輪盤賭 - 一般問題

在輪盤賭中，任何賭注或賭注組合都具有很高的賭場優勢。您獲勝的可能性越大，相對於回報，您需要承擔的風險就越大。如果您進行10次這樣的操作，獲利的機率為46.42%。如果進行100次，獲利的機率就會降至24.6%。

按照我之前解釋的相同方式開始投注。每次投注金額應為左右數字總和。但是，按照你的雙列策略，如果輸了，你應該在右邊加雙倍的金額。

我在練習模式下玩過，它看起來就像一個正宗的無零輪盤。從長遠來看，沒有任何系統能夠戰勝或輸掉這款遊戲。玩得越多，淨贏額與總投注額的比率就越接近零。

更新：該賭場現已關閉。

如果您在 Microgaming 賭場以 11 點加倍，而莊家拿到黑傑克，您將輸掉全部賭注。在 Unified Gaming，如果明牌是 10，則會立即翻開黑傑克，因此在這種情況下加倍不會有輸給黑傑克的風險。

假設避免了可怕的五個數字組合，輪盤賭中的所有投注組合都會產生相同的預期回報。您說得對，第三列有八個紅色和四個黑色。贏得3個單位的機率是8/38，贏得1個單位的機率是4/38，不賠不贏的機率是10/38，輸掉2個單位的機率是16/38。每單位投注的預期總回報為 (1/2)*(3*8 + 1*4 + 0*10 + 2*16)/38 = -2/38。投注黑色和第三列，贏得3個單位的機率是4/38，贏得1個單位的機率是8/38，不賠不贏的機率是14/38，輸掉2個單位的機率是12/38。預期報酬為 (1/2)*(3*4 + 1*8 + 0*14 + 2*12)/38 = -2/38。兩種組合對各種結果的權重不同，但平均值相同。

一旦你擊中了n個數字，下次旋轉中出現新數字的機率為(38-n)/38。如果某個事件的機率為p，那麼該事件發生前的預期旋轉次數為1/p。因此，假設你已經擊中了n個數字，那麼獲得新數字的預期旋轉次數為38/(38-n)。例如，一旦你擊中了20個數字，那麼獲得第21個數字的預期旋轉次數為38/18=2.11。因此，答案是每一步預期旋轉次數的總和：(38/38)+(38/37)+(38/36)+……+(38/1)=160.66。

（18/38） ¹⁸ =~ 693745 中的 1。

我很高興能幫到白大褂的主人。我的輪盤建議僅限於地球上的遊戲，在你們星球上賄賂才是明智之舉。

您的數字剛好命中 x 次的機率是 combin(1000,x)*(1/38) ^x *(37/38) ^1000-x 。下表顯示了從 0 到 6 的所有命中次數以及總數的機率。

所以答案是 0.00000177564555，即 563175 中的 1。我希望這種情況不會發生在網路賭場。

你可能想知道，為什麼我沒有像上面拋硬幣問題那樣使用常態近似。這是因為它在非常高和非常低的機率下都不太有效。

你對我的策略解讀得相當透徹。我打算在大部分時間裡都押最低注，以免被賭場優勢壓垮。製片人對這種無聊的策略很不滿意，所以我盡量表現得比平常更興奮一些。我選擇單注而不是等額投注，是因為我想要波動。我知道如果最終投注接近1萬美元的起始點，我可能會輸。所以，我想爭取更大的勝算。我全程都押23，雖然最後也加了5。很高興你喜歡這個節目。

不。荷官只學了些基礎知識，並沒有掌握太多技巧。事實上，如果荷官掌握了這種控制力，他只需找個同夥，讓他把球押在他計劃的落點上，就能輕鬆賺到數百萬。

任何一次旋轉失敗的機率是 1-(8/37) = 78.38%。因此，15 次旋轉失敗的機率是 0.7838 ^/15 = 2.59%。

首先，讓我告訴你如何避免測試任何遊戲。你不應該記錄所有遊戲，然後在完成後尋找任何異常，然後寫信給我抱怨賭場作弊。正確的做法是先提出賭場作弊的假設，然後收集數據，最後看看數據是否符合你的假設。如果你不知道該提出什麼樣的假設，我建議你直接測試贏和輸的次數，然後每次都押相同的金額。如果你正確地完成了前兩個步驟，並且在第三個步驟上需要幫助，請隨時寫信給我。

在你的例子中，賭場的留牌率是75%。這是玩家帶走的籌碼價值與荷官投入籌碼箱的金額之比。雖然有歷史平均值，但無法從賭場優勢推算留牌率。留牌率部分取決於玩家將使用籌碼的時間，而這一點無法得知。

謝謝你的讚美。這類題目有一個公式，我在我的網站www.mathproblems.info上解釋過，請參閱第 116 題。

假設資金為b個單位，獲勝目標為g個單位，獲勝機率為p，輸掉機率為q，則您的成功機率為((q/p) ^b -1)/((q/p) ^b+g -1)。本例中，b=20，p=18/37，q=19/37，g=20、50和100。因此，對於200美元的資金，機率為((19/18) ²⁰ -1)/((19/18) ⁴⁰ -1) = 0.253252。

對於 500 美元的獲勝目標，機率為 ((19/18) ²⁰ -1)/((19/18) ⁷⁰ -1) = 0.045293。

對於獲勝目標 1,000 美元，機率為 ((19/18) ²⁰ -1)/((19/18) ¹²⁰ -1) = 0.002969。

過去的旋轉結果無關緊要。連續三次出現紅色 23 的機率是 (1/38) ³ = 1/54,872。

12次旋轉中出現3對和6個單張的機率是combin (38,3) × combin(35,6) × combin(12,2) × combin(10,2) × combin(8,2) × fact(6)/38 ¹² = 9.04%。如果要計算在20次旋轉中，任意12次旋轉間隔內出現這種情況的機率，數學就變得相當複雜了。我猜，這個機率遠高於9%，可能性很大。所以在我看來，這些結果都非常正常。

指定數字的莊家優勢剛好為 0%。

獲勝機率為 (18/38) ³ = 10.63%。賭場優勢為 8×0.1063 - 1×0.8937 = 4.34%，低於所有其他投注的 5.26%（除了可怕的 0,00,1,2,3 組合，其賭場優勢為 7.89%）。

為了方便其他讀者，在歐洲的許多賭場，如果您在輪盤賭中下了等額賭注，而球落在零上，則該賭注將被凍結。如果下一輪結果導致該賭注獲勝，則該賭注將被退回，且不計獎金。如果球落在相反方向，則該賭注失敗。

如果球落在零上，單次禁注會怎樣？如果賭場只允許單次禁注，那麼它就會輸。然而，有些賭場允許雙次禁注，這就是會發生的情況。如果雙次禁注贏了，它會恢復為單次禁注。如果賭場只允許最多雙次禁注，那麼雙次禁注在另一個零上會輸。同樣的邏輯，如果賭場允許三次禁注，那麼雙次禁注在另一個零上會變成三次禁注。

三重監禁下的賭場優勢是1.370120%。在我解釋如何得出這個結論之前，我們先來比較單重監禁和雙重監禁。假設第一個賭注押在紅色上。

設 Z = 零的機率 = 1/37。
設 R = 紅色數字的機率 = 18/37。

單人監禁

pr（推）= ZR = 0.0131482834。
pr（勝利）= R = 0.4864864865。
pr(損失) = 1-pr(推)-pr(贏) = 0.5003652301。
預期值 = pr(贏)-pr(輸) = -0.0138787436。

雙重監禁

如果第一輪結果為零，玩家將推牌。之後，玩家可以無限次重複 ZR，直到獲得紅色。換句話說，推牌的方式如下：

ZR, Z(ZR)R, Z(ZR)(ZR)R, Z(ZR)(ZR)(ZR)R, ...

pr（推）= 0.013323464
pr（勝率）= 18/37 = 0.4864864865。
pr(損失) = 1-pr(推)-pr(贏) = 0.5001900494。
預期值 = pr(贏)-pr(輸) = -0.0137035629。

三重監禁

首先，我們來計算一下單註被禁的機率 p ₁ ，即單注變成三注，加上兩個零，然後最終又升回單注。這種情況可能發生如下：

ZZRR、ZZ(RZ)RR、ZZ(RZ)(RZ)RR、ZZ(RZ)(RZ)(RZ)RR、...

換句話說，賭注可以在三倍監禁和雙倍監禁之間無限次地反覆。

其次，設 p ₂ = 單一監禁賭注達到第一級或第二級監禁，然後回到單一監禁的機率。

令 p ₂ = ZR + p ₁ = 0.013323464。

玩家可以無限次重複返回第一層。因此，平局的機率為：

ZR + _Zp2R + _{Zp2p2R + Zp2p2p2R} + _{... =}

Z × (1/(1- p ₂ )) × R = 0.013325830。

pr（推）= 0.013325830。
pr（勝率）= 18/37 = 0.4864864865。
pr(損失) = 1-pr(推)-pr(贏) = 0.5001876839。
預期值 = pr(贏)-pr(輸) = -0.0137011974。

無限期監禁

瑪夫，你沒問，但我聽說西班牙允許無限期監禁。設p=推擠的機率。這也是從x級監禁開始，逐級下降，最後回到x級監禁的機率。

p = ZR + ZpR + ZppR + ZpppR + ...

p ² - p + ZR = 0

根據二次公式 p = (1-(1-4*RZ) ^1/2 )/2 = 0.0133258620。

pr（推）= 0.0133258620。
pr（勝率）= 18/37 = 0.4864864865。
pr(損失) = 1-pr(推)-pr(贏) = 0.5001876515。
預期值 = pr(贏)-pr(輸) = -0.0137011650。

Zeros 無視監禁

最後，有些賭場會忽略第一個零之後的零，因為第一個零會限制賭注。在這種情況下，平局的機率就是 (1/37)×(1/2) = 0.0135135135。

下表總結了所有四種規則。

我要感謝 ChesterDog 和 weaselman 提供的數學協助。我還要感謝 G. Artico 教授和 polarprof.it 提供上述求和公式的 HTML 程式碼，並在此做個宣傳。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

這個想法是，輪盤應該是平衡的。換句話說，如果你取輪盤上一組連續數字的平均值，它們應該接近平均數 18.5。我想到了一種解釋雙零輪盤上數字分佈的方法，如下所示。

• 將 00 置於 12:00 位置，將 0 置於 6:00 位置。
• 輪盤頂部的數字是 13、1、00、27、10*、25。這些數字必須牢記。
• 所有低奇數（從 1 到 17）位於左側，高奇數（19 到 35）位於右側。
• 從 1 和 13 開始，逆時針移動四個位置以獲得下一個奇數，但不要超過零。
• 作為規則4的一個例外，不要將19放在17逆時針方向的四個位置，因為19的奇數較大，應該放在右邊。相反，應該放11，這是唯一一個規則4中沒有涉及的低奇數。
• 所有偶數都位於輪盤的正對面，與前一個奇數成 180 度角。

我無法解釋單零輪盤的順序。目前，我可以說，如果你把零放在12點的位置，那麼：

• 左側全是紅色的低數字和黑色的高數字。
• 右側將全部是紅色的高數字和黑色的低數字。

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。

您預計球落在 1 到 12 的次數為 3000*(12/38) = 947.37。

您的結果與預期之間的差異是 947.37 - 742 = 205.37。

變異數為 3000*(12/38)*(1-(12/38)) = 648.20。

標準差是變異數的平方根 = sqrt(648.20) = 25.46。

您的結果比預期低 205.37/25.46 = 11.75 個標準差。

p 值，即偏離 11.75 個標準差或更多的機率是 28,542,806,257,940,300,000,000,000,000,000 分之一。

我很想知道輪子在哪裡。

顯而易見，該系統的目的是覆蓋大多數數字，因此這是一種風險較低的輪盤賭方式。以下是每次旋轉的投注金額：

• 3、16、24、28 和 33 日各 5 美元。
• 對以下每組數字進行角注：2/3/5/6、7/8/10/11、14/15/17/18、19/20/22/23、26/27/29/30、31/32/34/35。

請注意，這不包括以下九個數字：0、00、4、9、12、13、21、25 和 36。

下面的回報表顯示了所有可能結果的機率及其對回報的貢獻。

右下角單元格顯示每次旋轉的預期損失為 9.21 美元。每次旋轉的總投注額為 175 美元。因此，賭場優勢為 9.21 美元/175 美元 = 5.26%，即雙零輪盤的賭場優勢。

我想補充一點，使用這個策略，或任何輪盤策略，你輸掉的錢可能比贏回的錢還多。經驗法則是，賭場會回饋你預期損失的三分之一左右的補償。雖然有很多方法可以欺騙賭場，讓你誤以為你的預期損失比實際損失更大，但使用這個策略絕對不是其中之一。

我同意，假設球落在紅色區域，忽略兩個零，第三列投注的條件優勢是33.3%。然而，按照同樣的邏輯，如果球落在黑色區域，第三列投注的勝率是4/18 = 2/9。一個勝率為2/9、賠率為2比1的投注，其莊家優勢是33.33%。所以，以你的方式來看，第三列投註一半情況下的玩家優勢為33.33%，另一半情況下的莊家優勢為33.33%。兩者相抵消，該投注的莊家優勢為0%。最後，再加上兩個零，總的玩家優勢為(2/38)*-100% + (36/38)*0% = -5.26%。

換個角度來看，下表顯示了所有可能結果的發生方式、機率、贏取的單位以及對回報的貢獻。右下角單元格顯示預期損失為 -0.105263 個單位。除以投注的 2 個單位，得出賭場優勢為 5.26%。

這是我的解決方案（PDF）。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

是的， TCS John Huxley銷售這種輪盤。我目前還不知道具體位置。

標準輪盤的莊家優勢公式為z/(36+z)，其中z = 零的數量。本例中，莊家優勢為4/(36+4) = 4/40 = 1/10 = 10%。