概率 - 一般問題

除了二十一點和視頻撲克中罕見的正期望機會外，是的，這就是我所說的。

假設某事發生的機率為 x 比 y，表示該事件每不發生 y 次，就會發生 x 次。為了進行轉換，設 p 為某事發生的機率。此機率也可以表示為 (1/p)-1 比 1。讓我們來看一個例子。在五張牌梭哈中抽到葫蘆的機率是 0.00144058。這也可以表示為 693.165 比 1。

假設格線當中的⽅框欄位是由隨機選出的, 那麼在任何⼀個quarter場次贏 的概率將會是1/100. 假設每⼀個quarter場次都是獨⽴事件, 其實並⾮如此, 贏到所有四個quarters場次的概率將會是 (1/100)4 = 100百萬分之⼀。

我不喜歡用這種形式的機率，但它們通常用在這樣的句式中：「抽到同花大順的機率是649,739比1。」這表示有649,739種方法你抽不到同花大順，只有1種方法可以抽到。在你的例子中，12比1的機率是1/13，即7.69%，而3比2的機率是2/5，即40.00%，所以3比2的機率更高。

你說得對，那篇文章是錯的。在 x 年的時間內發生五百年一遇洪水的機率是 1-e ^-x/500 。因此，50 年內至少發生一次五百年一遇洪水的機率是 9.52%，100 年內至少發生一次五百年一遇洪水的機率是 18.13%。

設 p 為熱門球隊獲勝的機率。如果 -160 為公平賠率，則：

100*p-160*(1-p)=0
260便士=160
p = 160/260 = 8/13 = 61.54%。

因此，在賠率為-145的賠率線上，下注145美元的預期回報為(8/13)*100 + (5/13)*-145 = 75/13 = 5.77美元。因此，玩家優勢為5.77美元/145美元 = 3.98%。

我們將t定義為不計莊家優勢的真實賠率線，a定義為實際賠率線。以下是玩家預期回報的公式：

A 為負數，t 為負數：(100*(ta) / (a*(100-t))
A為正，t為正：(at)/(100+t)
A 為正數，t 為負數：(a*t + 10000)/((t-100)*100)

因此，在您的情況下，您的預期報酬率是 100*(-160 -(-145))/(-145*(100-(-160))) = 3.98%。

首先，我之所以發表這篇文章，是因為作者在文章底部允許我這麼做。這是一個很好的例子，說明相關性不一定意味著因果關係。回顧過去，很容易發現很多巧合。要論證任何事，都應該在收集任何證據之前先提出假設。

後續（2004年11月13日）：另一位讀者指出，這張地圖最初只是個玩笑，後來卻成了都市傳說。正如此連結指出的那樣，圖中的颶風路徑根本不準確，而且實際颶風襲擊了戈爾縣的許多縣。這恰恰表明，你不應該輕信你讀到的一切，尤其是在網路上。

謝謝你的讚美。說實話，現在沒人太在意點擊率了。所以，如果只是為了炫耀，就沒必要非得點開橫幅廣告。回答你的問題，在美國，生男孩的機率非常接近50.5%，生女孩的機率接近49.5%。假設博彩界沒有其他信息，那麼押注男孩的玩家優勢應該是0.505*1.05 - 0.495 = 3.53%。也可能是掌握內線消息的人押注女孩。另一種說法是，有些人錯誤地認為可以透過母親的肚子形狀來判斷性別，而這些人押注的是女孩。我個人不去深究這個問題。

不是。根據美國疾病管制與預防中心 (CDC) 的精算表，72 歲的白人男性活到 76 歲的機率為 85.63%。這意味著死亡機率約為七分之一。存活率可以透過將 76 歲時出生隊列的 57,985 人除以 72 歲時出生隊列的 67,719 人得出，該數據來自第 14 頁的白人男性表格。使用的表格稱為“週期生命表”，它假設 2003 年的死亡率在未來不會發生變化，這是最常用的精算表類型。追求完美的人可能會想使用 1936 年的隊列生命表，但我認為這不會有太大區別。

P.S.：發布此回覆後，我收到幾則評論，說我的回覆沒有考慮到約翰·麥凱恩的個人健康狀況。他的不利之處在於他是一名癌症倖存者。他的優勢在於能夠享受金錢能買到的最好的醫療服務，對於一個72歲的老人來說，他的身心狀態顯然仍然很好，而且長壽，他的母親仍然健在就是明證。然而，我從未打算將這些資訊納入考量。我指的是馬特·達蒙引用的精算表。我只是說，對於普通的72歲白人男性來說，再活四年的機率是86%。如果必須的話，我預測約翰·麥凱恩的幾率甚至會更高。

請參閱我的配套網站MathProblems.info ，問題編號 210，以取得答案和解決方案。

不計入平局，在139次選擇中至少贏得88次的機率是0.00107355，也就是931分之一。這真是令人失望。我敢肯定，還有930隻動物的表現更差，只是沒人提及而已。想了解更多關於“公主”的信息，請閱讀ESPN.com上的文章《新澤西駱駝預測巨人隊戰勝愛國者隊》 。

我希望你開心；我為此花了好幾個小時。

要回答這個問題，重要的是量化切爾西·漢德勒紅頭假說下的行為。以下是我的假設。

1. 紅頭髮的人永遠不會與另一個紅頭髮的人交配。
2. 雌性總是會選擇雄性進行交配。
3. 每個人都會交配，每次交配都會產生相同數量的孩子。
4. 紅髮的雌性動物將有優先選擇配偶的權利，在非紅髮的動物中隨機選擇。
5. 女性帶因者（擁有一個紅髮基因）將在紅髮剩餘的男性中隨機選擇配偶。
6. 陰性女性（既沒有紅髮基因）將在紅髮男性和帶因者剩下的男性中隨機選擇。

首先，讓我們回顧一下籌碼堆疊。

希望你滿意。為了回答這個問題，我在Office Depot買了一大卷彩券。然後我把其中500張彩券放進一個紙袋裡，一半對折，大約90度角，另一半展開。之後，我請六位志工每人每次抽取40到60張彩票，並進行替換，同時我記錄結果。結果如下。

好問題！這是我的答案和粗略的解決方案。另請參閱我的PDF 版解決方案。

這就是所謂的聖彼得堡悖論。

確實，遊戲的預期贏利是∞，但同時硬幣最終出現反面的機率是存在的，最終贏得的錢是有限的。預期贏利的計算方法如下：

預期贏利 = pr(1 次翻轉)×2 + pr(2 次翻轉)×4 + pr(3 次翻轉)×8 + pr(4 次翻轉)×16 + pr(5 次翻轉)×32 + pr(6 次翻轉)×64 + ... =

（1/2） ¹ × 2 ¹ + （1/2） ² × 2 ² + （1/2） ³ × 2 ³ + （1/2） ⁴ × 2 ⁴ + （1/2） ⁵ × 2 ⁵ + （1/2） ⁶ × 2 ⁶ + ...

= ((1/2)*(2/1)) ³ + ((1/2)*(2/1)) ⁴ + ((1/2) ^* (2/1)) ⁵ + ((1/2)) ⁴ + ((1/2)*(2/1)) ⁵ + ((1/2) ...(2/1)) ....

= 1 ¹ + 1 ² + 1 ³ + 1 ⁴ + 1 ⁵ + 1 ⁶ + ...

= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... = ∞

矛盾的是，玩家必須贏得有限的金額，但預期贏取的金額卻是無限的。這怎麼可能？

這或許不是一個令人滿意的答案，但關於無窮大，確實存在著許多悖論。這或許會讓我收到一些憤怒的郵件，但儘管存在這些無窮大悖論，讓我晚上睡得安穩的是，我相信無窮大是一個數學或哲學概念，在現實物理宇宙中尚未得到證實。這個無窮大的概念或理論本身就帶有悖論。

對於那些不同意這一點的人，請告訴我任何被證明具有無限數量或測量的東西。除非你有黑洞大小的證據，否則請不要說黑洞的密度是無限的。

要回答最初關於玩這個遊戲應該花多少錢的問題，我們應該記住，幸福感並不與金錢的數量成正比。我個人在經濟學課上學習過，我相信金錢帶來的效用，或者說幸福感，與金錢數量的對數成正比。在這個假設下，如果將任何兩個人的財富增加或減少相同的百分比（初始財富不為零），那麼他們都會體驗到相同的幸福感變化。例如，如果吉姆的財富突然從 1,000 美元增加到 1,100 美元，而約翰的財富突然從 10,000,000 美元增加到 1,1,000,000 美元，那麼他們都會體驗到相同的幸福感增長，因為在這兩種情況下，他們的財富都增加了 10%。假設金錢帶來的幸福感確實與金額的對數成正比，那麼下表顯示了一個人在付費玩遊戲之前，根據其財富應該願意支付的最高金額。

首先，最後行動沒有任何位置優勢。由於在前面的玩家進行遊戲時，玩家會被安排在隔音室內，所以順序並不重要。

其次，博弈中必須存在一個納許均衡，其中至少獲得 x 分的策略優於其他任何策略。問題在於找到 x。

我問自己，如果每位玩家拿到的不是1到100的牌，而是0到1之間均勻分佈的隨機數，並尋找一個點x，讓完美的邏輯學家對停牌和換牌無感，那麼策略會是什麼。有了這個答案，我們就能輕易地將答案應用在1到100的離散分佈上。

我就不多說了，讓讀者自己體會這個問題的樂趣吧。請參閱下面的連結以獲取答案和解決方案。

答案為 0 到 1 的連續分佈。

答案為 1 到 100 的離散分佈。

如需了解我的解決方案，請點擊此處（PDF） 。

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。

這就像問14張隨機牌全部包含10張黑牌的機率是多少。從一副牌中的10張紅牌中，有(10,4)=210種方法可以選出4張紅牌。當然，只有一種方法可以選出全部10張黑牌。從20張牌中，有(20,14)=38,760種方法可以選出14張。所以答案是210/38,760=0.005418，即1/184.57。

讓我們看看視訊撲克的黃金標準，9-6 Jacks or Better來回答您的問題。

第一步是修改我的計算器，使其包含所有13種四類賠償的明細項目。修改後的收益表如下：

[/spoiler] 讓：
c = 牛吃草的速率
l = 駱駝吃草的比率
s = 羊吃草的速率
g = 草的生長率

在一段時間結束時，消耗的草量必須等於初始草量加上該時間段內生長的草量。所以…

（1）21*（c+l）=1+21g
（2）42*（l+s）=1+42g
（3）28*（s+c）=1+28g

其中 1 代表一片草。

我們還得到：

（4）c=s+l

首先，將公式（4）代入公式（2）：

（5）42c = 1 + 42g

用 g 來表示：

（6）g = (42c-1)/42

接下來，將方程式（6）代入（1）...

（7）21（c+l）=1+21*（42c-1）/42

經過一些代數運算，我們得到...

（8）l = 1/42。

接下來，將方程式 (4) 代入 (3)...

（9）28*（2秒+1）=1+28克

我們知道 l=1/42，所以...

28*(2秒+1/42)=1+28公克
56秒+28/42=1+28克
2352秒+28=42+1176克
（10）g = (2352秒 - 14)/1176

接下來，將方程式（8）和（10）代入（2）中…

42*(1/42 + 秒) = 1 + 42*(2352秒 - 14)/1176

經過一些簡單的代數運算，我們得到：

（11）s = 14/1176 = 1/84

根據公式（4）

（12）c =（1/84）+（1/42）=3/84=1/28

因此，如果草不長，那麼牛需要 28 天才能吃完田地，駱駝需要 42 天，羊需要 84 天。

接下來，我們來求解 g。將 (11) 代入 (10) 中：

g = [2352*(1/84)-14]/1176
（13）g = 14/1176 = 1/84。

巧合的是，這與羊吃草的速度相同。

設t為最終答案。我們知道，在t天內，吃掉的草的數量必然等於田裡的草量（1）加上當時生長的草量。所以…

（13）t*（s+l+c）=1+tg

解決...

t*[(1/84) + (1/42) + (1/28)] = 1 + t/84
t = 1/[(1/84) + (1/42) + (1/28) - (1/84)]
（14）t = 84/5 = 16.8 天 = 16 天 19 小時 12 分鐘

[/spoiler]

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。

對於一個如此簡單的問題，解答起來卻相當複雜。按照我的方法，你需要知道這個積分。

這是答案和我的解決方案（PDF） 。

這其實相當簡單，尤其對於麻省理工學院的組合數學課程。題目描述如下：

“畫出所有大小為 n=10 的同胚不可約樹。”

以下是我嘗試用簡單易懂的英語表達的。

僅使用直線，畫出所有交點和死角總和等於10的圖形。不能有任何閉環。也不能有兩個等值的圖形。任何交點都必須至少有三條路徑從該交點延伸出去。

你可能會問，「等效」是什麼意思？意思是你可以隨意移動棋子，但交叉點保持不變，而且不會產生任何新的棋子。

以下是一個例子：



我給你個提示。和電影裡的答案不一樣，答案有十個。威爾只答對了八個。看看你能不能追上甚至超過威爾亨特。

[/spoiler]

我在我的MathProblems.info網站問題 220 上展示了得出全部十個問題的邏輯。

• 《心靈捕手 II》中的數學：從學生的角度看問題——關於這個問題的學術論文。
• 心靈捕手數學問題——在我的論壇中討論這個問題。

答案和解決方案可以在我的數學問題頁面第 225 題中找到。

身為前精算師，你問對人了。希望精算師協會不會認為我的答案是對職業的濫用。話雖如此，為了回答你的問題，我查閱了我之前工作單位——社會安全局首席精算師辦公室——的2014年期間壽命表。

週期生命表顯示了 2014 年任何特定年齡和性別的人的死亡機率等。利用這些信息，我創建了下表，其中顯示了從 0 到 100 歲的所有年齡段和兩種性別的死亡機率和預期分數。

表顯示，90 歲男性的最高預期分數為 1.645220。

這個問題是在我的非賭博論壇“Diversity Tomorrow”中提出和討論的。

問得好！我之前在遊戲展上看到一些細長的汽水罐，容量和標準尺寸的一樣，都是355毫升，就好奇這個問題了。肯定不可能兩個都對（別叫我雪莉）。 [/spoiler] 讓：
r = 罐體的半徑
h = 罐子的高度
v = 罐子的體積
s=罐的表面積

我們從簡單的幾何知識知道表面積 = 2*pi*r^2 + 2*pi*r*h。

同樣，我們也知道體積是 pi*r^2*h，等於 355。

所以，355=pi*r^2*h。

讓我們重新排列一下：

（1）h = 355/（π*r^2）

我們知道：

（2）s = 2*pi*r^2 + 2*pi*r*h。

我們將方程式 (1) 中 h 的表達式代入 (2) 中，將其變成只有一個變數的函數：

s = 2*pi*r^2 + + 2*pi*r*(355/(pi*r^2))) = 2*pi*r^2 + 710/r。

讓我們取 s 的導數並將其設為零，以求解最優 r。

ds/dr = 4*pi*r - 710/(r^2) = 0

4*pi*r = 710/(r^2)

將兩邊乘以 r^2：

4*pi*r^3 = 710

r^3 = 177.5/pi。

r = (177.5/pi)^(1/3) = 3.837215248。

將此值代入公式 (1) 可得 h = 7.674430496。 [/spoiler]

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。

我同意你聽到的關於遊戲方差的討論比標準差更多，我一直覺得這有點煩人。我認為賭徒應該關心遊戲波動性的原因是，要把輸贏與一局遊戲的機率連結起來。例如，玩200手二十一點後，1%的輸錢率算什麼？要回答這個問題，你可以用二十一點的標準差，大約是1.15，取決於規則。

這個問題的具體答案是 1.15 × 200^0.5 × -2.32635（即高斯曲線上的 1%）= 低於預期 -37.83 個單位。別忘了，由於賭場優勢，你可能會損失一些錢。假設賭場優勢為 0.3%，那麼 200 手牌之後，你可能會損失 0.003*200 = 0.6 手牌。因此，1% 的損失將是 0.6 + 37.83 = 38.43 手牌。

如果人口和年齡分佈穩定，那麼如果離婚機率真的是 50%，那麼在樣本量較大的情況下，我們預計在任何給定的時間段內都會看到一起離婚與兩起結婚的比例。

然而，人口並不穩定。從這張圖表來看，美國人口每十年增加10.71%，相當於每年1.02%。為了簡單起見，我們就假設是1%吧。

地圖來源：美國人口普查

據fatherly.com稱，失敗的婚姻平均持續 8 年。

如果您觀察到目前離婚與結婚的比例為 1 比 2，那麼任何特定婚姻以離婚告終的平均機率是多少？

我們現在看到的離婚案例是8年前結婚的，當時人口的比例是現在的92.35%。簡單的計算表明，真實的離婚機率是54.14%。

我們來檢查一下。

首先，根據疾病預防控制中心的數據，每年每1,000人中就有6.9對結婚。這個數字與本文的問題無關，但我認為有助於理解所涉及的數字。

假設8年前人口為3億，那麼當年結婚的人數為0.69%*3億=207萬對。

如果其中 54.14% 的人在八年後以離婚告終，那麼我們現在將看到 2,070,000 * 54.14% = 1,120,698 起離婚事件。

1,120,698 / 2,070,000 = 目前觀察到的離婚與結婚比率的 50%。

免得有人說，是的，我知道並非所有離婚都會在八年內結束。然而，綜合考慮，我認為最終結果與我54.14%的真實離婚率相差無幾。

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。

假設每個人每次選擇一個。每個人選擇時，會出現兩種情況：

1. 挑選者的名字已經被挑選出來了。
2. 挑選者的名字仍然在名字箱裡。

對於任何給定的挑選者，假設還有 n 個人需要挑選。

如果正在挑選名字的人的名字已經被選中，那麼挑選者有 1/n 的機率會選擇與他名字相關的名字，從而形成一個閉環。例如，假設艾米正在挑選。艾米的名字已經被鮑伯佔據，鮑伯的名字已經被查理佔據，而查理的名字仍然在箱子裡。由於箱子裡還有 n 個名字，所以艾米選擇查理名字的機率為 1/n，從而形成一個閉環。

如果選擇者的名字尚未被選中，那麼艾米選擇自己名字的機率為 1/n，從而形成一個循環。

無論如何，如果拾取器沒有閉合一個環路，她就加入了另一條鏈的一部分，而這條鏈最終會被其他人閉合。每條鏈在閉合時只應計算一次。

因此答案是 1/100 + 1/99 + 1/98 + ... + 1/1 =~ 5.187377518。

對於任何足夠多的玩家數量 n 的估計值是 ln(n)。

這個問題是在我的Wizard of Vegas論壇中提出並討論的。

選擇這兩個很容易，因為它們可能是最著名的兩個：

• 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ... = π/4
• 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... = π^2/6

確實如此，隨機選取23個人，至少有一對生日相同的機率是50.73%。這個機率忽略了閏日，並假設每個人在其他365天出生的機率相同（實際上並非如此，春季和秋季的生日機率略高一些）。

回答你問題的表格很長，所以我會把它們放在劇透標籤裡。點擊按鈕看答案。

莊家有 42 種方法可以把 10 美元分成 10 美元。具體如下：

數學家們把這些稱為「分區」。以下是起始數量最多為 405 的分區數，這是我的計算機所能計算的最大數量（2^64）。

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。

讓我們先查看 n（x 軸）乘以 f(n)（y 軸）的圖表。

如你所見，極限從左邊趨向∞，從右邊趨向-∞。由於極限從兩邊不指向同一個位置，所以不存在極限。

不過，我們先不畫圖來回答這個問題。洛必達規則指出，如果 f(x)/g(x) 的極限 = 0/0，則 lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)。所以，我們來解 f'(x) 和 g'(x)。

f'(n) = ((ln(1-n) - sin(n)) d/dn = -1/(1-n) - cos(n)
g'(n) = (1 - cos ² (n)) d/dn = sin ² (n) d/dn

讓我們用乘積法則來解 sin ² (n) d/dn

sin ² (n) d/dn = sin(n) × sin(n) d/dn =
sin(n) × cos(n) + cos(n) × sin(n) =
2sin(n)cos(n)。

接下來，讓我們解 n = 0 時的 f'(n) 和 g'(n)。

f'（0）= -1/（1-0）-cos（0）= -2。
g'(0) = 2sin(0)cos(0) = 0

所以，f'(0)/g'(0) = -2/0 = -∞。因此，原函數的極限並不存在。

我要誇讚《賤女孩》的編劇，他們把數學運用得爐火純青。即使是像《心靈捕手》這樣嚴肅的數學電影，也常常把數學運用得一塌糊塗。

首先，我來介紹一下排列數。這意味著不僅數字重要，它們在卡片上的順序也很重要。對於 B、I、G 和 O 列，可能的排列數為 permut(15,5) = 15!/(15-5)! = 15*14*13*12*11 = 360,360。對於 N 列，排列數為 permut(14,4) = 15!/(15-4)! = 15*14*13*12 = 32,760。因此，賓果卡的總排列數為 360,360 ⁽⁴ × 32,760) = 552446474061128648601600000。

其次，我來討論一下組合數。這意味著數字很重要，但它們在卡片上的順序並不重要。對於 B、I、G 和 O 列，可能的組合數共有 combin(15,5) = 15!/(5!*(15-5)!) = (15*14*13*12*11)/(1*2*3*4*5) = 3,003 種。對於 N 列，排列數為 combin(14,4) = 15!/(4!*(15-4)!) = (15*14*13*12)/(1*2*3*4) = 1,365。因此，賓果卡的總排列數為 3,003 ⁴ × 1,365 = 111007923832370565。

在節目中，謝爾頓問自己有多少張獨特的賓果卡。根據後來的錯誤公式，我猜他指的是排列。換句話說，兩張數字相同但位置不同的卡牌都是獨一無二的。

上圖展示了 Sheldon 計算 B、I、G 和 O 列的公式。他最初計算的公式是 5! × combin(15,5)。然而，他錯誤地將其簡化為 15!/(15!-5)!。第二個感嘆號不應該出現在那裡，應該是 15!/(15-10)!。然而，他隨後又得到了正確答案 360,360。

N 列也出現了同樣的問題。公式應該是 15!/(15-4)!，而不是 15!/(15!-4)!。第二個感嘆號搞砸了。

諷刺的是，在劇集的後面，謝爾頓開始沉迷於《魔戒》年表中的錯誤，就像我迷戀這個一樣。

讓我們先定義幾個變數：

• s = 罐中鹽的重量
• t = 鹽倒入水箱後的分鐘數

已知每分鐘排出10%的鹽分。用數學語言來表達就是：

ds/dt = (-10/100) × s

讓我們重新排列一下：

ds = (-10/100) × s dt

-10/s ds = dt

整合雙方：

（1）-10×ln(s) = t + c

接下來，我們來求出那個令人頭痛的積分常數。為了求出這個常數，我們已知當 t = 0 時 s = 10。將其代入上面的公式 (1) 中，我們得到：

-10 × ln(10) = 0 + c

所以 c = -10×ln(10)

將其代入公式 (1) 中，我們得到：

（2）-10×ln(s) = t -10×ln(10)

問題是，t=30 時，水箱裡有多少鹽。求解 t=30 時的 s：

-10×ln(s) = 30 -10×ln(10)。接下來將兩邊同時除以 -10…

ln(s) = -3 + ln(10)

s = exp(-3 + ln(10))

s = exp(-3) × exp(ln(10))

s = 指數(-3) × 10

s =~ 0.4979 公斤鹽。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

解決這類問題的關鍵在於如何設定它們。我建議盡量將問題簡化為盡可能少的未知數。在本例中，我們可以將正方形上的未知距離表示為三個，如下所示：

處理矩形比處理三角形更容易。已知三個三角形的面積，我們可以將長方形的大小和麵積都加倍。這樣一來：

• ab=10
• ac=16
• （ab）（ac）=14

讓我們分解 (ab)(ac)：

a ² - ab - ac + bc = 14

^2-10-16 + bc = 14

（1） ^a2 +bc=40

讓我們用 a 來表示 b 和 c，以將其歸結為單一變數：

b = 10/a

c = 16/a

用這些值代替方程式 (1) 中的 b 和 c：

² + (10/a)*(16/a) = 40

^a2 + 160/ ^a2 = 18

接下來，讓我們將所有數字乘以²來去掉分母中的² 。

⁴ + 160 = 40 * ²

^4-40 * ² +160=0

讓我們定義一個新變數 y = a ²

y ² - 18y + 32 = 0

接下來，讓我們使用二次公式來解 y：

y = (40 +/- 平方根(1600-640))/2

y = (40 +/- 平方根(960))/2

y = (40 +/- 8*sqrt(15))/2

y = 20 +/- 4 * sqrt(15)

整個正方形的面積是² ，剛好等於 y。根據上面的公式，如果 +/- 為負，則 y = apx 4.5081，這顯然是錯誤的，因為我們知道面積至少是 20，甚至不包括 x。因此，正方形的面積必須是 20 + 4*sqrt(15)。

給定三個三角形，其面積分別為 5+7+8=20。以正方形的總面積減去該面積，可得 x 的面積：20 + 4*sqrt(15) - 20 = 4*sqrt(15) = apx 15.4919。

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。

注意照片裡我的T卹。我去看《原鑽》的時候，電影院收銀員誇我穿了這件T卹。為了報答她，我用這題折磨她，只用面積分別為2、3和4的三角形。電影結束後，我去看她，她還是沒解出來，但似乎在努力。於是，我在陽光海岸酒吧給她寫了下面的解法。她似乎很欣賞。我覺得這位年輕女士的人生一定會很成功。

了解以下提示中的無窮級數將非常有用。

萊布尼茲 π 公式指出：

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ... = π/4

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我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

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[劇透=解]

^9x + ^12x = ^16x =

將兩邊除以 9 ^x

1 + (12/9) ^x = (16/9) ^x

1 + (4/3) ^x = ((4/3) ^x ) ²

（1）設 u = (4/3) ^x

1 + u = u ²

根據二次公式...

u = (1+sqrt(5)) / 2（黃金分割率）

將其代入公式 (1) 中：

（4/3） ^x =（1 + 平方根（5））/ 2

兩邊取對數：

x ln(4/3) = ln[(1+sqrt(5)) / 2]

x = ln[(1+sqrt(5)) / 2] / ln(4/3)

x = [ln(1+sqrt(5) - ln(2)] / [ln(4) - ln(3)] = 約 1.67272093446233。[/劇透]

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。

致謝：我從Mind Your Decisions的 Presh Talwalkar 那裡得到了這個問題的變體。

[劇透=解]

一位農民種了5顆蘋果種子。每天，每顆種子有1/3的機率發芽。請問五棵樹全部發芽的平均時間是多少？

我們反過來算一下。如果剩下一顆種子還沒有發芽，它平均需要 1/p 天才能發芽，其中 p 是任一天發芽的機率。由於 p = 1/3，所以平均需要 3 天才能發芽。我們稱之為 t ₁ = 3。

如果剩下兩顆種子呢？第二天兩顆種子都有 ap ² = 1/9 的機率發芽，這樣就完成了。其中一顆種子第二天發芽的機率是 2×p×q，其中 q 是不發芽的機率。因此，一顆種子發芽的機率是 2×(1/3)(2/3) = 4/9。兩顆種子都不發芽的機率是 q ² = (2/3) ² = 4/9。我們將兩顆種子的預期天數稱為 t ₂ 。

t ₂ = 1 + (4/9)×t ₁ + (4/9)t ₂

t ₂ = (1 - (4/9)) = 1 + (4/9)×t ₁

_t2 = (1 + (4/9)×3) / (1 - (4/9))

_t2 = (21/9) / (5/9)

_t2 = (21/9) × (9/5) = 21/5 = 4.2

如果剩下三顆種子呢？有 p ³ = 1/27 的機率，它們第二天都會發芽，我們就完成了。其中一顆種子第二天發芽的機率是 3×p×q ² = 3×(1/3)(2/3) ² = 12/27。第二顆種子第二天發芽的機率是 3×p ² ×q = 3×(1/3) ² ×(2/3) = 6/27。沒有種子發芽的機率是 q ³ = (2/3) ³ = 8/27。我們將擁有三顆種子的預期天數稱為 t ₃ 。

t ₃ = 1 + (6/27)t ₁ + (12/27)×t ₂ + (8/27)×t ₃

t ₃ = 1 + (6/27)×3 + (12/27)×4.2 + (8/27)×t ₃

_t3 × (1 - 8/27) = (1 + 18/27 + 28/15)

t ₃ = (1 + 18/27 + 28/15) / (1 - 8/27) = 477/95 = 約 5.02105263

如果剩下四顆種子怎麼辦？有 ap ⁴ = 1/81 的機率，四顆種子第二天都會發芽，我們就完成了。一顆種子第二天發芽的機率是 4×p×q ³ = 4×(1/3)(2/3) ³ = 32/81。第二顆種子第二天發芽的機率是 combin(4,2)×p ² ×q ² = 6×(1/3) ² ×(2/3) ² = 24/81。第三顆種子第二天發芽的機率是 combin(4,3)×p ³ ×q = 4×(1/3) ³ ×(2/3) = 8/81。沒有種子發芽的機率是 q ⁴ = (2/3) ⁴ = 16/81。我們將擁有三顆種子的預期天數稱為 t ₄ 。

t ₄ = 1 + (8/81)×t ₁ + (24/81)×t ₂ + (32/81)×t ₃ + (16/81)×t ₄

_t4 = 1 + (8/81)×3 + (24/81)×4.2 + (32/81)×5.02105263 + (16/81)× _t4

t ₄ = (1 + (8/81)×3 + (24/81)×4.2 + (32/81)×5.02105263) / (1 - (16/81))

t ₄ = 約 5.638056680161943319838056680。

如果剩下的五顆種子都還剩下呢？第二天，五顆種子全部發芽的機率是 p ⁵ = 1/243，這樣我們就完成了。一顆種子第二天發芽的機率是 5×p×q ⁴ = 5×(1/3)(2/3) ⁴ = 80/243。第二顆種子第二天發芽的機率是 combin(5,2)×p ² ×q ³ = 10×(1/3) ² ×(2/3) ³ = 80/243。第三顆種子第二天發芽的機率是 combin(5,3)×p ³ ×q = 10×(1/3) ³ ×(2/3) ² = 40/243。第四顆種子第二天發芽的機率是 combin(5,4)×p ⁴ ×q = 5×(1/3) ⁴ ×(2/3) = 10/243。沒有種子發芽的機率是 q ⁵ = (2/3) ⁵ = 32/243。我們將有三顆種子的預期天數稱為 t ₅ 。

t ₅ = 1 + (10/243)×t ₁ + (40/243)×t ₂ + (80/81)×t ₃ + (80/243)×t ₄ + (32/243)×t ₅

_t5 = (1 + (10/243)× _t1 + (40/243)× _t2 + (80/81)× _t3 + (80/243)× _t4 ) / (1 - (32/243))

_t5 = (1 + (10/243)×3 + (40/243)×4.2 + (80/243)×(477/95) + (80/243)×5.63805668) / (1 - (32/243))

t ₅ = 約 6.131415853。

該問題改編自Mind Your Decisions的 Presh Talwalkar 提出的類似問題。

[劇透=解]

請參閱我的解決方案（PDF）

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。

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[劇透=解]

這個解法需要一個常微分方程。如果你的數學教育還沒達到這個程度，你就無法理解。

讓：
m = Covid-20 微生物數量
t = 時間，以天為單位

由於每個微生物平均每天產生一個新微生物，因此 m 個微生物平均每天會產生 m 個新微生物。換句話說，在任何給定時間 t，微生物 (m) 的成長率可以寫成：

dm/dt = 米。

我不確定表達這一點的正確方法，但將 dt 分開到右側：

dm = m dt。

將兩邊除以 m：

1/m dm = 1 dt。

將兩邊積分：

ln(m) = t + C，其中 C 是積分常數。

已知在時間 0 時有 1 個微生物。換句話說，當 t = 0 時，m = 1。我們可以將這些值代入上面的公式來解 C：

ln(1) = 0 + C

0 = 0 + C

C = 0。

我們現在有 ln(m) = t。

對兩邊取 exp()：

m = e ^t

因此，在時間 t=7 時，將有 e ⁷ = 約 1096.6332 個微生物。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

[劇透=CharliePatrick 解答]

假設有20個牛仔。我們選擇這個數字是因為所有涉及的機率都能被5%整除，而20的5%等於1。

把他們排成一排。然後，從左邊開始，射殺其中90%的人，也就是18人，射中他們的腿部。然後畫一個圖表，上面一行寫牛仔的編號，左邊一列寫每個人的受傷總數，如下圖所示。

接下來，你需要射中85%的子彈，也就是17發子彈擊中手臂。從兩個腿部沒有中彈的牛仔開始。你剩15發子彈。回到左邊的牛仔，沿著這一排往下移動，射中腿部的子彈總數達到15發。你的傷害卡應該是這樣的：

接下來，你需要射擊 80%，也就是腹部 16 發子彈。從五個只受過一次傷的牛仔開始。你還有 11 發子彈要打。回到左邊的牛仔，沿著這一排往下移動，總共射擊 11 發已經受過兩次傷的牛仔。你的傷勢卡應該是這樣的：

接下來，你需要射擊75%，也就是頭部15個。從9個只被射中兩次的牛仔開始。你還有6個牛仔需要射擊。回到左邊的牛仔，沿著這一排往下移動，總共射擊6個已經被射中三次的牛仔。你的傷害卡應該是這樣的：