擲雙骰 - 一般問題
我是當地賭場的場內主管，對一個奇怪的玩法感到疑惑。一位玩家同時押注過關和不過關。我的問題是，如果他押注過關的一方10美元，我會給他的平均投注額10美元。既然他現在押注雙方，而且可能沒有冒任何資金風險，那麼平均投注額應該是多少？我知道，如果這位玩家在輪盤賭中同時押注紅色和黑色，他應該會得到紅色和黑色兩方投注的平均投注額，因為5.26%的莊家優勢從長遠來看會使他兩次投注都輸。
只要你告訴我一個玩家的下注方向相反或接近相反，我就能告訴你他正在耍什麼花招。他很可能想利用促銷或贈品。如果我經營賭場，我只會對那些冒險的錢給予獎勵。有人可能會說他冒了10美元的風險，因為12點會導致pass贏，而don't pass會平手。然而，這種情況只會在36次pass線下注中發生一次。如果我經營賭場，我會給他平均0美元的下注。
我在 www.gamehouse.com 玩擲骰子遊戲，在角鬥士上投注 20 美元，並在擲出 11 點時贏了 60 美元。如果角鬥士的賭注分散在 2、3、11、12 之間，我不應該贏得 75 美元（5 美元 X 15 美元）嗎？
不，你得到的賠付是正確的。 11 的賠率是 15:1，相當於你下注的 5 美元。但是你在 2、3 和 12 的賠率上輸掉了剩下的 15 美元。所以 75 美元 - 15 美元 = 60 美元。他們不會從你的賭注中扣除這 15 美元，而是從你的獎金中扣除。
您在大西洋城玩擲骰子和西班牙21點時會選擇哪些賭場？您提到玩擲骰子時最好全押賠率，您是指用相同賠率的賭注來匹配您的賭注，還是用最高允許的賠率賭注來下注（例如：在10倍最大賠率的賭桌上，下注1美元，同時下注1美元的免費賠率賭注，或者下注1美元，同時下注10美元的免費賠率賭注）。我對此有點困惑。我很喜歡您的網站，真心覺得它是賭博諮詢網站中的「璞玉」。就我個人而言，當我用辛苦賺來的錢下注時，我很想知道數學上的賠率是多少！先感謝您回答我的問題！
謝謝你的讚美。整個大西洋城的西班牙21點規則都一樣。我只知道兩家酒店有這個遊戲，Tropicana和Claridge，但現在應該還有其他酒店了。如果我沒記錯的話，最好的擲骰子遊戲是在金沙酒店，那裡提供5倍賠率。我說的「選擇最高賠率」是指在賠率上投注允許的最高金額。例如，在10美元的線下投注後下注50美元。記住，選擇賠率並不會贏更多錢，你只是在長期內下注更多而不會輸更多而已。
賭場玩擲骰子遊戲的平均賠率是多少？
我不知道任何遊戲的持幣率。為了方便其他讀者理解，持幣率指的是賭場利潤與牌桌上購買籌碼的比率。由於相同的籌碼會在玩家和荷官之間來回流通，時間長短不定，數學家無法計算持幣率或持幣率。
在閱讀關於賭場計算贈金公式的文獻時，我唯一看到的用作範例的公式是二十一點的公式。假設賭場會根據你的點差來決定你的平均賭注，那麼賭場通常會使用什麼公式來決定預期擲骰子遊戲的損失，進而決定可用的贈金呢？
我向我的朋友 Larry Drummond 尋求幫助，他是一位擲骰子發牌員，也是Next Shooter的前網站管理員。 Larry 說話有點粗魯，但他確實是一位很棒的擲骰子資訊來源，提供了很多很難找到的資訊。他說：「擲骰子遊戲的獎金在各個賭場和不同的賭台管理員那裡各不相同。玩家應該了解賭台管理員。賭台管理員負責設定玩家的平均投注額，並記錄玩家在牌桌上的時間。如果玩家的投注模式保持一致，賭台管理員就更容易追蹤獎金的發放。現在，我問你…如果一個玩家在建立點數後，在過線區以上57 美元還是 59 美元？
Larry 在另一封電子郵件中補充道：「除了我已經發給你的信息之外……Pass Line 和 Come 投注的賠率通常不包含在 comps 的平均值中。Don’t Side 的下注賠率也是如此……從長遠來看，這應該是一筆大錢的。但是如果一個聰明的賭客想要一個在 7……（22 上花LAYS，讓這個傻瓜回到賭場……你可以重新措辭，讓它更適合你的網站……此外……如果一個好的賭客發現玩家在“為男孩下注”，他會把 COMP 調到最大。
你會對擲骰子遊戲的破產風險進行分析嗎？到目前為止我在網路上找到的唯一一份分析似乎有缺陷。
我沒打算這麼做。擲骰子遊戲的投注模式太多了，單一的分析只能適用於一小部分玩家。
巫師先生，您的網站太棒了。我想您可能是網路上唯一誠實的專家。我的問題是：我知道擲骰子遊戲的賠率是怎麼計算的，但我總覺得，一旦玩家下注多次，無論是通過下注，還是在過線區下注，並連續下注來注，賠率就會急劇轉向賭場。只需一個“7”，就能一次性抵消所有賭注。為了贏錢，你必須擊中每個數字，擊中一個「7」後，剩下的數字就會全部抵消。
謝謝你的讚美。我仍然認為，賭場優勢並不取決於你下注的來點數。沒錯，接連獲得一個來點，然後因為一個7而輸光所有錢確實令人沮喪。然而，也有一些時候，投擲者花了很長時間才擲出一個7，而你卻一路贏了很多來點數。
您對聖地牙哥地區許多賭場玩的紙牌擲骰子遊戲有何看法？
在加州，單憑骰子不能決定遊戲結果。為了規避這項法律，許多賭場會混合使用紙牌和骰子，或只用紙牌。我的擲骰子部分現在會介紹一些這種做法。
我意識到，像二十一點和擲骰子這樣的遊戲，每小時的決策數量很大程度上取決於許多因素，例如牌桌上其他玩家的數量、手牌洗牌和機器洗牌、擲骰子和發牌的速度。不過，我還是想問，您能否粗略地估算一下，在一張幾乎滿員的擲骰子牌桌，以及一張同時進行手牌洗牌和機器洗牌的二十一點牌桌上，玩家每小時預計會做出多少次決策。這能幫助我估算每小時的預期損失，並將其與我獲得的補償進行比較。
下表顯示了二十一點、擲骰子和輪盤賭每小時的發牌/擲骰次數。表格來源：Jim Kilby 著《賭場營運管理》 。
二十一點每小時手數
| 玩家 | 每小時手數 |
| 1 | 209 |
| 2 | 139 |
| 3 | 105 |
| 4 | 84 |
| 5 | 70 |
| 6 | 60 |
| 7 | 52 |
每小時擲骰子次數
| 玩家 | 每小時卷數 |
| 1 | 249 |
| 3 | 216 |
| 5 | 144 |
| 7 | 135 |
| 9 | 123 |
| 11 | 102 |
在擲骰子遊戲中，平均而言，總擲骰結果的 29.6% 是 come out 擲骰。
輪盤每小時旋轉次數
| 玩家 | 每小時旋轉次數 |
| 1 | 112 |
| 2 | 76 |
| 3 | 60 |
| 4 | 55 |
| 5 | 四十八 |
| 6 | 三十五 |
在家玩真錢擲骰子有什麼好的規則/設定嗎？我知道為了合法，我不能接受“莊家分成”，但假設買入費是強制的（就像在家玩撲克一樣），有沒有一個好的系統可以私下玩真錢遊戲，而不用成為“莊家”，自己掏腰包支付贏家的錢？
你可以舉辦一場比賽。每位玩家都用相同數量的不可兌現籌碼買入。指定一個人擔任莊家，像普通擲骰子一樣支付賭注。在達到某個基準（例如 x 7 出局）後，籌碼最多的人將贏得彩池。既然你和其他人的機會都一樣，我覺得你可以請別人給你一些使用你房子的小費。
我只是想知道你是否知道拉斯維加斯大多數賭場的骰子賭桌是從哪裡買的。這些公司是否把賭桌賣給了大眾？
我知道有兩家賭桌供應商，分別是TCS John Huxley和Midwest Game Supply。他們可能確實會向公眾出售。 Midwest Game Supply的擲骰子賭桌售價為3950美元。如果二手的就夠了， Gambler's General Store也有賣二手賭桌。
拉斯維加斯的哪些賭場有一張稱為“桶”的小桌子，用於玩擲骰子遊戲？
根據NextShooter.com上的 Bone Man 的說法，您可以在這裡找到這些浴缸的地點和時間：
Wild, Wild West 的 One Tub（可能只在晚上、工作日和週末開放）。
埃利斯島的 One Tub（可能只在晚上、工作日和週末開放）。
位於西賭場區 Circus Circus 的 One Tub 幾乎從不營業，除非是繁忙的假期。
2010 年更新：我聽說埃利斯島用一張完整的擲骰子桌取代了浴缸。
擲骰子遊戲中，有多少百分比的擲骰結果為 come out 擲骰結果？
總擲骰次數的預期值為 1671/196 = 8.5255。有趣的是，一個點數的預期擲骰次數剛好是 6。也就是說，擲出點數的機率為 2.5255。因此，擲出點數的機率為 2.5255/8.5255 = 29.6%。
我想知道擲一對骰子時，哪個點數會比較大──奇數還是偶數？
答案是50/50。無論擲多少個骰子，結果都是50/50，而不僅僅是兩個。
有點離題了，但我一直覺得奇偶組合下注是替代擲骰子遊戲中令人畏懼的6/8大注的好方法。為了讓賭場更有優勢，以下是我建議的賠率表和分析。
奇數投注
| 事件 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 3 或 11 | 1.5 | 4 | 0.111111 | 0.166667 |
| 5或9 | 1 | 8 | 0.222222 | 0.222222 |
| 7 | 0.5 | 6 | 0.166667 | 0.083333 |
| 甚至 | -1 | 18 | 0.500000 | -0.500000 |
| 全部的 | 三十六 | 1.000000 | -0.027778 |
均等投注
| 事件 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 2 或 12 | 3 | 2 | 0.055556 | 0.166667 |
| 4 或 10 | 1 | 6 | 0.166667 | 0.166667 |
| 6或8 | 0.5 | 10 | 0.277778 | 0.138889 |
| 奇怪的 | -1 | 18 | 0.500000 | -0.500000 |
| 全部的 | 三十六 | 1.000000 | -0.027778 |
請注意，我對該出版物主張所有權利。
這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。
玩擲骰子遊戲時給擲骰子者小費的禮儀是什麼？
絕對不要指望給擲骰子的人小費！我甚至會強烈建議你不要這麼做，以免它變成一種“習慣”，然後那些寄生蟲會開始在賭桌周圍徘徊，只在輪到自己下注時下注，並向其他玩家勒索小費。賭場裡這種給小費的文化已經完全失控了。
這個問題是在我的 「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。
假設我在一張賠率為100倍的賭桌上玩擲骰子。我正在考慮是押6或8的位置注，還是押看跌。我需要押多少賠率才能比押位置注更有價值？
好問題。押注6或8的莊家優勢是1.52%。賠率5倍時，押注6或8的莊家優勢與押注1.52%的莊家優勢完全相同。賠率6倍時，莊家優勢降至1.30%。所以，需要6倍賠率才能獲得更好的價值。
擲骰子遊戲中的鐵十字策略是什麼？您對此有何看法？
鐵十字是一種投注場地和位置的方式，在擲出 7 以外的任何數字時都會獲勝。場地已經涵蓋了 2、3、4、9、10、11 和 12。玩家將在此基礎上加上 5、6 和 8 的位置投注，以覆蓋除 7 之外的其餘數字。下表顯示了場地投注 5 美元、5 美元位置投注 5 美元、6 美元位置投注 6 和 8 的數學計算情況。
鐵十字勳章
| 骰子總數 | 贏 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 10 | 1 | 0.027778 | 0.277778 |
| 3 | 5 | 2 | 0.055556 | 0.277778 |
| 4 | 5 | 3 | 0.083333 | 0.416667 |
| 5 | 2 | 4 | 0.111111 | 0.222222 |
| 6 | 2 | 5 | 0.138889 | 0.277778 |
| 7 | -22 | 6 | 0.166667 | -3.666667 |
| 8 | 2 | 5 | 0.138889 | 0.277778 |
| 9 | 5 | 4 | 0.111111 | 0.555556 |
| 10 | 5 | 3 | 0.083333 | 0.416667 |
| 11 | 5 | 2 | 0.055556 | 0.277778 |
| 12 | 15 | 1 | 0.027778 | 0.416667 |
| 三十六 | 1.000000 | -0.250000 |
表格右下角顯示預期損失為0.25美元。總投注金額為22美元。因此，總賭場優勢為0.25美元/22美元=1/88=1.14%。
說到這兒，你可能會疑惑，為什麼這個賭場優勢會低於每次投注的賭場優勢。答案是，投注6和8的賭場優勢為1.52%，投注5的賭場優勢為4.00%，這些優勢都是基於每次投注的。如果以每次投注為單位來定義位置投注的賭場優勢，那麼投注6和8的賭場優勢為0.46%，投注5的賭場優勢為1.11%。
我們可以對所有投注進行加權平均，得出 1.14% 的賭場優勢，如下所示：
（$5*2.78% + $5*1.11% + $12*0.46%）/22 = $0.25/$22 = 1.14%。
警惕那些在12點的場地投注中只支付2比1賠率的賭場。堅持要求獲得完整的3比1賠率。短賠率會使該投注的賭場優勢從2.78%翻倍至5.56%。
在我看來，與大多數遊戲相比，1.14% 的賠率已經相當不錯了。然而，在擲骰子遊戲中，你的賠率可以更高。例如，如果賠率為 3-4-5 倍，請下注 Pass 和 Come，再加上全賠率，你的賭場優勢可以降至 0.37%。反過來，下注 Don't Pass 和 Don't Come，再加上全賠率，賭場優勢就會降到 0.27%。假設投注過線，賠率為 3-4-5 倍，那麼擲骰子遊戲的標準差是多少？假設投注不過線，賠率為 3-4-5 倍，那麼標準差是多少？
相對於透過投注，完整的 3-4-5x 賠率的標準差為 4.915632。
相對於不通過投注，投注全額 3-4-5 倍賠率的標準差為 4.912807。
您如何理解擲骰子遊戲中，如何將 5 美元的賭注累積到 1,200 美元？先在 4 上押 5 美元。如果贏了，就將贏來的錢累積到 5 上。如果贏了，就將贏來的錢累積到 6 上。繼續押注 8、9，然後 10。您可以假設玩家在 4 和 8 上獲勝後會加註 1 美元，以保持賭注為整數。
押注數字 4 的勝率是 3/(3+6) = 3/9 = 1/3。押注數字 4 的賠率為 9 比 5，因此如果押注成功，您將獲得總計 9 美元 + 5 美元 = 14 美元的獎金。
接下來，玩家在數字 5 上加 1 美元，總計 15 美元。數字 5 的勝率是 4/(4+6) = 4/10 = 2/5。數字 5 的位置投注賠率為 7 比 5，因此如果該投注勝出，您將獲得 21 美元 + 15 美元 = 36 美元的獎金。至少贏得這個數字的機率是 (1/3) * (2/5) = 13.33%。
接下來，玩家在數字 6 上押 36 美元。押 6 的勝率是 5/(5+6) = 5/11。押 6 的賠率是 7 比 6，所以如果押對了，你將獲得 42 美元 + 36 美元 = 78 美元。至少押到這個數字的機率是 (1/3)*(2/5)*(5/11) = 2/33 = 6.06%
接下來，玩家在數字 8 上押注 78 美元。 8 的勝率是 5/(5+6) = 5/11。如果在數字 8 上押注位置，賠率是 7 比 6，所以如果該位置下注成功，您將獲得 91 美元 + 78 美元 = 169 美元。至少贏得這個位置的機率是 (1/3)*(2/5)*(5/11)^2 = 10/363 = 2.75%
接下來，玩家從口袋裡拿出 1 美元，加到 169 美元中，並在數字 9 上押 170 美元。數字 9 獲勝的機率是 4/(4+6) = 2/5。如果押 9 的位置，賠率為 7 比 5，所以如果押對了，你將獲得 238 美元 + 170 美元 = 408 美元。至少贏得這個數字的機率是 (1/3)*(2/5)^2*(5/11)^2 = 4/363 = 1.10%
最後，我們準備押注數字 10。由於買入投注的莊家優勢較低，我們假設玩家押注 10。您沒有明確說明玩家是必須預付佣金還是僅在贏錢時支付。我們先來看看預付佣金的情況。根據該規則，投注金額應該可以被 21 美元整除。假設玩家押注 10 380 美元，預付 19 美元 5% 的佣金，並從他的 408 美元中扣除 9 美元。
點數為4的中獎機率為3/(3+6) = 3/9 = 1/3。如果下注380美元，將贏得760美元的獎金，總計760美元+380美元=1,140美元。至少贏得這個數字的機率為(1/3)^2*(2/5)^2*(5/11)^2 = 4/1089 = 0.37% = 1/272.25。
回想一下，玩家在遊戲中下注 5 美元 + 1 美元 + 1 美元，但贏到 9 美元後卻賺了 9 美元，淨贏 1,142 美元。如果我們將賭場優勢定義為最初 5 美元賭注的預期損失，那麼賭場優勢就是 1.06 美元/5.00 美元 = 21.16%。
接下來，讓我們來看看如果只對10的贏錢支付佣金會怎麼樣。在這種情況下，10的買入投注應該可以被20美元整除。假設玩家贏了8美元，並下注了剩下的400美元。
贏得 400 美元的賭注將支付 780 美元的獎金，總計 780 美元 + 400 美元 = 1,180 美元。
回想一下，玩家在遊戲中下注 5 美元 + 1 美元 + 1 美元，但在 9 點獲勝後獲得了 8 美元，淨贏 1,181 美元。如果我們將賭場優勢定義為最初 5 美元賭注的預期損失，那麼賭場優勢就是 0.92 美元/5.00 美元 = 18.44%。
所以，除非玩家在9點獲勝後，或是在遊戲過程中的其他地方掏出更多錢，否則我們不可能達到1200美元的目標。我無法認可這個策略的價值，但它看起來確實很有趣也很刺激。
在「贏錢」擲骰子遊戲中，玩家可以下注「下注」或「輸錢位置」投注。 「輸錢位置」投注的賠率如下：
- 4 和 10：5 到 11
- 5 和 9：5 到 8
- 6 和 8：4 到 5
下注的賠率是公平的，但如果玩家獲勝，則必須根據獲勝金額支付 5% 的佣金。
我的問題是哪種類型的賭注提供更好的賠率？
下表顯示了不同投注點的賭場優勢。您可以看到，除6和8之外，所有點數的賭場優勢在下注時都較低。
輸錢下注的賭場優勢
| 數位 | 失敗的地方 | 萊伊 |
|---|---|---|
| 4 或 10 | 3.03% | 1.67% |
| 5或9 | 2.50% | 2.00% |
| 6或8 | 1.82% | 2.27% |
我聽說拉斯維加斯的米高梅酒店現在只在贏錢後才收取買入投注的佣金。這會如何改變賭場優勢？
我相信，只有在4和10的號碼牌上贏錢後，他們就已經收取了佣金。所以，這部分沒有影響。以下是4和10的三種投注方式的賭場優勢：
- 位置投注（賠率為 9 比 5）— 6.67%
- 買入投注（始終支付佣金）－4.76%
- 買入投注（僅對贏錢支付佣金）－1.76%
對於 5 和 9 來說，這是個好消息，將賭場優勢從位置投注的 4.00% 降低到 2.00%。
- 位置投注（賠率為 7 比 5）— 4.00%
- 買入投注（始終支付佣金）－4.76%
- 買入投注（僅對贏錢支付佣金）－2.00%
對於 6 和 8，這並不重要，因為位置投注的賭場優勢仍然較低。
- 位置投注（賠率為 7 比 6）— 1.52%
- 買入投注（始終支付佣金）－4.76%
- 買入投注（僅對贏錢支付佣金）－2.27%
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
如果我押注 4 和 10 買入 20 美元，押注 5、6、8 和 9 買入 30 美元，我的賭場優勢是多少？請假設 4 和 10 的佣金僅以贏錢支付。請計算一下我是否：
- 只保留一輪投注
- 等到重大事件發生後再下注（擲出 4 到 10 之間的任何點數）
- 保留賭注，直到所有賭注都解決為止。
第一張表格展示了我僅投一輪的分析結果。回報列的計算方式為：贏率*機率/（總投注額）。右下角單元格顯示賭場優勢為 0.69%。
單卷分析
| 卷 | 賭注 | 淨贏 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 0 | 0 | 1 | 0.027778 | 0.000000 |
| 3 | 0 | 0 | 2 | 0.055556 | 0.000000 |
| 4 | 20 | 三十九 | 3 | 0.083333 | 0.020313 |
| 5 | 三十 | 四十二 | 4 | 0.111111 | 0.029167 |
| 6 | 三十 | 三十五 | 5 | 0.138889 | 0.030382 |
| 7 | 0 | -160 | 6 | 0.166667 | -0.166667 |
| 8 | 三十 | 三十五 | 5 | 0.138889 | 0.030382 |
| 9 | 三十 | 四十二 | 4 | 0.111111 | 0.029167 |
| 10 | 20 | 三十九 | 3 | 0.083333 | 0.020313 |
| 11 | 0 | 0 | 2 | 0.055556 | 0.000000 |
| 12 | 0 | 0 | 1 | 0.027778 | 0.000000 |
| 160 | 三十六 | 1.000000 | -0.006944 |
第二張表格展示了我對「等到投注結果出來再下注」的分析。換句話說，在總點數為2、3、11或12後再次擲骰。回報列的計算方式為：贏率*機率/（總投注額）。右下角單元格顯示賭場優勢為0.83%。
一次重要的滾動分析
| 卷 | 賭注 | 淨贏 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 20 | 三十九 | 3 | 0.100000 | 0.024375 |
| 5 | 三十 | 四十二 | 4 | 0.133333 | 0.035000 |
| 6 | 三十 | 三十五 | 5 | 0.166667 | 0.036458 |
| 7 | 0 | -160 | 6 | 0.200000 | -0.200000 |
| 8 | 三十 | 三十五 | 5 | 0.166667 | 0.036458 |
| 9 | 三十 | 四十二 | 4 | 0.133333 | 0.035000 |
| 10 | 20 | 三十九 | 3 | 0.100000 | 0.024375 |
| 全部的 | 160 | 三十 | 1.000000 | -0.008333 |
第三個表格展示了我對所有結果都成立後再下注的分析。回報欄的計算方式為：贏率*機率/（總投注額）。右下角單元格顯示賭場優勢為 2.44%。
滾動直至所有投注結果分析
| 贏 | 4,10 捲起 | 5,9 捲起 | 6,8 捲起 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| -160 | 1 | 0 | 0 | 2,677,114,440 | 0.200000 | -0.200000 |
| -101 | 0 | 1 | 0 | 594,914,320 | 0.044444 | -0.028056 |
| -88 | 0 | 0 | 1 | 823,727,520 | 0.061538 | -0.033846 |
| -95 | 2 | 0 | 0 | 1,070,845,776 | 0.080000 | -0.047500 |
| -42 | 0 | 2 | 0 | 74,364,290 | 0.005556 | -0.001458 |
| -16 | 0 | 0 | 2 | 149,768,640 | 0.011189 | -0.001119 |
| -30 | 1 | 1 | 0 | 267,711,444 | 0.020000 | -0.003750 |
| -29 | 1 | 0 | 1 | 421,812,160 | 0.031512 | -0.005712 |
| -36 | 0 | 1 | 1 | 562,464,448 | 0.042020 | -0.009455 |
| -23 | 1 | 1 | 1 | 800,192,448 | 0.059780 | -0.008593 |
| 三十六 | 2 | 1 | 0 | 751,055,104 | 0.056109 | 0.012625 |
| 三十 | 2 | 0 | 1 | 93,017,540 | 0.006949 | 0.001303 |
| 23 | 1 | 2 | 0 | 127,949,276 | 0.009559 | 0.001374 |
| 43 | 0 | 2 | 1 | 136,097,920 | 0.010168 | 0.002733 |
| 49 | 1 | 0 | 2 | 276,379,776 | 0.020648 | 0.006323 |
| 二十九 | 0 | 1 | 2 | 259,917,112 | 0.019418 | 0.003519 |
| 四十二 | 2 | 1 | 1 | 383,915,862 | 0.028681 | 0.007529 |
| 95 | 1 | 2 | 1 | 280,463,688 | 0.020953 | 0.012441 |
| 108 | 1 | 1 | 2 | 430,248,448 | 0.032143 | 0.021696 |
| 101 | 2 | 2 | 0 | 626,008,276 | 0.046767 | 0.029522 |
| 102 | 2 | 0 | 2 | 48,772,745 | 0.003644 | 0.002323 |
| 88 | 0 | 2 | 2 | 101,392,694 | 0.007575 | 0.004166 |
| 114 | 2 | 2 | 1 | 243,130,194 | 0.018164 | 0.012942 |
| 167 | 2 | 1 | 2 | 263,665,646 | 0.019698 | 0.020560 |
| 160 | 1 | 2 | 2 | 409,147,802 | 0.030566 | 0.030566 |
| 173 | 2 | 2 | 2 | 679,339,612 | 0.050752 | 0.054875 |
| 232 | 0 | 0 | 0 | 832,156,379 | 0.062168 | 0.090144 |
| 全部的 | 13,385,573,560 | 1.000000 | -0.024848 |
[劇透=Wiz，你上面表格裡的機率是從哪裡來的？ ] 我用了積分。關鍵在於，無論兩次投擲之間間隔一個單位的時間，或是時間長度服從平均值為1的指數分佈，機率都是一樣的。
回想一下你的統計課上，事件 x 不發生的機率是 exp(-x)。然後很容易得出它至少發生一次的機率是 1-exp(-x)。下表顯示了在任意時間長度 x 內，給定點數被擲出的機率。然後，對 x 的所有時間段（從 0 到無限大）進行積分。我更喜歡使用www.integral-calculator.com/上的積分計算器。最後，記得要用類似事件來加權這些機率。例如，擲出 4 的機率與擲出 10 的機率相同。
- 4 或 10 -- (1-exp(-3x/36))*exp(-3x/36)*exp(-4x/36)^2*exp(-5x/36)^2*exp(-x/6)/6
- 5 或 9 -- (1-exp(-x/9))*exp(-5x/36)^2*exp(-3x/36)^2*exp(-x/9)exp(-x/6)/6
- 6 或 8 -- (1-exp(-5x/36))*exp(-4x/36)^2*exp(-3x/36)^2*exp(-5x/36)exp(-x/6)/6
- 4 和 10 -- (1-exp(-3x/36))^2*exp(-4x/36)^2*exp(-5x/36)^2*exp(-x/6)/6
- 5 和 9 -- (1-exp(-4x/36))^2*exp(-5x/36)^2*exp(-3x/36)^2*exp(-x/6)/6
- 6 和 8 -- (1-exp(-5x/36))^2*exp(-4x/36)^2*exp(-3x/36)^2*exp(-x/6)/6
- 4 和 5 -- (1-exp(-3x/36))*(1-exp(-4x/36))*exp(-5x/36)^2*exp(-4x/36)*exp(-3x/36)*exp(-x/6)/6
- 4 和 6 -- (1-exp(-3x/36))*(1-exp(-5x/36))*exp(-4x/36)^2*exp(-5x/36)*exp(-3x/36)*exp(-x/6)/6
- 5 和 6 -- (1-exp(-4x/36))*(1-exp(-5x/36))*exp(-3x/36)^2*exp(-5x/36)*exp(-4x/36)*exp(-x/6)/6
- 4,5,6 -- (1-exp(-3x/36))^1*exp(-3x/36)^1*exp(-4x/36)^1*(1-exp(-4x/36))^1*(1-exp(-5x/36))^1*/36))^1*(^*1/5x/36))^1*/expexp-5x
- 4,5,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*(1-exp(-4x/36))*exp(-5x/36)^2*exp(-4x/36)*exp(-x/6)/6
- 4,6,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*(1-exp(-5x/36))*exp(-4x/36)^2*exp(-5x/36)*exp(-x/6)/6
- 4,5,9 -- (1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-3x/36))*exp(-5x/36)^2*exp(-3x/36)*exp(-x/6)/6
- 5,6,9 -- (1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))*exp(-3x/36)^2*exp(-5x/36)*exp(-x/6)/6
- 4,6,8 -- (1-exp(-3x/36))^1*exp(-3x/36)*exp(-4x/36)^2*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-x/6)/6
- 5,6,8 -- (1-exp(-3x/36))^0*exp(-3x/36)^2*exp(-4x/36)^1*(1-exp(-4x/36))*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-5x/36))*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-5x/36)^0*6-x
- 4,5,6,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*exp(-4x/36)^1*(1-exp(-4x/36))^1*(1-exp(-5x/36))^1*5(-5x/36)^1*exp(-x/66)
- 4,5,6,9 -- (1-exp(-3x/36))^1*exp(-3x/36)^1*exp(-4x/36)^0*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^1*4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^1*4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^1*]expexp-5x
- 4,5,6,8 -- (1-exp(-3x/36))^1*exp(-3x/36)^1*exp(-4x/36)^1*(1-exp(-4x/36))^1*(1-exp(-5x/36))^2*exp-5x/3(2)1(5x/5)
- 4,5,9,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*exp(-3x/36)^0*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^0*exp(-5x/36)^2*exp(-x/6)/6
- 4,6,8,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*exp(-3x/36)^0*(exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-5x/36)^0*exp(-x/6)/6
- 5,6,8,9 -- (1-exp(-3x/36))^0*exp(-3x/36)^2*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-5x/36)^0*exp(-x/6)/6(-x/6)/6(
- 4,5,6,9,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*exp(-3x/36)^0*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^1*exp(-5x/36)^1*exp(-x/36))^1*exp(-5x/36)^1*exp(-x/66)
- 4,5,6,8,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*(1-exp(-4x/36))^1*exp(-4x/36)*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-x/6)/6
- 4,5,6,8,9 -- (1-exp(-3x/36))^1*exp(-3x/36)^1*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-x/6)/6
- 4,5,6,8,9,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-x/6)/6
您對擲骰子遊戲中的 Doey Don't 策略有何看法？
對於那些不熟悉的人來說，Doey Don't 的工作原理如下：
- 在首次擲骰中，下注通過和不過注，金額相同。
- 如果擲出一個點，就押注該點的賠率。
其理念是，押注「不過關」是為了對沖開局擲出7點的賠率。押注“不過關”的玩家可能會選擇“不過關”和“不過關”，這樣玩家就可以享受賠率投注的樂趣，而不會受到莊家優勢的影響。
缺陷在於，如果在開局擲骰中擲出 12，棄牌方將輸，棄牌方將平局，最終損失 1 個單位。棄牌擲出 12 的機率為 1/36，因此該策略的預期損失為 1/36 = 1 個單位的 2.78%。而如果只押棄牌，且賠率為 7/495，預期損失為 1 個單位的 1.41%。
然而，Doey Don't 的波動性較小。假設賠率 3-4-5 倍，以下是兩種賠率的標準差：
- 通過+總賠率：4.915632
- Doey Don't：4.085789
底線是我不推薦 Doey Don't，因為預期損失要多出 1.36% 的單位。
諷刺的是，你測試線上擲骰子遊戲的公平性，而你自己的擲骰子遊戲卻有如此嚴重的缺陷。我輸了72個7出局的過關賭注，才拿到一分！
為了驗證你的理論，我玩了50次過線投注，結果要嘛是贏得1分，要嘛是7出局。這花了248次投擲。
在下表中，我記錄了我的結果。
擲骰子數據
| 觀點 | 勝利 | 損失 | 全部的 | 機率獲勝 | 預期勝利 |
|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 3 | 5 | 8 | 33.33% | 2.666667 |
| 5 | 3 | 3 | 6 | 40.00% | 2.400000 |
| 6 | 5 | 5 | 10 | 45.45% | 4.545455 |
| 8 | 6 | 4 | 10 | 45.45% | 4.545455 |
| 9 | 4 | 3 | 7 | 40.00% | 2.800000 |
| 10 | 1 | 8 | 9 | 33.33% | 3.000000 |
| 全部的 | 22 | 二十八 | 50 | 19.957576 |
右側單元格顯示，根據擲出的點數，預期獲勝次數為 19.96。我實際獲勝次數為 22。獲勝次數恰好為 22 次的機率為 7.66%。少於 22 次的機率為 64.73%。獲勝次數為 23 次或以上的機率為 27.61%。因此，這項測試顯示我的結果接近預期。
有關所有詳細信息，請參閱此視頻對您的挑戰的回應。
您對擲骰子遊戲中的「行軍士兵」策略有何看法？
為了方便其他讀者，我先解釋一下「行軍士兵」是什麼。簡而言之，這是一種將5美元累積成1200美元的投注方法。有時你需要投入更多資金，以使獎金能夠被1美元整除。以下是它在你必須預付4美元和10美元佣金的賭桌上的具體操作方法：
- 在 4 上投注 5 美元。
- 如果步驟 1 獲勝，則從您的籌碼中拿出 14 美元的獎金*加上 1 美元，並在 5 上押下 15 美元的注。
- 如果第 2 步獲勝，則在 6 上投注 36 美元。
- 如果第 3 步獲勝，則在 8 上投注 78 美元。
- 如果第 4 步獲勝，則在 9 上押注 169 美元贏利加上您的籌碼中的 1 美元。
- 如果第5步獲勝，您將獲得408美元。從您的籌碼中拿出12美元，用於支付400美元買入10美元的佣金。
- 如果第 6 步獲勝，則拿下 1200 美元。
- 如果任何賭注輸了，那你就完了。
*：「贏」包括原始賭注金額。
您也可以按相反的順序執行此操作，從 10 開始，以 4 結束。
如果您一路堅持到最後，扣除初始賭注中的 5 美元和後續賭注中的 14 美元後，您將獲得 1,181 美元的淨收益。
成功的機率是 0.3673%，即 272 分之一。
如果你在一張牌桌上玩，4 和 10 的佣金只在贏錢後支付，那麼在 9 贏錢後，我不會從你的口袋裡掏出 12 美元，而是會往裡面放 8 美元。這樣，你 10 的佣金就等於 400 美元，贏了就能拿回 1,180 美元。這個更慷慨的規則意味著預期淨贏額為 1,188 美元。
如果我們將賭場優勢定義為預期損失與預期賭注之比，則如果必須提前支付佣金，則賭場優勢為 19.76%，如果僅在贏錢後支付佣金，則賭場優勢為 17.03%。
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。