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90 個數位賓果遊戲 - 分析

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簡介

與美國賓果遊戲不同，美國賓果遊戲使用 5x5 的卡片，數字從 1 到 75，而歐洲和南美洲的賓果遊戲通常使用 3x9 的卡片，數字從 1 到 90。下面是一個例子。

如範例所示，該卡牌包含3行9列。每行剛好有5個數字。每行的其他四個格子是空白格，或者說是空格。我從其他範例中看到，第一行包含數字1到10，第二行包含數字11到20，依此類推，但從數學上講這並不重要。我聽說過的所有獲勝事件都基於僅覆蓋行，因此從數學上講，遊戲可以在3乘5的卡牌上進行，並且所有數字都覆蓋，賠率是一樣的。

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下表顯示了抽出的球的數量恰好覆蓋 0 到 3 行的機率。

90 個數字賓果遊戲中的機率

呼叫零行一行兩排三排
5 0.99999993 0.00000007 0.00000000 0.00000000
6 0.99999959 0.00000041 0.00000000 0.00000000
7 0.99999857 0.00000143 0.00000000 0.00000000
8 0.99999618 0.00000382 0.00000000 0.00000000
9 0.99999140 0.00000860 0.00000000 0.00000000
10 0.99998280 0.00001720 0.00000000 0.00000000
11 0.99996846 0.00003154 0.00000000 0.00000000
12 0.99994594 0.00005406 0.00000000 0.00000000
十三0.99991215 0.00008785 0.00000000 0.00000000
14 0.99986334 0.00013666 0.00000000 0.00000000
15 0.99979502 0.00020498 0.00000000 0.00000000
16 0.99970184 0.00029815 0.00000000 0.00000000
17 0.99957761 0.00042238 0.00000001 0.00000000
18 0.99941517 0.00058481 0.00000002 0.00000000
19 0.99920632 0.00079364 0.00000005 0.00000000
20 0.99894179 0.00105812 0.00000010 0.00000000
21 0.99861115 0.00138866 0.00000018 0.00000000
22 0.99820277 0.00179689 0.00000034 0.00000000
23 0.99770370 0.00229570 0.00000060 0.00000000
24 0.99709968 0.00289929 0.00000103 0.00000000
二十五0.99637503 0.00362325 0.00000171 0.00000000
二十六0.99551261 0.00448461 0.00000279 0.00000000
二十七0.99449375 0.00550182 0.00000442 0.00000000
二十八0.99329824 0.00669488 0.00000688 0.00000000
二十九0.99190422 0.00808528 0.00001050 0.00000000
三十0.99028822 0.00969603 0.00001575 0.00000000
31 0.98842504 0.01155172 0.00002324 0.00000001
三十二0.98628779 0.01367841 0.00003379 0.00000001
33 0.98384784 0.01610367 0.00004847 0.00000002
三十四0.98107483 0.01885649 0.00006864 0.00000004
三十五0.97793665 0.02196722 0.00009606 0.00000007
三十六0.97439951 0.02546744 0.00013293 0.00000012
三十七0.97042791 0.02938983 0.00018206 0.00000020
三十八0.96598475 0.03376802 0.00024690 0.00000034
三十九0.96103137 0.03863633 0.00033175 0.00000055
40 0.95552768 0.04402955 0.00044189 0.00000088
41 0.94943224 0.04998261 0.00058377 0.00000139
四十二0.94270245 0.05653021 0.00076518 0.00000215
43 0.93529473 0.06370641 0.00099556 0.00000331
四十四0.92716472 0.07154411 0.00128615 0.00000502
45 0.91826755 0.08007453 0.00165039 0.00000753
46 0.90855815 0.08932650 0.00210418 0.00001117
四十七0.89799157 0.09932579 0.00266623 0.00001641
四十八0.88652342 0.11009427 0.00335844 0.00002387
49 0.87411026 0.12164899 0.00420635 0.00003440
50 0.86071014 0.13400121 0.00523950 0.00004915
51 0.84628315 0.14715527 0.00649196 0.00006963
52 0.83079206 0.16110738 0.00800271 0.00009786
53 0.81420297 0.17584435 0.00981620 0.00013648
54 0.79648609 0.19134220 0.01198273 0.00018898
55 0.77761658 0.20756463 0.01455894 0.00025984
56 0.75757538 0.22446152 0.01760820 0.00035491
57 0.73635018 0.24196726 0.02120090 0.00048166
58 0.71393646 0.25999913 0.02541473 0.00064968
59 0.69033853 0.27845558 0.03033472 0.00087116
60 0.66557064 0.29721460 0.03605320 0.00116155
61 0.63965818 0.31613208 0.04266942 0.00154032
62 0.61263880 0.33504034 0.05028895 0.00203191
63 0.58456365 0.35374681 0.05902266 0.00266688
64 0.55549858 0.37203294 0.06898520 0.00348328
65 0.52552523 0.38965352 0.08029298 0.00452826
66 0.49474217 0.40633638 0.09306135 0.00586010
67 0.46326585 0.42178271 0.10740092 0.00755051
68 0.43123143 0.43566818 0.12341295 0.00968745
69 0.39879339 0.44764485 0.14118334 0.01237841
70 0.36612594 0.45734441 0.16077531 0.01575434
71 0.33342294 0.46438259 0.18222022 0.01997425
72 0.30089756 0.46836541 0.20550639 0.02523064
73 0.26878130 0.46889735 0.23056555 0.03175580
74 0.23732239 0.46559188 0.25725642 0.03982931
75 0.20678340 0.45808485 0.28534510 0.04978664
76 0.17743793 0.44605116 0.31448165 0.06202926
77 0.14956616 0.42922523 0.34417227 0.07703633
78 0.12344911 0.40742607 0.37374651 0.09537832
79 0.09936129 0.38058747 0.40231862 0.11773261
80 0.07756165 0.34879432 0.42874235 0.14490167
81 0.05828228 0.31232578 0.45155806 0.17783387
82 0.04171481 0.27170652 0.46893125 0.21764743
83 0.02799390 0.22776704 0.47858117 0.26565789
84 0.01717756 0.18171454 0.47769830 0.32340960
85 0.00922370 0.13521556 0.46284907 0.39271166
86 0.00396252 0.09049229 0.42986627 0.47567891
87 0.00106401 0.05043412 0.37372319 0.57477869
88 0.00000000 0.01872659 0.28838951 0.69288390
89 0.00000000 0.00000000 0.16666667 0.83333333
90 0.00000000 0.00000000 0.00000000 1.00000000

方法論——第一部分

以下是我對上表的計算方法。首先，我先定義一些變數。

  • n = 抽出的球的數量。
  • a = 覆寫所有三行的機率。
  • b = 覆蓋至少兩行特定行的機率。
  • c = 至少覆蓋一行特定行的機率。

以下是 a、b 和 c 的公式：

  • a = 組合(a,15)/組合(90,15)
  • b = 組合(a,10)/組合(90,10)
  • c = 組合（a,5）/組合（90,5）

以下是恰好覆蓋零到三行的公式。對於一行和兩行，公式可以是任意一行或兩行。

  • 恰好覆蓋三行 = a。
  • 恰好覆蓋兩行 = 3×(ba)。
  • 恰好覆寫一行 = 3×(c-2b+a)。
  • 恰好覆蓋零行 = 1 - (3c-3b+a)。

方法論—第 2 部分

本節展示了獲取上表中機率的另一種方法。

在 c 次呼叫中覆蓋 m 個標記的機率為combin (15,m)*combin(75,cm)/combin(90,m)。利用這個機率，你可以計算出覆蓋一張牌的機率為 combin(75,90-m)/combin(90,m)。為了計算覆蓋 1 行或 2 行的機率，我確定了 m 個標記覆蓋 1 行或 2 行的機率。下圖基於基本機率展示了這些機率。

標記數覆蓋的行

標記0 行1 行2 行3 行全部的
5 0.999001 0.000999 0 0 1
6 0.994006 0.005994 0 0 1
7 0.979021 0.020979 0 0 1
8 0.944056 0.055944 0 0 1
9 0.874126 0.125874 0 0 1
10 0.749251 0.24975 0.000999 0 1
11 0.549451 0.43956 0.010989 0 1
12 0.274725 0.659341 0.065934 0 1
十三0 0.714286 0.285714 0 1
14 0 0 1 0 1
15 0 0 0 1 1

緊急遊戲

Urgent Games 是一家為網路賭場提供遊戲的供應商，提供 90 個號碼的賓果遊戲。玩家可以選擇 45、55 或 65 個號碼的抽獎。以下三個表格分別分析了每個選項。 Excel 中有效數字限制為 15 位，請諒解。

45個數字

下表展示了Urgent Games軟體的45球投注遊戲。右下角單元格顯示預期回報率為48.36%。

45個數字

行/行>支付組合可能性返回
3 100 781,879,430,625,944,000,000 0.000008 0.000753
2 50 171,356,221,250,483,000,000,000 0.001650 0.082520
1 5 8,313,931,625,579,050,000,000,000 0.080075 0.400373
0 0 95,341,351,561,293,300,000,000,000 0.918268 0.000000
全部的103,827,421,287,553,000,000,000,000 1.000000 0.483645

55個數字

下表展示了Urgent Games軟體的55球投注遊戲。右下角單元格顯示預期報酬率為57.37%。

65個數字

行/行>支付組合可能性返回
3 50 2,942,618,815,403,660,000,000 0.000260 0.012992
2 10 164,874,003,096,150,000,000,000 0.014559 0.145589
1 2 2,350,584,069,921,270,000,000,000 0.207565 0.415129
0 0 8,806,187,820,277,450,000,000,000 0.777617 0.000000
全部的0 11,324,588,512,110,300,000,000,000 1.000000 0.573711

65個數字

下表展示了Urgent Games軟體的65球投注遊戲。右下角單元格顯示預期回報率為64.08%。

65個數字

行/行>支付組合可能性返回
3 20 52,588,547,141,148,900,000 0.004528 0.090565
2 2 932,475,551,941,065,000,000 0.080293 0.160586
1 1 4,525,207,169,948,350,000,000 0.389654 0.389654
0 0 6,103,141,366,229,710,000,000 0.525525 0.000000
全部的0 11,613,412,635,260,300,000,000 1.000000 0.640805

巫師關於賓果遊戲的訊息

撰寫者: Michael Shackleford