概率 - 牌

首先，我假設您不計算平局。換句話說，您的意思是 75 手牌不平手。 75 手牌不平手的可能性非常小。在 75 手牌中，莊家獲勝的預期次數為 38.00913745。標準差是 75、莊家獲勝機率和閒家獲勝機率乘積的平方根。假設沒有平局，莊家獲勝的機率為 0.506788499，閒家獲勝的機率為 0.493211501。因此，標準差為 4.329727904。然後，您必須對二項分佈進行半點修正，並在標準常態分佈表中尋找 Z 統計量（此步驟留給讀者）。最終答案是，莊家贏 52 次或以上的機率是 0.0009。您的問題也考慮了莊家贏 23 次或更少（也相差 29 次或更多）的可能性，這個機率是 0.0004。所以最終答案是，相差 29 次或更多的機率是 0.0013，即 769 分之一。

感謝您的讚美。您的計算少了五倍，因為莊家可以任意一張牌面朝上。換句話說，莊家的手牌順序確實重要，因為第一張牌是明牌。正確的總組合數推導應為combin(52,5)*47*combin(46,4) = 19,933,230,517,200。

在這種狀況拿到full house葫蘆有兩種⽅式: (1)抽到三條、或者(2)對⼦再抽到⼀張同點數牌、還有另⼀個對⼦。我將假設你會捨棄三張各⾃不同的單牌。 ⾸先, 讓我們先從(1)的排列組合總數著⼿算起。那裡只剩下3種花⾊的3種點數牌(記住你已經捨棄3張各⾃不同的單牌)、4種花⾊的9種點數牌。其排列組合總數為 3*combin(3,3)+9*combin(4,3) = 3*1 + 9*4 = 39. 接下來, 讓我們算⼀下(2)狀況的排列組合總數。從既有對⼦再加上⼀張相同點數牌、還剩下有2張牌。剩餘的3張牌當中形成3種點數的對⼦有combin(3,2)種⽅式, 剩餘的4張牌當中再形成⼀個對⼦有combin(4,2)種⽅式。所以在(2)的排列組合總數為 2*(3*combin(3,2)+9*combin(4,2)) =2*(3*3 + 9*6) = 126. 在(1)與(2)狀況之下形成full house葫蘆的⽅式總和為39+126=165. 第⼆輪抽牌要從3張牌選取的⽅式有combin(47,3)=16,215種。拿到full house葫蘆的機率為抽牌⽅式除以排列組合總數, 為165/16,215 = 0.0101758, 或者差不多是98分之⼀。 欲知combin()函數的更多資訊, 請參閱我的 撲克中的機率 專⾴。

沒有, 無論賭桌上有多少位玩家、拿到給定牌⾯的機率都是相同的。沒⾒到的牌就是⼀張沒出現的牌, 不管那張牌是被另⼀位玩家拿到或者還藏在牌組當中。

我將假設每位玩家從不同的牌堆中拿到一手牌，以此給出一個近似的答案。這應該不會對賠率造成太大影響。根據我在撲克機率部分的研究，任何一位玩家拿到同花順的機率是36/2,598,960。我們把這個機率稱為p。兩位玩家拿到同花順的機率是(6,2)* ^p² *(1-p) ^² =0.0000000028779。換句話說，這種情況發生的機率是347,477,740比1。

我將先計算出 K 高牌，然後簡單展示其他兩個牌型的公式。機率是 K 高牌的數量除以牌型總數。小於 K 的牌型數為 11。 K 高牌必須有兩個不同的等級。從 11 張牌中排列 2 張的方法數為combin (11,2) = 55。但是，其中一個組合是 K-Q-J，可以組成順子，因此減去該組合，剩下 54 個不能組成順子的組合。接下來，每個等級有四種花色，即 4 ³ =64 種可能的花色組合。但是，這 64 種花色中有四種可以組成同花，因此剩下 64-4=60 種花色組合。因此，K 高牌的組合總數為 54*60=3240。從 52 張牌中排列 3 張，總共有 combin(52,3)=22,100。因此，組成 K 高牌的機率為 3,240/22,100 = 0.1466063。組成 A 高牌的機率為：(combin(12,2)-2)*(4 ³ -4)/combin(52,3)=0.1737557。請注意，由於 a-2-3 和 qka 順子的存在，所以這裡用 -2 而不是 -1。

皇后高牌的機率為：(combin(10,2)-1)*(4 ³ -4)/combin(52,3)=0.119457。

皇家同花順的機率等於可能的皇家牌數（每種花色各一張）除以從52張牌中選出5張的方式數，即combin (52,5)=2,598,960。因此，答案是4/2,598,960 = 0.00000153908，即649,740分之一。

連續同花大順的機率等於（花色數）*（方向數）/（52 張牌中 5 張牌的排列組合總數）= 4 * 2 /排列(52,5) = 8 / 311,875,200 = 8 / 可能的同花大順數量（即 4 張（每種花牌）分別乘以一張花牌的方向數5 5 5 5張牌的組合方式數，即排列(52,5) = 311,875,200。因此，答案為 4/311,875,200 = 0.00000002565，即 38,984,400 分之一。

首先，讓我來回答一個未被提及的問題：某個特定數字在一張隨機鈔票上出現 n 次的機率。一張鈔票上有 8 位數字，因此特定數字出現 n 次的機率為 combin(8,n)*0.1 ⁿ *0.9 ^8-n /10 ⁸ 。下表顯示了特定數字出現 0 到 8 次的機率。

欲了解更多信息，請參閱我的“騙子撲克”頁面。

假設您抽五張牌，而所有牌中剛好有兩張 J，那麼機率就是 combin(4,2)*combin(48,3)/combin(52,5) = 6*17296/2598960 = 3.99%。

不算三條和兩對，以下是湊成三對的方式和組合數。

沒有通配符：combin(13,3)*10*6 ³ *4 =2471040
百搭牌用來對抗一對 A：combin(12,2)*10*6 ² *4 ² = 380,160
外卡用作單張 A 牌：combin(12,3)*6 ³ = 47,520

總組合數為 2,898,720。這還不到三條組合數（747,0676）的一半。

你說得對，平均每649,740手牌中會出現一次皇家同花順，而1,299,480手牌中皇家同花順的預期出現次數是2次。然而，這只是平均值。每一手牌過去，你距離拿到皇家同花順都只有一步之遙。每局獨立試驗都具有這種無記憶特性，所以皇家同花順永遠不會過期。

在 1,299,480 手牌中出現零張王室牌的機率為 13.53%。

形成9高牌的排列方式有兩種，一種是您提到的，另一種是2-3-4-6-7-8-9。無法形成同花的花色組合數為4 ⁷ -4*(combin(7,5)*3^2+6*3+1) = 15,552。因此，9高牌的機率為2*15,552/combin(53,7) = 31,104/154,143,080，即9,911分之一。如果您只玩五次，獲得兩手9高牌的機率為9,826,685分之一。我認為這種情況只是巧合，而不是隨機數產生器或程式編碼的故障。

假設 d 為牌組數。第一輪平手的機率為 (4*d-1)/(52*d-1)= 0.073955。第二輪平手的機率為 12*4*d/(52*d-2)*(4*d-1)/(52*d-3)+(4*d-2)/(52*d-2)*(4*d-3)/(52*d-3) = 0.073974。設 p ₁為第一輪平手的機率，p ₂為第二輪平手的機率。則玩家回報為 p ₁ *(2*p ₂ +(1-p ₂ )/2*(1-2))= -0.023301。乘以 -1，則莊家優勢為 2.33%。我希望我沒有太快地回顧這一點。

您正確計算了玩家組合數： combin (52,5)=2,598,960。由此推算，莊家可能的組合數為 combin(47,5)=1,533,939 種。然後，五張莊家牌中任一張都可以正面朝上。因此，2,598,960*1,533,959*5=19,933,230,517,200 種組合數。

謝謝你的讚美。我同意七張牌梭哈的點數計算起來很難。所以我用電腦來算。我的程式會計算所有可能的組合，並為每個組合評分。牌九撲克中的百搭順子數量是 11*(4 ⁴ -4)+10*3*(4 ⁴ -4)=10332。加上 10200 個自然順子，總數是 20532。

你的方法近似效果不錯。然而，按照這個邏輯，拋硬幣時，每3個人中至少有一個人拋出正面的機率是3*50%=150%。假設事件獨立，n次試驗中至少有一次成功的機率（每次成功的機率為p）是1-(1-p) ⁿ 。在拋硬幣的例子中，這個機率是1-0.5 ³ =0.875。在四人玩加勒比梭哈撲克的情況下，至少有一次出現同花大順的機率是1-(1-4/2598960) ⁴ = 0.00000615629。然而，由於所有牌都來自同一副牌，因此事件並非獨立事件。確定確切的正確答案需要非常複雜的數學計算，而近似值應該非常接近正確答案。

自然同花順共有 32 種可能（4 個等級乘以 8 種可能的 7 張牌組合）。從 53 張牌中抽出 7 張牌的可能組合共有 combin(53,7) = 154143080 種。因此答案是 32/154143080，即 4816971 分之 1。

第一手牌拿到同花順的機率是 4*12/combin(52,3) = 48/22100 =~ 0.0022。下一手牌拿到完全相同的機率是 1/22100。所以答案是 (48/22100)*(1/22100) = 48/488410000，即 1/10,175,208。這比中 6/49 彩票的機率高出 1.37 倍，後者的機率是 1/13983816。

(8 ² /combin(416,2))* (7 ² /combin(414,2)) = 0.00000043，或 2308093 中的 1

讓我們定義同花的機率，也就是發牌時拿到一張牌，或是抽到四張同花。為了簡單起見，我們假設玩家抽到一對或順子，並且抽到四張同花。發牌時拿到同花（不含順子/皇家同花）的機率是 4*(combin(13,5)-10)/combin(52,5) = 5108/2598960 = 0.0019654。拿到四張同花的機率是 4*3*combin(13,4)*13/combin(52,5) = 111540/2598960 = 0.0429172。抽到同花的機率是 9/47。因此，拿到四張同花並完成的總體機率為 0.0429172*(9/47) = 0.0082182。因此，拿到同花的總機率為 0.0019654 + 0.0082182 = 0.0101836。5 位玩家中剛好有 2 位拿到^同花的機率為 combin(5,2) * 0.0101836 ² *(1-0.0101836) * 0.0160901090109019010901901901901901909019009090969。

從 52 張牌中抽出 7 張，總共有 combin(52,7)=133,784,560 種排列方式。包含四張同點牌的 7 張牌組合的數量為 13*combin(48,3) = 224,848。13 表示四張同點牌的點數，combin(48,3) 表示從剩下的 48 張牌中抽出 3 張的排列方式數。因此，機率為 224,848/133,784,560 = 0.0017，即 595 分之一。

52 階乘中的 1，或80,658,175,170,943,900,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

首先，從 10 名玩家中選出 2 名玩家，共有 10*9/2=45 種方法。其中兩位特定玩家拿到四張 A 的機率為 1/combin(52,4)=1/270725。因此，任兩位玩家拿到一對 A 的機率為 45/270725=0.0001662。

單一玩家獲得 7 張同花牌的機率為 4*combin(13,7)/combin(52,7) = 1/19491。7 個玩家中至少有一名玩家獲得 7 張同花牌的機率約為 2785 分之一。

為簡單起見，我們假設每手牌都是從一副新牌中發出的。四條的機率是 13*48/combin(52,5) = 624/2598960。40 張四條中恰好出現 3 張的機率是 combin(40,3)*p ³ *(1-p) ³⁷ = 1/7378135，其中 p = 3 *(1-p) 37 = 1/7378135，其中 p = 624/25960。所以這更像是七百萬分之一的機率。

不客氣，謝謝你的讚美。從六副牌的牌盒中連續發出三張百搭牌（加上三張百搭牌）的機率是 1/combin(315,3) = 1/5,159,805。另一個解是 (3/315)*(2/314)*(1/313)。

答案是 (4 ¹³ /COMBIN(52,13))* (3 ¹³ /COMBIN(39,13))* (2 ¹³ /COMBIN(26,13)) = 1/61,204,166,001。

皇家牌有四種可能的花色。有五張牌可能缺失。第五張牌可能是其他47張牌中的一張。因此，皇家牌共有4*5*47=940種組合方式。組合方式共有(52,5) = 2,598,960種。因此，機率為940/2,598,960 = 2,765分之一。

解決這個問題的簡單方法是，第一堆牌中有三張 A 的機率是 (4/52)*(3/51)*(2/50) = 1/5525。然而，每堆牌中有三張 A 的機率相同，所以我們乘以 6，得到 6/5525 = 0.001086

(12/52)*(11/51)*(10/50)*(9/49)*(8/48) = 0.00030474，或約 3282 分之 1。

任何一手牌中出現四條的機率為 13*48/combin(52,5) = 0.0002401。假設你在兩小時內可以玩 120 手牌。那麼恰好出現兩張四條的機率為：combin(120,2) × 0.0002401 ⁽² × (1-0.0002401) ¹¹⁸ = 0.000400095 = 1/2499.41。

不算同花順和皇家同花順，順子的機率是1.02%，同花的機率是1.04%。所以同花的機率略高一些。

我很少這麼說，但我試了幾個小時，但這個問題的數學計算實在太難了。所以我向我的朋友、數學教授加博爾·梅傑西（Gabor Megyesi）求助。這是他解決任何「乾旱」問題的公式。

1. 設 p 為贏得任何一手牌的機率。
2. 設 d 為乾旱持續時間。
3. 設 n 為玩過的牌數。
4. 設 k=dp 和 x=np。
5. 若 k=1，則令 a=-1，否則求 a 使得 k=-ln(-a)/(1+a)。 （a 為負數，如果 k>1，則 -1 < a < 0，如果 k < 1，則 a < -1，且 a 需要高精度計算。）[嚮導註：此類解法可在 Excel 中使用工具選單下的「目標求解」功能輕鬆找到。 ]
6. 若 k=1 則令 A=2，否則令 A=(1+a)/(1+ak)。
7. n 年間不發生長度為 d 的乾旱的機率約為 Ae ^{a x} 。

在這個特定問題中，p=1/40391，d=200000，n=1000000，k=4.9516，x=24.758，a=-0.0073337，A=1.03007。因此，不發生乾旱的機率為 1.03007*e ^{-0.0073337*24.758} = 0.859042。因此，至少發生一次乾旱的機率為 1-0.859042 = 0.140958。

這是 Gabor Megyesi 的完整5 頁解決方案（PDF）。感謝 Gábor 的幫助。

我隨機模擬了32095組一百萬手牌，其中至少出現一次乾旱的號碼是4558，機率為14.20%。

下表顯示了完全隨機的一手牌中出現 0 到 4 張 A 的機率。

對 1 到 4 張 A 牌進行求和，我們發現至少出現一張 A 牌的機率為 0.341158。出現兩張或兩張以上 A 牌的機率為 0.041684。

假設至少有一張 A，那麼再出現一張 A 的機率可以用貝葉斯定理重新表述為機率（至少有一張 A 的情況下再出現兩張 A）= 機率（兩張或更多張 A）/機率（至少有一張 A）= 0.041684/ 0.341158 = 0.122185。

對於那些不熟悉貝葉斯定理的人來說，它指出給定 B 時 A 的機率等於 A 和 B 的機率除以 B 的機率，或 Pr(A 給定 B) = Pr(A 和 B)/Pr(B)。

下表顯示了從牌堆中移除黑桃 A 後，其他 A 的每個數量的組合和機率。

這表示至少再出現一張 A 的機率為 0.221369。

為了好玩，我們用貝葉斯定理來解答同樣的問題。假設隨機發牌，直到找到一手包含黑桃 A 的牌。假設牌中包含黑桃 A，那麼至少再出現一張 A 的機率可以改寫為機率（假設手中有黑桃 A，則至少有兩張 A）。根據貝葉斯定理，這等於機率（手中有黑桃 A 且至少還有一張 A）/機率（手中有黑桃 A）。我們可以將分子分解為機率（包括黑桃 A 在內的 2 張 A）+機率（包括黑桃 A 在內的 3 張 A）+機率（4 張 A）。使用第一個表格，這等於 0.039930×(2/4) + 0.001736×(3/4) + 0.000018 = 0.021285。出現黑桃A的機率為5/52 = 0.096154。因此，給定黑桃A，至少出現兩張A的機率為0.021285/0.096154 = 0.221369。

因此，如果至少有一張 A，則出現兩張或兩張以上 A 的機率為 12.22%，如果是黑桃 A，則出現兩張或兩張以上 A 的機率為 22.14%。

讓我們來看另一個更簡單的情況。假設女性 A說：「我有兩個孩子，至少有一個是男孩。」女性 B 說：「我有兩個孩子，大一點的叫約翰。」我們可以假設沒有一個叫約翰的女孩，也沒有女性會給多個孩子取同一個名字。使用條件機率，女性A的兩個孩子都是男孩的機率是pr（兩個男孩）/pr（至少一個男孩）= pr（兩個男孩）/（1-pr（兩個女孩））= (1/4)/(1-(1/4)) = (1/4)/(3/4) = 1/3。然而，女性B的較小孩子是男孩或兩個孩子都是男孩的機率是？ ，因為說大孩子叫約翰並不能告訴我們任何關於較小孩子的資訊。

再舉一個例子，假設你去捷飛絡 (Jiffy Lube)，他們以相同的價格提供兩個方案。方案 A 是他們會檢查四個零件，只更換第一個發現的瑕疵零件。方案 B 是他們只檢查一個問題，如果發現問題就會修復。你不想選擇方案 A 嗎？你的車進來時預計有相同數量的壞零件，但在方案 A 下發現問題的機率更大，因此在方案 A 下你離開時預計會有少量缺陷零件。同樣，測試任何 A 都可能出現唯一的 A，而測試黑桃 A 時不會檢查其他三種花色，因此它們更有可能是 A。

首先，我將同花順分為兩種：四張連續同花色的牌和五張連續同花色的牌。五張同花順的數量等於花色數 * 跨度數（A 到 10 為最低牌）= 4*10 = 40。對於四張同花順，有 11 種不同的跨度（A 到 J 為最低牌）。對於 A234 和 JQKA 同花順，第五張牌可以是 47 張牌中的一張（52 張牌減去已經取出的 4 張牌和可以組成五張同花順的第五張牌，這四張牌已經計算在內）。因此，跨距為 A234 或 JQKA 的同花順共有 4*2*47=376 張。其他九張牌，第五張牌有 46 種可能的牌（52 張牌減去已經取出的 4 張牌和可以組成五張同花順的兩張牌）。因此，跨距為 2345 到 TJQK 的同花順數量為 4*9*46=1656。因此，4張同花順的總數為40+376+1656=2072。

只有45張牌才能保證順子。例如，即使你發了A、2、3、4、6、7、8、9、JQ和K，總共44張牌，你還是無法湊成順子。

你這麼奉承我，我怎麼能拒絕？首先，從 52 張牌中隨機抽出 7 張牌，不考慮順序，總共有(52,7) = 133,784,560 種組合方式。七張牌的順子有 8 種可能的組合範圍（最小的牌可能是 A 到 8）。如果牌型有 7 種不同的大小，那麼花色就有⁴⁷ = 16384 種排列方式。注意，這包括所有相同花色的牌，這樣就能組成同花順。所以機率是 8*16,384/133,784,560 = 1/1020.6952。

零張黑桃的機率為 (39/52)*(38/51)*(37/50)*(36/49) = 0.303818。因此，至少出現一張黑桃的機率為 1-0.303818 = 0.696182。

由機率101可知，Pr(A或B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A和B)。因此，Pr(A和B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A或B)。假設A拿到一張A，B拿到一張2。 Pr(A) = Pr(至少一張A) = 1-Pr(沒有A) = 1-combin(48,4)/ combin (52,4) = 1-0.7187 = 0.2813。沒有2的機率顯然相同。依照同樣的邏輯，pr(A或B) = Pr(至少一張A或2) = 1-Pr(沒有A也沒有2) = 1-combin(44,4)/combin(52,4) = 1 - 0.501435 = 0.498565。因此，至少得到一張 A 和一張 2 的機率是 0.2813 + 0.2813 - 0.498565 = 0.063962。

任一手拿到它的機率是 6/52。連續 27 手拿到它的機率是 (6/52) ²⁷ = 20,989,713,842,161,800,000,000,000 分之一。

每對牌有六種組合方式，可以從四種花色中抽出兩種。單張牌有 44 張。因此，成功組合數為 6*6*44 = 1584。總共有 2,598,960 種組合方式，機率為 0.0609%。

只有一個方法可以拿到那一手牌。所以機率是 1/combin(52,5)，也就是 2,598,960 分之一。

我對這個概念非常熟悉。五張牌共有134,459種不同的牌型。我之所以知道這一點，是因為我的第一個視訊撲克程式分析了所有2,598,960種可能的牌型，並花了好幾天才跑完一張賠率表。然而，如果只運行這134,459種牌型中的每一種，並根據該類別中所有牌型的數量進行加權，就可以將運行時間縮短95%。有時，如果遊戲的花色是特定的，例如我最近分析的“黑傑克紅利撲克” ，我就不得不重新啟用我的舊程序，用慢節奏的方式運行。

請注意，我顛倒了葫蘆和同花的順序。

兩種花色可以分成 4 和 1 或 3 和 2。我們先來看看 4/1 分割的情況。對於有 4 張牌的牌，有 4 種花色可供選擇；對於有 1 張牌的牌，剩下 3 種花色可供選擇。從 13 種花色中選擇 4 種花色，共有 combin(13,4)=715 種方法。選擇一個花色則有 13 種方法。因此，兩種花色 4/1 分割的方式有 4×3×715×13=111,540 種。依照類似的邏輯，3/2 分割的方式有 4×3×combin(13,3)×combin(13,2)=267,696 種。因此，總機率為 (111540+267696)/combin(52,5) = 14.59%。

謝謝。 （4 ⁵ -4）/combin（52,5）= 1020/2598960 = 2,548 中的 1。

估算獲勝機率的簡單方法是假設每張牌都有12/13的機率不符合指定的點數。為了贏得這場賭注，受害者必須成功下注52次。 52次獲勝的機率是(12/13) ^/52=1.56% 。合理的賠率是63.2比1。在20比1的賠率下，文斯的優勢是67.3%（哎喲！）。

根據數學能力比我強的GM的說法，實際機率是1.6232727%。造成這種差異的原因是，每次選擇的結果都與先前的選擇呈正相關。

在翻牌圈未出現任何牌型的情況下，任三個點數不出現在翻牌圈的機率為： combin (40,3)/combin(52,3) = 9880/22100 = 44.71%。所以這名玩家的優勢是 10.59%。

我比較喜歡用組合函數來回答機率問題。這樣一來，從一副牌中的48張非K牌中，選出四張非K牌的方法有(48,4) = 194,580種。從剩下的51張牌中，選出任四張牌的方法有(51,4) = 249,900種。因此，接下來四張牌中沒有K的機率是194,580/249,900 = 77.86%。因此，至少選出一種K的機率是100% - 77.86% = 22.14%。

有些人說，組合函數可能超出了問這類簡單機率問題的人的理解範圍。我並不反對這種說法，但創建這個網站的主要原因是想教我的讀者一些數學知識。組合函數在機率論中非常有用，可以節省大量時間。然而，即使沒有它，我們手頭上的問題也很容易回答。

第二張牌不是K的機率是48/51。這是因為牌堆裡還剩下48張非K牌，而牌堆裡總共剩下51張牌。如果第二張牌不是K，那麼第三張牌也不是K的機率就是47/50（47張非K牌除以剩餘的50張牌）。如此類推，其他四張牌都不是K的機率是(48/51)×(47/50)×(46/49)×(45/48) = 77.86%。其他四張牌都不是K的機率，換句話說，至少有一張K的機率是100% - 77.86% = 22.14%。

令人驚訝的是，儘管52張牌中有30張是偶數，但奇數點數的機率卻高達50.03%。下表顯示了奇數/偶數點數的機率。

第一張牌是黑桃，後兩張不是的機率是 (13/52)×(39/51)×(38/50) = 14.53%。你應該將這個機率乘以 3，因為黑桃可能是三張牌中的任何一張。所以答案是 3×14.53% = 43.59%。對於喜歡使用組合函數的人來說，答案是 13×combin(39,2)/ combin (52,3) = 9,633/22,100 = 43.59%。

對於兩個數字，答案是 1/3；對於 n 個數字，答案是 1/(n+1)。我把答案發佈到我的數學題頁面，也就是第 194 題和第 195 題。

希望你滿意，我花了一整天做第二部分，但答案還是錯的。為了避免讓讀者失去同樣的樂趣，我不會在這裡直接說出答案。我把這個問題分成了兩個問題，並在mathproblems.info上發布了答案和解答，分別是問題 196 和 197。

必須有一種花色包含兩張牌，還有三種花色，每張牌包含一張牌。出現兩次的花色有四種可能的花色。對於出現兩次的花色，有 (13,2)=78 種組合方式可以從 13 種花色中選擇 2 種。對於其他三種花色，每種花色都有 13 種可能的花色。因此，總組合數為 4 × 78 × 13 × 13 × 13 = 685,464。從 52 張牌中選出 5 張牌，有 (52,5)=2,598,960 種組合方式。因此，機率為 685,464/2,598,960 = 26.37%。

根據隨機模擬，機率是48.64%。所以，我會接受這個賭注。

是的。首先給每張卡片分配一個從 0 到 51 的值。將卡片命名為 c1 到 c5，並依 c1 為最低、c5 為最高的順序排列。然後呼叫以下函數：

int GetIndex（int c1，int c2，int c3，int c4，int c5）
{
傳回組合(c5,5) + 組合(c4,4)+ 組合(c3,3) + 組合(c2,2) + 組合(c1,1);
}

其中，combin 傳回傳統值，但如果第一個值小於第二個值，則傳回 0，如下所示：

int 組合（int x，int y）
{
如果（y>x）
返回 0；
別的
{
int i,n;
n=1；
對於（i = x-y + 1；i <= x；i ++）
n*=i;
對於（i=2；i<=y；i++）
n/=i；
返回 n；
}
}

如果您這樣做是為了存取數組元素，請按如下方式載入數組。

計數=0；
對於（c5 = 4；c5 < 52；c5 ++）
{
對於（c4 = 3；c4 < c5；c4++）
{
對於（c3 = 2；c3 < c4；c3++）
{
對於（c2 = 1；c2 < c3；c2++）
{
對於（c1 = 0；c1 < c2；c1 ++）
{
index_array[count]=無論你想要什麼；
計數++；
}
}
}
}
}

這是一個二項分佈問題。其一般公式是：如果某個事件的機率為 p，且每個結果都是獨立的，那麼事件在 t 次試驗中恰好發生 w 次的機率為(t,w)×p ^w ×(1-p) ^tw 。

在這種情況下，有兩種方法可以組成同花順。你需要一張方塊8和另一張方塊6或J。從牌堆剩下的47張牌中抽出2張，一共有combin(47,2)=1,081種方法。因此，任何一手牌中抽出同花順的機率是2/1,081 = 0.0018501。10張牌中抽出3張的機率是combin(10,3)×0.0018501 ³ ×(1-0.0018501) ⁷ = 0.0001007501017531,07531,0750175,0075,0175017531753。

有 4 張紅色 3 和 104 張其他牌。只有一個方法可以湊齊所有 4 張紅色 3。玩家有 (104,50)= 1.46691 × 10 ²⁸種組合方式可以湊齊另外 104 張牌中的 50 張。總組合數為 (108,54)= 2.48578 × 10 ³⁰ 。組合數 (104,50)/組合數 (108,54) = 0.059012。

如果您不喜歡處理如此大的數字，這裡有一個替代解決方案。將四個紅色三號依 1 到 4 進行編號。第一個紅色三號在玩家牌堆中的機率是 54/108。現在移除前三個。玩家擁有第二個紅色三號的機率是 53/107，因為玩家剩餘 53 張牌，而牌堆裡還有 107 張。同樣，玩家擁有第三個紅色三號的機率是 52/106，第四個紅色三號的機率是 51/105。 (54/108) × (53/107) × (52/106) × (51/105) = 0.059012。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

有意思。我之前寫過，我估計內華達州每23.7年就會出現一次這種手。我想那次就是其中一次。

我的機率是48.6279%。如果你想下注的話，「是」的合理賠率是1.0564比1。

也有傳言稱，2011 年在沃里克郡舉行的一場惠斯特牌局中也發生過類似的事情。為了方便其他讀者，我想問的是，將一副 52 張牌的撲克牌分成四組，每組 13 張，每組完全由某一花色的 13 張牌組成的機率是多少。

將 52 張牌分成四組，每組 13 張，一共有 combin(52,13)combin(39,13)*combin(26,13) = 53,644,737,765,488,800,000,000,000,000 種可能的方式。 4! = 24 是獲勝組合數，因為您可以按照自己希望的方式將四種花色分配給四位玩家。因此，獲勝幾率等於 2,235,197,406,895,370,000,000,000,000 分之一。為了更直觀地理解這個數字，假設地球上 75 億人以每秒一次的速度打橋牌，那麼在 50 億年後太陽爆炸之前，有人發出所謂完美牌型的機率是 16,558 分之一。

然而，有些人將「完美」牌型定義為一位玩家拿到任意花色的全部13張牌。我指出，這種情況發生的機率是39,688,347,497場遊戲中的1分之一。這種情況在地球上的某個地方可能偶爾會發生。

首先，讓我們確定可能發生這種情況的玩家牌和公共牌的組合數。顯然有四種花色。那麼，從給定花色的 13 張牌中選出 4 張，一共有 combin(13,4)=715 種組合方式。

其次，一種可能發生這種情況的方式是，玩家在牌桌上有三張相同花色的牌，另外兩張在另外39張牌中。牌桌上有三張相同花色的牌，組合方式有(9,3)=84種。然後，有組合方式有(39,2)=741種，可以從另外三種花色的39張牌中再選出兩張。因此，牌桌上有三張相同花色的牌，組合方式有84*741=62,244種。

第三，另一種可能發生這種情況的方式是，玩家在公共牌上有四張相同花色的牌，另一張在另外 39 張牌中。公共牌上有選擇花色剩餘 9 張牌中的 4 張，共有 combin(9,4)=126 種方法。然後，有 39 種方法可以從其他三種花色的另外 39 張牌中再選一張。然而，並非所有這些方法都會導致兩位玩家都使用兩張底牌。要滿足該條件，公共牌上必須有該花色的最小牌。在 8 張該花色的牌中，出現這種情況的機率是 4/8 = 1/2。因此，公共牌上有四張該花色的牌共有 126*39*(1/2)=2,457 種方法。

第四，最後一種情況是，玩家手中持有五張相同花色的牌。共有 combin(9,5)=126 種組合方式，即牌桌上有五張相同花色的牌。然而，並非所有組合方式都會導致兩位玩家都使用兩張底牌。要滿足該條件，牌桌上必須有該花色的最小兩張牌。在目前牌桌上有九張相同花色的牌中，出現這種情況的機率為 combin(5,2)/combin(9,2) = 10/36 = 5/18。因此，共有 126*(5/18)=35 種組合方式，即牌桌上有四張相同花色的牌。

因此，發生這種情況的組合數為 715*(62,244 + 2,457 + 35) = 46,286,240。

從 52 張牌中挑選 4 張作為玩家底牌，然後從牌面上剩餘的 48 張牌中挑選 5 張作為玩家底牌，總組合數為 combin(52,4)*combin(48,5) = 463,563,500,400。

因此，機率為 46,286,240 / 463,563,500,400 = 0.000399395 = 2,504 分之一。

這個問題是在我的Wizard of Vegas論壇中提出並討論的。

[劇透=解]

每次發牌給一位玩家。第一位玩家拿到每種等級的牌的機率為 4^3/combin(12,3) = 64/220。

假設第一個玩家拿到順子，那麼牌堆裡每個點數的牌就剩下三張了。第二位玩家拿到每個點數一張的機率是 3^3/combin(9,3) = 27/84。

假設前兩位玩家拿到順子，那麼牌堆裡每個點數的牌就剩下兩張了。那麼第三位玩家拿到每種點數各一張的機率是 2^3/combin(6,3) = 8/20。

假設前三名玩家拿到了順子，那麼牌堆裡就剩下一張牌，每張牌都剩下一張。這三張牌顯然組成了順子。

因此，四名玩家全部拿到順子的機率為 (64/220)*(27/84)*(8/20)*1 = 216/5775 = 72/1925 = 3.74%。

這個問題是在我在 Wizard of Vegas 的論壇上提出並討論的，從這篇文章開始。

讓我們從 100% 開始，減去導致少於四種花色的機率。

例如，48張牌中沒有紅桃的機率是多少？有36張牌不是紅桃。從36張牌中選出15張的方法數為combin(36,15) = 5,567,902,560。由全部48張牌中選出15張的方法數為1,093,260,079,344。因此，15張牌中沒有紅桃的機率為5,567,902,560 / 1,093,260,079,344 = 0.005093。

接下來，讓我們將其乘以四，得到缺少任何花色（而不僅僅是紅心）的機率：4 × combin(36,15)/combin(48,15) = 0.02037174。

然而，這會導致某些情況重複計算。假設拿到 15 張黑牌。這樣會忽略紅桃和方塊。這種情況就會重複計算。因此，我們需要進行修正。從四種花色中選擇兩種花色，共有 combin(4,2) = 6 種方法。所有 15 張牌都是任兩種特定花色的機率為 combin(24,15)/combin(48,15) = 1307504/1,093,260,079,344 = 0.00000120。如上所述，從四種花色中選擇兩種花色有六種方法，因此所有牌都是兩種花色的方法數為 6 × combin(24,15)/combin(48,15) = 0.00000718。

減去重複計算的結果，我們得到出現兩套或三套花色的機率為 0.02037174 - 0.00000718 = 0.02036456。

請注意，我們不需要擔心一種花色的代表，因為不可能從 12 張牌中選擇 15 張。

最後一步，從 100% 減去 2 或 3 種花色的機率，得到全部四種花色出現的機率：1.00000000 - 0.02037174 = 0.97963544。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

如果存在的話，這就是馬可夫鏈類型的問題。

下表顯示了從 1 到 52 的所有牌張中，0 到 4 張牌的預期等級數。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

要獲勝，對手的三次預測都必須全部錯誤。第一次預測有 10/13 的機率是錯誤的。第二次預測有 9/12 的機率是錯誤的，因為我們可以排除第一個猜測的排名的可能性。第三次預測有 8/11 的機率是錯誤的，因為我們可以排除前兩個猜測的排名的可能性。

這三件事必須同時發生，你才能獲勝。因此，你獲勝的機率是 (10/13) * (9/12) * (8/11) = 720/1716 = 41.96%。

在均等賭注下，從您的角度來看，這場賭注的莊家優勢是 16.08%（哎喲！）。

這個問題摘自歐文‧艾謝 (Owen E'Shea) 所著的《命題賭注之書》(第 7 期)。

兩次擲出 12 點的平均等待時間確實是 36 次，包括擲出 12 點本身。然而，這並不意味著它們恰好每 36 次擲出一次。擲不出 12 點的機率是 (35/36)。 27 次擲不出 12 點的機率是 (35/36)^27。因此，擲出至少一次 12 點的機率是 1-(35/36)^27 = 53.26%。

下表顯示了在20至36次投擲中至少擲出12的機率。注意，需要擲出25次才能在均等賠率下獲得優勢。

讓我們一次討論一種類型的手。

• 五張相同的牌：一副牌中有 52 張不同的牌，有 52 種組合。
• 四張同點牌：四張同點牌有 52 種可能，單張同點牌有 51 種可能。因此，四條共有 52*51 = 2,652 種可能的組合。
• 三張相同的牌，兩張不同的牌：三張相同的牌有 52 種可能，一對有 51 種可能。因此，葫蘆有 52*51 = 2,652 種可能的組合。
• 三張相同的牌和兩張不同的單張牌：三張相同的牌有 52 種可能的組合，而兩張單張牌的組合有 (51,2)=1,275 種可能的組合。因此，三條有 52*1,275 = 66,300 種可能的組合。
• 兩對相同的牌和一張單張牌：兩張不同的牌組成對子，一共有 (52,2)=1,326 種組合。單張牌還有 50 種組合。因此，兩對牌共有 1,326*50=66,300 種可能的組合。
• 一對相同的牌和三張單張牌：該對牌共有 52 張可能的牌。那麼，從剩下的 51 張單張牌中選出 3 張，組合方式共有 (51,3)=20,825 種。因此，一對牌的組合數為 52*20,825 = 1,082,900。
• 五個單例：從 52 張牌中選出 5 張牌共有 combin(52,5)=2,598,960 種方法。

所有這些組合的總和是 3,819,816。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。