概率 - 隨機數

讓我們試著重新表達這個問題。假設彩券有 1000 萬種組合，所有玩家隨機選擇號碼（允許重複），那麼彩券需要售出多少張彩券才能讓至少一人中獎的機率達到 90%？設中獎機率為 p，售出的彩券數量為 n。 1 人輸掉的機率是 1-p。 n 人全部輸掉的機率是 (1-p) ⁿ 。至少有一人中獎的機率是 1 - (1-p) ⁿ 。因此，我們需要將其設為 0.9，並解出 n。

.9 = 1 - (1-p) ⁿ
.1 = (1-p) ⁿ
ln(.1) = ln((1-p) ⁿ )
ln(.1) = n*ln(1-p)
n = ln(.1)/ln(1-p)
n = ln(.1)/ln(.9999999)
n = 23,025,850。

因此，彩票需要售出23,025,850張彩票，才能使至少一位中獎者的機率達到90%。如果你想知道，如果彩票恰好售出1000萬張彩票，那麼至少一位中獎者的機率將是63.2%，非常接近1-(1/e)。

答案中的一個因素是售給其他玩家的彩票總數。如果不只一位玩家中了頭獎，獎金就必須由其他玩家分享。我們設可能的組合數為 n，售出的其他彩券總數為 t，小獎的報酬率為 r（在大獎賽中，r=0.179612），j 為頭獎金額。要讓這筆投資達到損益平衡，j*n/(n+t) + r*n - n=0。結果為 j=(1-r)*(n+t)。

使用 Visual C++ 時，種子顯然總是相同的。如果我給程式相同的輸入，那麼經過隨機模擬後，輸出也總是相同的。我的理解是，這正是微軟的意圖，讓實驗能完全重複。 Visual J++ 顯然會根據我的遊戲有所不同，否則每次都會以相同的順序出現相同的牌局。

後記：自從寫了這篇文章之後，我找到了一種調用隨機數的方法，雖然速度慢，但效果更好。點擊此處了解更多。

20個不同的人擁有完全不同生日的概率（忽略閏日）計算如下：(364/365)*(363/365)*(362/365)...(346/365) = 58.8562%。因此，至少有一對生日相同的概率為41.1438%。此外，要使生日匹配的概率超過50%，最少需要23人。

在 94 題中答對 6 題的機率是 combin(94,6) 中的 1，即 814,216,767 分之一。

謝謝你的讚美。任何入門機率統計書籍都應該對二項分佈進行很好的闡述。簡而言之，二項分佈是在給定每個事件的特定機率和特定試驗次數的情況下，任意給定數量事件發生的機率。具體來說，若每次成功的機率為 p，成功次數為 s，試驗次數為 n，則 s 次成功的機率為 p· ^s * (1-p) ^ns * combin(n,s)。 combin 函數的解釋在我的詞彙表中。例如，假設你想知道在 100 次輪盤賭中，紅色數量恰好是 60 的機率。根據二項分佈，機率為 (18/38) ⁶⁰ * (20/38) ⁴⁰ * combin(100,60) = 0.003291。

Excel 也有一個二項分佈函數。它是 =BINOMDIST(x,n,p,0)，其中：

x=陽性試驗次數。 n=試驗總次數。 p=任何給定試驗的成功機率。

在函數的第四位使用 0 表示 x 的準確獲勝機率。對於 x 或更少的獲勝機率，使用 1。

在上面的輪盤賭範例中，函數將是 =BINOMDIST(60,100,18/38,0)

我認為你提到的其實叫做「大數定律」。它指出，對於平均數為 x 的 n 個隨機變數的隨機樣本，當樣本規模趨於無窮大時，樣本平均值 x _n收斂於 x。我們可以把賭注的結果看成一個隨機變數。這條定律告訴我們，隨著賭注數量的增加，平均結果會越來越接近賭場優勢。

我不喜歡用這種形式的機率，但它們通常用在這樣的句式中：「抽到同花大順的機率是649,739比1。」這表示有649,739種方法你抽不到同花大順，只有1種方法可以抽到。在你的例子中，12比1的機率是1/13，即7.69%，而3比2的機率是2/5，即40.00%，所以3比2的機率更高。

在您的範例中，正確得出 x 的機率是 combin(100,x)*(1/5) ^x *(4/5) ^(100-x) 。要得到精確答案，您必須計算 x 從 0 到 24 的所有值，將它們相加，然後取與 1 的差。答案是 13.14%。

你應該在我還在社保局當精算師的時候就問我這個問題。我本來可以輕鬆地在全國範圍內查詢死亡記錄。我會說答案接近365分之一。這個數字可能略低一些，因為嬰兒出生後的死亡率異常高。 2000年出生的嬰兒，第一年內死亡的機率為男嬰0.71%，女嬰0.59%。換句話說，這些嬰兒不太可能在生日當天死亡，因為一旦過了第一個生日，孩子就過了危險期。另外，雖然我不知道這是否屬實，但《六尺之下》這首歌裡說，殯儀館的生意在一月份會好轉，顯然是因為人們試圖再撐一個聖誕假期，然後就放棄了。同樣的邏輯也適用於慶祝生日。例如喬治·伯恩斯，他在百歲生日後48天去世。

您的數字剛好命中 x 次的機率是 combin(1000,x)*(1/38) ^x *(37/38) ^1000-x 。下表顯示了從 0 到 6 的所有命中次數以及總數的機率。

所以答案是 0.00000177564555，即 563175 中的 1。我希望這種情況不會發生在網路賭場。

你可能想知道，為什麼我沒有像上面拋硬幣問題那樣使用常態近似。這是因為它在非常高和非常低的機率下都不太有效。

如果你在選錯一次後移除了杯子，那麼你的答案就是正確的。由於你每次選錯後都會把杯子留在桌上，所以每次選錯的機率是 1/322，選錯的機率是 321/322。75 次選錯的機率是 (321/322) ⁷⁵ = 79.193%。所以，75 次選錯至少一次的機率是 100% - 79.193% = 20.807%。

那將是組合(34,18)*.19^18*(1-.19)^(34-18) = 0.000007880052468。

A 的機率顯然是 25%。五次射擊中零次的機率是 0.95 ⁵ = 77.378%。因此，五次射擊中至少一次的機率是 100% - 77.378% = 22.622%。所以 A 的機率更高。

過去的旋轉結果無關緊要。連續三次出現紅色 23 的機率是 (1/38) ³ = 1/54,872。

因此，有30個黑色號碼、30個紅色號碼和4個綠色號碼。這樣，黑色中獎的機率為30/64，紅色中獎的機率為30/64，綠色中獎的機率為4/64。如果某個事件的機率為p，則公平賠率為(1-p)/p比1。因此，任何紅色號碼的公平賠率為(34/64)/(30/64) = 34比30 = 17比15。黑色號碼的公平賠率為(60/64)/(4/64) = 60比4 = 15比1。對於特定號碼，公平賠率為(63/64)/(1/64) = 63比1。

我建議紅黑投注賠率為1比1，綠色投注賠率為14比1，任何單一數字的賠率為60比1。賭場優勢的一個公式是(ta)/(t+1)，其中t是真實賠率，a是實際賠率。在本例中，投注紅色或黑色的賭場優勢為(63-60)/(63+1) = 3/64 = 4.69%。投注綠色的賭場優勢為(15-14)/(15+1) = 1/16 = 6.25%。投注單一數字的賭場優勢為(63-60)/(63+1) = 3/64 = 4.69%。

恰好 6 個正確的機率是 combin(10,6)×0.2 ⁶ ×0.8 ⁴ = 0.00550502。

恰好 7 個正確的機率為組合(10,7)×0.2 ⁷ ×0.8 ³ = 0.00078643。

恰好 8 個正確的機率是 combin(10,8)×0.2 ⁸ ×0.8 ² = 0.00007373。

恰好 9 個正確的機率是 combin(10,9)×0.2 ⁹ ×0.8 ¹ = 0.00000410。

恰好 10 個正確的機率是 0.2 ¹⁰ = 0.00000010。

將 6 到 10 個正確答案的機率相加，則至少 6 個正確答案的機率為 0.00636938。

如果中獎機率為 1/n，且你玩了 n 次，當 n 趨近於無限大時，至少中獎一次的機率趨近於 1-(1/e)，其中 e = 2.7182818……，即約 63.21%。精確答案可以表示為 1-(999,999/1,000,000) ^1,000,000 = 0.63212074。我的估計是 1-(1/e) = 0.63212056，精確到小數點後六位。

假設沒有跳過任何數字，只要參與者人數夠多，機率幾乎不受參與者人數的影響。參與者人數越多，至少配對一次的機率就越接近 1-(1/e) = 63.21%。

在 12 場遊戲中，任意數字恰好出現 n 次的期望值為(12,n)×(6/45) ⁿ ×(39/45) ^n-12 。下表顯示了 0 到 12 的期望出現次數。

所以，回答你的問題：你會在每副牌中看到同一個數字剛好出現六次，大約是每副牌出現0.099次，或者說每10.1次出現一次。同一個數字剛好出現七次，每副牌中會出現0.0131次，或者說每76.6次出現一次。

你說得對。連續兩個晚上選取相同數字序列的機率是千分之一。作者回答的問題是，1-9-6 連續兩次被抽中的機率是多少，這確實是百萬分之一。然而，正如你所指出的，關鍵問題是任何序列重複出現的機率是多少。這個問題的答案是 (1/10) ³ = 千分之一。

對於一個如此簡單的問題，解答起來卻相當複雜。按照我的方法，你需要知道這個積分。

這是答案和我的解決方案（PDF） 。