 0.011665997 0.009073554 0.006862351 0.005069946 0.003670163
53 0.018182566 0.015685664 0.012907061 0.010257061 0.007929828 0.005991755 0.004438337
54 0.01927352 0.016966127 0.014251547 0.011566473 0.009136541 0.007056955 0.005346178
55 0.020407257 0.018323417 0.015705786 0.013012282 0.010497303 0.008284252 0.006415414
56 0.021584598 0.019760548 0.017276365 0.014605622 0.012028159 0.009694338 0.007670604
57 0.022806368 0.02128059 0.018970126 0.016358297 0.013746468 0.01131006 0.009139443
58 0.024073388 0.022886672 0.020794176 0.018282802 0.015670974 0.013156601 0.010853088
59 0.025386482 0.024581981 0.022755891 0.020392357 0.017821891 0.015261657 0.012846513
60 0.026746472 0.026369762 0.024862918 0.022700925 0.020220992 0.017655642 0.015158885
61 0.028154182 0.028253316 0.027123183 0.02522325 0.022891689 0.020371895 0.017833982
62 0.029610432 0.030236005 0.029544896 0.027974878 0.025859131 0.023446898 0.020920633
63 0.031116048 0.032321247 0.032136554 0.030972186 0.029150293 0.026920513 0.024473193
64 0.03267185 0.034512518 0.034906946 0.034232416 0.032794079 0.030836224 0.028552059
65 0.034278662 0.036813352 0.037865162 0.0377737 0.036821422 0.035241398 0.033224214
66 0.035937307 0.039227342 0.041020592 0.041615094 0.041265387 0.04018756 0.03856382
67 0.037648608 0.041758139 0.044382936 0.045776603 0.04616128 0.045730671 0.044652844
68 0.039413386 0.044409449 0.047962205 0.05027922 0.051546763 0.05193144 0.051581734
69 0.041232465 0.04718504 0.051768729 0.055144951 0.057461965 0.058855632 0.059450134
70 0.043106668 0.050088734 0.055813161 0.060396851 0.063949607 0.066574404 0.068367654
71 0.045036818 0.053124415 0.060106481 0.066059055 0.071055118 0.07516465 0.078454685
72 0.047023736 0.056296022 0.064660002 0.072156814 0.078826772 0.084709367 0.089843268
73 0.049068246 0.059607553 0.069485376 0.078716525 0.087315809 0.095298038 0.10267802
74 0.051171171 0.063063063 0.074594595 0.085765766 0.096576577 0.107027027 0.117117117
75 0.053333333 0.066666667 0.08 0.093333333 0.106666667 0.12 0.133333333
全部的1 1 1 1 1 1 1

透過呼叫次數準確覆蓋 11 至 17 個標記模式的機率擴展

呼叫11 分12 分13 分14 分15 分16 分17 分
11 0 0 0 0 0 0 0
12 0 0 0 0 0 0 0
十三0 0 0 0 0 0 0
14 0 0 0 0 0 0 0
15 0 0 0 0 0 0 0
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19 0.000000009 0.000000001 0 0 0 0 0
20 0.000000019 0.000000003 0 0 0 0 0
21 0.000000038 0.000000006 0.000000001 0 0 0 0
22 0.000000072 0.000000014 0.000000002 0 0 0 0
23 0.000000132 0.000000027 0.000000005 0.000000001 0 0 0
24 0.000000234 0.000000052 0.000000011 0.000000002 0 0 0
二十五0.0000004 0.000000096 0.000000021 0.000000004 0.000000001 0 0
二十六0.000000667 0.000000171 0.000000041 0.000000009 0.000000002 0 0
二十七0.000001084 0.000000296 0.000000076 0.000000019 0.000000004 0.000000001 0
二十八0.000001722 0.000000499 0.000000137 0.000000036 0.000000009 0.000000002 0
二十九0.000002679 0.000000822 0.00000024 0.000000067 0.000000018 0.000000004 0.000000001
三十0.000004089 0.000001324 0.00000041 0.000000121 0.000000034 0.000000009 0.000000002
31 0.000006134 0.000002091 0.000000683 0.000000214 0.000000064 0.000000018 0.000000005
三十二0.000009055 0.000003241 0.000001115 0.000000368 0.000000116 0.000000035 0.00000001
33 0.000013171 0.000004939 0.000001784 0.00000062 0.000000207 0.000000066 0.00000002
三十四0.000018897 0.000007408 0.000002803 0.000001022 0.000000359 0.000000121 0.000000039
三十五0.000026771 0.000010952 0.000004331 0.000001655 0.000000611 0.000000217 0.000000074
三十六0.000037479 0.000015971 0.000006591 0.000002633 0.000001018 0.00000038 0.000000137
三十七0.000051894 0.000022998 0.000009887 0.000004122 0.000001665 0.000000651 0.000000246
三十八0.000071113 0.000032728 0.000014633 0.000006354 0.000002679 0.000001095 0.000000434
三十九0.000096511 0.000046062 0.000021386 0.000009658 0.000004241 0.000001809 0.000000749
40 0.000129791 0.000064158 0.000030891 0.000014487 0.000006616 0.00000294 0.000001271
41 0.000173054 0.000088494 0.00004413 0.000021463 0.000010178 0.000004705 0.000002118
四十二0.000228879 0.000120941 0.00006239 0.000031427 0.000015456 0.000007419 0.000003474
43 0.000300403 0.000163856 0.000087347 0.000045516 0.000023184 0.000011541 0.000005611
四十四0.000391434 0.000220182 0.000121158 0.000065239 0.000034377 0.000017723 0.000008937
45 0.000506562 0.000293576 0.000166593 0.000092597 0.000050419 0.00002689 0.000014043
46 0.000651294 0.000388556 0.000227172 0.000130215 0.000073189 0.000040335 0.000021791
四十七0.000832209 0.000510674 0.00030735 0.000181512 0.000105209 0.000059852 0.000033413
四十八0.00105713 0.000666713 0.000412727 0.000250913 0.000149843 0.000087908 0.000050659
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50 0.001677713 0.001115298 0.000728779 0.000468372 0.00029616 0.000184277 0.000112831
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52 0.002608639 0.001823083 0.001253972 0.000849465 0.000566973 0.000372942 0.00024178
53 0.003229744 0.002312203 0.001630164 0.00113262 0.000775858 0.000524135 0.000349238
54 0.003980847 0.00291778 0.002107285 0.001500722 0.001054371 0.000731031 0.00050026
55 0.004885585 0.003664188 0.002709367 0.00197656 0.001423401 0.001012196 0.000710896
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73 0.109470566 0.115690485 0.121352585 0.126471677 0.131062569 0.135140072 0.138718993
74 0.126846847 0.136216216 0.145225225 0.153873874 0.162162162 0.17009009 0.177657658
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全部的1 1 1 1 1 1 1

透過呼叫次數準確擴展覆蓋 18 至 24 個標記模式的機率

呼叫18 分19 分20 分21 分22 分23 分24 分
18 0 0 0 0 0 0 0
19 0 0 0 0 0 0 0
20 0 0 0 0 0 0 0
21 0 0 0 0 0 0 0
22 0 0 0 0 0 0 0
23 0 0 0 0 0 0 0
24 0 0 0 0 0 0 0
二十五0 0 0 0 0 0 0
二十六0 0 0 0 0 0 0
二十七0 0 0 0 0 0 0
二十八0 0 0 0 0 0 0
二十九0 0 0 0 0 0 0
三十0.000000001 0 0 0 0 0 0
31 0.000000001 0 0 0 0 0 0
三十二0.000000003 0.000000001 0 0 0 0 0
33 0.000000006 0.000000002 0 0 0 0 0
三十四0.000000012 0.000000004 0.000000001 0 0 0 0
三十五0.000000024 0.000000008 0.000000002 0.000000001 0 0 0
三十六0.000000047 0.000000016 0.000000005 0.000000002 0 0 0
三十七0.00000009 0.000000032 0.000000011 0.000000003 0.000000001 0 0
三十八0.000000166 0.000000062 0.000000022 0.000000008 0.000000002 0.000000001 0
三十九0.000000301 0.000000117 0.000000044 0.000000016 0.000000006 0.000000002 0.000000001
40 0.000000534 0.000000217 0.000000086 0.000000033 0.000000012 0.000000004 0.000000001
41 0.000000928 0.000000395 0.000000163 0.000000066 0.000000025 0.00000001 0.000000003
四十二0.000001585 0.000000705 0.000000305 0.000000128 0.000000052 0.000000021 0.000000008
43 0.000002663 0.000001233 0.000000556 0.000000244 0.000000104 0.000000043 0.000000017
四十四0.000004405 0.000002121 0.000000997 0.000000457 0.000000204 0.000000088 0.000000037
45 0.000007178 0.000003589 0.000001754 0.000000837 0.00000039 0.000000177 0.000000078
46 0.000011537 0.000005982 0.000003036 0.000001507 0.000000731 0.000000346 0.00000016
四十七0.000018299 0.000009827 0.000005172 0.000002666 0.000001345 0.000000663 0.000000319
四十八0.000028669 0.000015927 0.000008682 0.000004641 0.000002431 0.000001247 0.000000625
49 0.000044391 0.000025484 0.00001437 0.000007956 0.000004322 0.000002302 0.000001201
50 0.000067973 0.00004028 0.000023472 0.000013443 0.000007563 0.000004177 0.000002263
51 0.00010299 0.000062938 0.000037858 0.000022405 0.00001304 0.000007459 0.000004191
52 0.000154484 0.000097268 0.000060335 0.000036859 0.000022168 0.000013118 0.000007634
53 0.00022952 0.000148763 0.000095074 0.000059897 0.000037184 0.000022738 0.000013688
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58 0.001460505 0.001081855 0.000793089 0.00057535 0.000412994 0.000293275 0.000205979
59 0.00206608 0.00156869 0.001179466 0.000878166 0.000647396 0.000472499 0.000341337
60 0.00290235 0.002257383 0.001739713 0.001328508 0.001005167 0.000753444 0.000559414
61 0.00404979 0.003224833 0.002545921 0.001992762 0.001546411 0.001189649 0.000907157
62 0.005614482 0.004574763 0.003697647 0.002964841 0.002358277 0.001860733 0.001456226
63 0.007735509 0.006446257 0.005331491 0.004376669 0.003566175 0.002884136 0.002315026
64 0.010594284 0.00902476 0.007633726 0.00641233 0.005349263 0.004431722 0.003646166
65 0.014426259 0.012556188 0.010856855 0.009327025 0.007961693 0.0067531 0.005691576
66 0.019535559 0.017364941 0.015341207 0.013472369 0.011761592 0.010208175 0.008808391
67 0.026313202 0.023876794 0.021542972 0.019329921 0.017250336 0.015312262 0.013519857
68 0.03525969 0.032647861 0.030070399 0.02755542 0.025125489 0.022798256 0.020587054
69 0.047012921 0.044401092 0.041730349 0.039036845 0.036351771 0.03370177 0.031109327
70 0.062382529 0.060072065 0.057587882 0.054970251 0.052255671 0.049477067 0.04666399
71 0.08239202 0.080866242 0.079042191 0.076958351 0.074650958 0.072154056 0.069499559
72 0.108330248 0.108330248 0.107922991 0.107138097 0.106004361 0.104549755 0.102801432
73 0.141814143 0.144440331 0.146612366 0.148345057 0.149653215 0.150551648 0.151055165
74 0.184864865 0.191711712 0.198198198 0.204324324 0.21009009 0.215495495 0.220540541
75 0.24 0.253333333 0.266666667 0.28 0.293333333 0.306666667 0.32
全部的1 1 1 1 1 1 1

覆蓋模式的平均呼叫次數

下表顯示了覆蓋 1 至 24 個分數模式所需的平均通話次數。此表僅適用於只有一種方法覆寫該模式的情況。

預期覆蓋 x 標記模式的呼叫

標記預期的
呼叫
1三十八
2 50.666667
3 57
4 60.8
5 63.333333
6 65.142857
7 66.5
8 67.555556
9 68.4
10 69.090909
11 69.666667
12 70.153846
十三70.571429
14 70.933333
15 71.25
16 71.529412
17 71.777778
18 72
19 72.2
20 72.380952
21 72.545455
22 72.695652
23 72.833333
24 72.96

多人賓果遊戲

接下來的三個表格涉及多人賓果遊戲。如果單一玩家在 x 次遊戲中獲得賓果的機率為 p，那麼 n 個玩家中至少有一個玩家獲得賓果的機率為 1-(1-p) n ，這種說法並不準確。這是因為牌之間的獲勝機率是相關的，因為每張硬牌都必須有 1 到 15、16 到 30、46 到 60 和 61 到 75 範圍內的五個數字，以及 31 到 45 範圍內的四個數字。與上面使用精確機率計算的表格不同，多人賓果遊戲表格是透過隨機模擬確定的。

下表顯示了根據遊戲中牌張數量，在4到31次叫牌中出現賓果的機率。例如，在一場200張牌的遊戲中，在15次叫牌中出現第一個賓果的機率為11.77%。此表基於隨機模擬。對於非常低的機率，我們應該持保留態度，因為它們可能僅基於樣本中一次出現的情況。

準確地以呼叫次數計算賓果機率

呼叫100張卡片200張卡片500張卡片1000張卡片
4 0.0003333167 0.000639132 0.001545351 0.002983166
5 0.001341463 0.002625 0.006396723 0.011673257
6 0.003404038 0.006691083 0.015624365 0.028503103
7 0.006963215 0.013373607 0.03056466 0.054277042
8 0.012340564 0.023433519 0.051918191 0.086568549
9 0.019871351 0.037010947 0.076838161 0.120499356
10 0.029717013 0.053648288 0.103894182 0.145935527
11 0.041651539 0.072544586 0.126298908 0.15385821
12 0.055417233 0.091149084 0.13820249 0.140720391
十三0.069777089 0.107159236 0.13611471 0.110260937
14 0.08362415 0.116721736 0.117300559 0.072856976
15 0.095122551 0.11774383 0.087937627 0.040533943
16 0.102117953 0.108574045 0.056048018 0.018943822
17 0.103352359 0.090687301 0.030212144 0.00801996
18 0.097540284 0.067779658 0.013738567 0.003046216
19 0.085478209 0.044590565 0.005132749 0.000995289
20 0.069016393 0.025538416 0.001649517 0.000279221
21 0.050929028 0.012566083 0.00046875 0.000039631
22 0.033866054 0.005165804 0.000095274 0.000004504
23 0.02017523 0.001741441 0.000016514 0.000000901
24 0.010526889 0.000481091 0.000002541 0
二十五0.00477439 0.000112858 0 0
二十六0.001839564 0.000019506 0 0
二十七0.000604958 0.000002588 0 0
二十八0.00017433 0.000000597 0 0
二十九0.000033287 0 0 0
三十0.000007197 0 0 0
31 0.0000005 0 0 0
全部的1 1 1 1

下表顯示了根據遊戲中牌的數量，在4到31次或更短的時間內出現賓果的機率。例如，在一場200張牌的遊戲中，在15次或更短的時間內出現第一個賓果的機率為64.27%。非常低的機率應該謹慎對待，因為它們可能僅基於樣本中一次出現的情況。

賓果機率（按呼叫次數或更少）

呼叫100張卡片200張卡片500張卡片1000張卡片
4 0.0003333167 0.000639132 0.001545351 0.002983166
5 0.00167463 0.003264132 0.007942073 0.014656423
6 0.005078669 0.009955215 0.023566438 0.043159526
7 0.012041883 0.023328822 0.054131098 0.097436567
8 0.024382447 0.046762341 0.106049289 0.184005116
9 0.044253798 0.083773288 0.182887449 0.304504472
10 0.073970812 0.137421576 0.286781631 0.450439999
11 0.115622351 0.209966162 0.413080539 0.604298208
12 0.171039584 0.301115247 0.551283028 0.7450186
十三0.240816673 0.408274482 0.687397739 0.855279537
14 0.324440824 0.524996218 0.804698298 0.928136512
15 0.419563375 0.642740048 0.892635925 0.968670456
16 0.521681327 0.751314092 0.948683943 0.987614278
17 0.625033687 0.842001393 0.978896087 0.995634238
18 0.72257397 0.909781051 0.992634654 0.998680454
19 0.808052179 0.954371616 0.997767403 0.999675743
20 0.877068573 0.979910032 0.999416921 0.999954964
21 0.927997601 0.992476115 0.999885671 0.999994596
22 0.961863655 0.997641919 0.999980945 0.999999099
23 0.982038884 0.99938336 0.999997459 1
24 0.992565774 0.999864451 1 1
二十五0.997340164 0.999977309 1 1
二十六0.999179728 0.999996815 1 1
二十七0.999784686 0.999999403 1 1
二十八0.999959016 1 1 1
二十九0.999992303 1 1 1
三十0.9999995 1 1 1
31 1 1 1 1

賓果遊戲中平局很常見。牌越多，同時叫出「賓果」的人數就越多。下表顯示了根據確切叫牌次數和牌數計算出的預期獲勝人數。例如，在一個200張牌的遊戲中，如果在第20次叫出“賓果”，那麼預期叫出“賓果”的玩家人數為1.66。對於非常低的機率，我們應該持保留態度，因為它們可能僅基於樣本中一次出現的情況。

預計叫賓果的玩家數量

呼叫100張卡片200張卡片500張卡片1000張卡片
4 1.0090009 1.02335721 1.061652281 1.114432367
5 1.015275708 1.029496512 1.069307914 1.121296296
6 1.022258765 1.042122799 1.083987154 1.146942645
7 1.028581682 1.048192412 1.104964568 1.190889479
8 1.033890891 1.061522127 1.132701248 1.239306635
9 1.043170534 1.077518379 1.164762676 1.302551913
10 1.052359825 1.094201366 1.207151634 1.389465628
11 1.063636058 1.116077308 1.260499384 1.502997342
12 1.076579112 1.141551275 1.324602686 1.647857033
十三1.093521954 1.174362146 1.405741511 1.836531471
14 1.113105085 1.212457155 1.508972374 2.093635644
15 1.135955427 1.255469998 1.643348814 2.449646682
16 1.161564153 1.311716739 1.802746991 2.885650437
17 1.19272741 1.377605556 2.010154312 3.418463612
18 1.230036493 1.454971001 2.284419787 3.982554701
19 1.271820227 1.549211465 2.629625046 4.328506787
20 1.322227855 1.660278243 3.078167116 4.719354839
21 1.382000573 1.804489007 3.447154472 6.772727273
22 1.449972845 1.961545871 4.026666667 3.6
23 1.52832292 2.178420391 5.153846154 2
24 1.615738147 2.376086057 4.75 0
二十五1.722860792 2.726631393 0 0
二十六1.855784383 2.714285714 0 0
二十七2.020819564 3.461538462 0 0
二十八2.170298165 4.666666667 0 0
二十九2.21021021 0 0 0
三十2.569444444 0 0 0
31 2.6 0 0 0
全面的1.201004098 1.263574841 1.401860391 1.598345388

100張牌賓果遊戲的機率是基於10,004,000場遊戲的樣本量。 200張牌賓果遊戲的樣本數為5,024,000場。 500張牌賓果遊戲的樣本數為5,574,400場。 1000張牌賓果遊戲的樣本數為1,110,230場。

多人連體服

接下來的三個表格涉及一場覆蓋整張牌的遊戲，玩家人數分別為 100、200、500 和 1000 人。

下表顯示了根據牌局數量，在恰好24到75次叫牌中，出現連身衣的機率。例如，在一場200張牌的遊戲中，恰好60次叫牌中，第一張連身衣出現的機率為8.88%。非常低的機率應該謹慎對待，因為它們可能僅基於樣本中一次出現的情況。

以呼叫次數準確計算覆蓋率的機率

呼叫100張卡片200張卡片500張卡片1000張卡片
24 0 0 0 0
二十五0 0 0 0
二十六0 0 0 0
二十七0 0 0 0
二十八0 0 0 0
二十九0 0 0 0
三十0 0 0 0
31 0 0 0 0
三十二0 0 0 0
33 0 0 0 0
三十四0 0 0 0
三十五0 0 0 0
三十六0 0 0 0
三十七0 0 0 0
三十八0.000000081 0 0.000000556 0
三十九0 0.000000451 0 0
40 0.000000244 0.000000451 0.000001668 0.00000335
41 0.000000812 0.000000677 0.000001112 0
四十二0.000000812 0.000002481 0.000003336 0.000005584
43 0.0000013 0.00000406 0.000008341 0.000023453
四十四0.000004387 0.000006316 0.000017794 0.000040205
45 0.000007392 0.000011954 0.000035587 0.000067009
46 0.000016653 0.000031127 0.0000873 0.000161939
四十七0.000032331 0.000061126 0.000171819 0.000329462
四十八0.000063444 0.000131273 0.000310832 0.000617601
49 0.000124939 0.000240217 0.000598866 0.001111235
50 0.000221852 0.000450885 0.001129893 0.002188966
51 0.000418197 0.000823052 0.002054604 0.004050704
52 0.000773924 0.001495433 0.003847309 0.007561983
53 0.001392283 0.002724033 0.00671597 0.013308019
54 0.002404224 0.004761024 0.011786588 0.02302323
55 0.004186596 0.008286004 0.020299155 0.038641948
56 0.00714078 0.014069246 0.033530916 0.062962922
57 0.011965475 0.023529942 0.054423376 0.096555729
58 0.019776442 0.037942709 0.083837856 0.136793612
59 0.031830382 0.059312281 0.120524911 0.17127094
60 0.04982039 0.08881606 0.157332629 0.180108331
61 0.075076767 0.124190143 0.177556161 0.147070583
62 0.106797563 0.156943949 0.161671486 0.082063882
63 0.140753859 0.172727416 0.107064613 0.027109672
64 0.164937206 0.152701928 0.045642794 0.004566674
65 0.163299594 0.099422578 0.01031528 0.000350681
66 0.126231113 0.04129559 0.000993661 0.000012285
67 0.067797238 0.009152588 0.000035587 0
68 0.021547035 0.000845833 0 0
69 0.003220227 0.000019172 0 0
70 0.000154427 0 0 0
71 0.000002031 0 0 0
72 0 0 0 0
73 0 0 0 0
74 0 0 0 0
75 0 0 0 0
全部的1 1 1 1

在100人遊戲中，連身衣的預期呼喚次數為63.43次，在200人遊戲中為62.00次，在500人遊戲中為60.18次，在1000人遊戲中為58.85次。對於非常低的機率，我們應該持保留態度，因為它們可能只是基於樣本中一次的出現。

下表顯示了根據遊戲中牌張數量，在24至75次或更短時間內叫出連身衣的機率。例如，在一場200張牌的遊戲中，在60次或更短時間內叫出第一張連身衣的機率為36.69%。

以呼叫次數或更少計算的覆蓋機率

呼叫100張卡片200張卡片500張卡片1000張卡片
24 0 0 0 0
二十五0 0 0 0
二十六0 0 0 0
二十七0 0 0 0
二十八0 0 0 0
二十九0 0 0 0
三十0 0 0 0
31 0 0 0 0
三十二0 0 0 0
33 0 0 0 0
三十四0 0 0 0
三十五0 0 0 0
三十六0 0 0 0
三十七0 0 0 0
三十八0.000000081 0 0.000000556 0
三十九0.000000081 0.000000451 0.000000556 0
40 0.000000325 0.000000902 0.000002224 0.00000335
41 0.000001137 0.000001579 0.000003336 0.00000335
四十二0.00000195 0.00000406 0.000006673 0.000008935
43 0.000003249 0.00000812 0.000015013 0.000032388
四十四0.000007636 0.000014436 0.000032807 0.000072593
45 0.000015028 0.00002639 0.000068394 0.000139602
46 0.000031682 0.000057517 0.000155694 0.000301541
四十七0.000064013 0.000118642 0.000327513 0.000631003
四十八0.000127457 0.000249915 0.000638345 0.001248604
49 0.000252396 0.000490132 0.001237211 0.002359839
50 0.000474249 0.000941017 0.002367104 0.004548805
51 0.000892445 0.001764069 0.004421708 0.008599509
52 0.001666369 0.003259502 0.008269017 0.016161492
53 0.003058652 0.005983534 0.014984987 0.029469511
54 0.005462876 0.010744558 0.026771575 0.052492741
55 0.009649472 0.019030563 0.04707073 0.091134688
56 0.016790252 0.033099808 0.080601646 0.15409761
57 0.028755727 0.056629751 0.135025022 0.250653339
58 0.048532169 0.09457246 0.218862878 0.387446951
59 0.080362551 0.153884741 0.339387789 0.558717891
60 0.130182941 0.242700801 0.496720418 0.738826223
61 0.205259708 0.366890944 0.674276579 0.885896806
62 0.312057271 0.523834893 0.835948065 0.967960688
63 0.452811129 0.69656231 0.943012678 0.99507036
64 0.617748335 0.849264238 0.988655472 0.999637034
65 0.781047929 0.948686816 0.998970752 0.999987715
66 0.907279041 0.989982407 0.999964413 1
67 0.975076279 0.999134995 1 1
68 0.996623314 0.999980828 1 1
69 0.999843542 1 1 1
70 0.999997969 1 1 1
71 1 1 1 1
72 1 1 1 1
73 1 1 1 1
74 1 1 1 1
75 1 1 1 1

分享獎金

平局在所有賓果遊戲中都很常見，包括連體賓果遊戲。牌的數量越多，圖案越容易覆蓋，平局的情況就越多。下表顯示了根據圖案和牌的數量，平均有多少人會判定為賓果。 HW 代表「Hard Way」（困難路），這意味著玩家無法使用空閒的格子。

預計叫賓果的玩家數量

遊戲牌
2000 4000 6000 8000 10000
單賓果2.62 4.11 5.72 7.11 8.2
雙倍賓果1.3 1.34 1.37 1.39 1.42
三重賓果1.27 1.31 1.33 1.34 1.33
單人家庭賓果遊戲1.49 1.78 2.01 2.32 2.6
雙倍 HW 賓果遊戲1.27 1.3 1.33 1.35 1.4
三重 HW 賓果遊戲1.26 1.27 1.29 1.31 1.31
六塊肌1.96 2.54 3.08 3.68 4.21
九塊腹肌1.35 1.43 1.47 1.53 1.55
連體服1.32 1.34 1.34 1.35 1.38

玩賓果遊戲最頭痛的就是必須分享累積獎金。在我看來，許多玩家願意支付保費以獲得全額累積獎金，無論同時參與賓果遊戲的其他玩家有多少。上表可以用來計算此類累積獎金分享保險的合理保費。例如，在一場包含10,000張卡牌的遊戲中，預期中獎人數為1.38人。累積獎金分享保險的合理保費應為每張卡牌價格的38%。

我正在申請一項關於累積獎金分享保險的專利。我歡迎任何賓果遊戲廳嘗試這個概念。如有任何興趣，請與我聯絡。

另一個關於賓果機率的好資料是杜蘭戈·比爾的《賓果機率》 。他提供的機率和我提供的一樣，但對機率的計算方法進行了更深入的講解。

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巫師關於賓果遊戲的訊息

撰寫者: Michael Shackleford