二十一點 - 在線二十一點
你真的相信像二十一點這樣的線上賭博網站嗎？幾週前我玩過一個。那次遊戲，荷官拿到了14張二十一點，而我拿到了3張。我只是有點懷疑，也對你的評論感興趣。謝謝。
在前 20 張黑傑克中，你剛好拿到 x 張的機率是 (1/2) 20 * combin (20, x)。讓我來幫你省點事。以下是前 20 張剛好拿到 0 到 3 張黑傑克的機率：
Pr(0) = 0.0000010
Pr(1) = 0.0000191
Pr(2) = 0.0001812
Pr(3) = 0.0010872
Pr(3 或更少) = 0.0012884
所以，3 或更少的機率是 776 分之一。這不足以構成作弊指控。這很可能只是運氣不好。
就我個人而言，我希望看到結果低於預期四個標準差（機率為31,574分之一）才會產生懷疑。如果結果低於預期五個標準差（機率為350萬分之一），我才會正式提出指控。
根據你的二十一點軟體牌桌， Unified Gaming和Boss Media系統都為玩家帶來了些許優勢。如果是這樣，那麼使用這些軟體系統的賭場如何獲利呢？是因為使用基本策略和/或良好資金管理技巧的玩家相對較少嗎？
今天就在Island Casino註冊一個帳戶吧。在他們的Unified Gaming遊戲中，一副牌和六副牌的遊戲的洗牌點是多少？我猜是每局洗一副牌。六副牌呢？
兩款遊戲每局後都會洗牌。感謝Gambler's Palace（另一家Unified Gaming賭場）的Darla提供的協助。
我很好奇......我知道線上賭場在每一手牌後都會洗牌，因此無法算牌，我發現確實有一些優勢。
A) 您不需要給小費，
B) 您可以與莊家一對一對抗（沒有其他玩家），
C) 你每小時可以玩比在真實賭場更多的牌（同樣，由於缺少其他玩家），並且
D) 您可以毫無懷疑地享受較大的投注差價。
這些因素是否在某種程度上使線上遊戲更具優勢？這些系統上有人測試過嗎？到目前為止，我的表現還不錯——事實上，我在線上玩的比在任何實體賭場都好。您覺得怎麼樣？歡迎您提供任何意見。謝謝！
您已經指出了在線二十一點相對於實體賭場的一些優勢。除非您算牌，否則他們會在每手牌後洗牌，這對您有利。在實體賭場，他們通常會玩到牌堆達到特定點數，結束該手牌，然後再洗牌。這對玩家不利，因為在洗牌點時，小牌較多的牌堆會比大牌較多的牌堆發更多的牌。換句話說，在實體賭場，玩家從長遠來看看到的小牌會比大牌略多，這對玩家不利。然而，更重要的是，您不必覺得在線上賭場有義務給小費。更快的玩法、一對一的玩法以及更大的點差對普通玩家來說既無益也無害。我認為您在線上賭場取得更好的成績是運氣、更好的規則以及無需給小費的綜合作用。
玩免費線上二十一點的最佳網站是哪個？
Bovada 提供豐富多彩的娛樂遊戲，包括二十一點。無需帳戶，一鍵即可暢玩。只需前往即時遊戲賭場，然後點擊“練習”即可開始玩二十一點。
你對自己在線上軟體上的數據有信心嗎？具體來說，你真的能憑藉良好的基本策略，比莊家多贏0.53%嗎？我從未見過有人只用基本策略，就能給出玩家在任何規則下的優勢數據。
我對這個數字很有信心。它是用我的一個隨機模擬程式測算出來的。我猜測軟體開發者犯了一個錯誤，他們只打算像之前的版本一樣，在10和A上設定後期投降。我聯繫了一家使用Unified Gaming的線上賭場，他們甚至不知道新軟體允許在A上提前投降。我提供賭場優勢數據是為了方便我的訪客。 （更新於2005年1月22日：Unified Gaming幾年前修改了遊戲規則，取消了玩家優勢）
有哪些最佳線上賭場可以玩二十一點？請考慮以下標準：最佳玩家賠率、最少的牌組、公平性？
假設你最重視玩家賠率，建議你選擇Unified Gaming賭場。如果你遵循正確的策略，你將享受0.57%的玩家優勢。
我剛開始玩線上賭博，很難相信這些線上賭場真的公平。雖然我只嘗試了三個不同的賭場，但它們似乎很難被打敗。我在拉斯維加斯玩二十一點的時候贏錢還算穩定，但這些線上玩家確實很難對付。所以問題是──線上二十一點遊戲真的公平嗎？謝謝！順便說一句，我真的很喜歡您的網站。我學到了很多東西，期待下次去拉斯維加斯時能運用您的知識。再次感謝！
謝謝你的讚美。我認為絕大多數線上賭場都是公平的。但我不敢說所有賭場都是公平的。看看我的賭場黑名單，看看我遇到過問題的賭場。假設你玩的不只是那些糟糕的賭場，那麼我認為你輸錢只是運氣不好造成的。
這些規則非常公平嗎：
- 發牌者從一副無限大的牌中發牌
- 莊家在軟 17 點停牌
- 不允許投降
- 玩家可以拆分任意一對
- 玩家可以重新分牌，除了 A 牌
- 只有當玩家有兩張牌時才提供保險
- 玩家可以在任何一手牌上加倍下注
- 玩家可以在分牌後加倍
這是4 Aces賭場的規則。我每次拿到12或13，好像都會爆牌，然後荷官就用40多個21點把我徹底淘汰，其中還包括連續四次拿到兩次21點。他們允許逾期投降，儘管他們的規則另有規定。什麼是無限牌組？如果這些規則合理，您能指出一個好的策略嗎？
根據我的二十一點莊家優勢計算器，假設使用八副牌，這些規則下的莊家優勢為0.45%。無限副牌與八副牌相比，對莊家有利的因素為0.10%。因此，總莊家優勢為0.45% + 0.10% = 0.55%。
你似乎也暗示這家賭場的營運不公平。除非你提供一些確鑿的數據，否則我無法對此發表評論。
我想知道賭博軟體的最佳二十一點策略卡。 Wizards of Odds 頁面上沒有這款軟體的表格，但這裡的 Java 遊戲越來越受歡迎。
您可以正確使用Cryptologic 基本策略在 GamblingSoftware.com 賭場進行遊戲。
玩線上二十一點時，怎麼知道牌組什麼時候洗過？我玩的是Microgaming的賭場（你們說他們只用一副牌），但我不知道每次玩的時候是不是都是一副新牌，而且洗牌的時候也沒有任何跡象表明。
大多數線上賭場每手牌後都會洗牌。有些賭場會隨機洗牌，但不會向玩家顯示特定時間。我注意到Microgaming的賭場大約每四手牌就會閃現「洗牌」字樣。
然而，如果你在這些播報之間追蹤牌局，你有時會看到同一張牌兩次，這在單副牌遊戲中是不可能的，前提是你相信他們洗牌的時間。據我所知，他們實際上每手牌後都會洗牌，但出於我不明白的原因，他們只是偶爾顯示洗牌。如果我沒記錯的話，Cryptologic 賭場確實會顯示他們何時洗八副牌。
問你兩個問題：
1) 關於基本的二十一點策略，不同的線上賭場集團有不同的策略。具體來說，有兩個不同的賭場集團都使用單副牌：Microgaming 和 Unifed Gaming。我不明白為什麼你會把 11 對 10 列為 Microgaming 的熱門，而把 Unified Gaming 列為雙倍。既然他們都使用單副牌，看來這裡應該使用相同的策略。我加倍這個策略時輸的次數比贏的次數多。
2) 在輪盤賭中，我認為在紅色和第三列上投注相同金額，或者在黑色和第三列上投注相同金額，你的賠率會更高。我認為第三列有8個紅色，只有4個黑色。相反，第一列的黑色更多。這樣投注能降低賭場優勢嗎？
如果您在 Microgaming 賭場以 11 點加倍，而莊家拿到黑傑克，您將輸掉全部賭注。在 Unified Gaming，如果明牌是 10，則會立即翻開黑傑克，因此在這種情況下加倍不會有輸給黑傑克的風險。
假設避免了可怕的五個數字組合，輪盤賭中的所有投注組合都會產生相同的預期回報。您說得對，第三列有八個紅色和四個黑色。贏得3個單位的機率是8/38，贏得1個單位的機率是4/38，不賠不贏的機率是10/38，輸掉2個單位的機率是16/38。每單位投注的預期總回報為 (1/2)*(3*8 + 1*4 + 0*10 + 2*16)/38 = -2/38。投注黑色和第三列，贏得3個單位的機率是4/38，贏得1個單位的機率是8/38，不賠不贏的機率是14/38，輸掉2個單位的機率是12/38。預期報酬為 (1/2)*(3*4 + 1*8 + 0*14 + 2*12)/38 = -2/38。兩種組合對各種結果的權重不同，但平均值相同。
你對線上賭場用來模擬洗牌的隨機化過程了解多少？它與賭場裡實際的手動洗牌有多接近？最後，顯而易見的是：編寫一個隨機化（洗牌）程序，讓賭場有更大的優勢——有點像疊牌——難道不是相當簡單嗎？享受你的網站吧。謝謝。
我知道有一家軟體公司會隨機從一副牌中抽取兩張牌，然後將其翻轉，並重複多次。自從學會這項技術以來，我也在我的隨機模擬程式中用這種方法洗牌。只要任何洗牌方法都經過足夠多次，一副牌就應該能夠被正確隨機化。
手動洗牌更容易出現洗牌偏差，因此有些玩家會試圖透過洗牌追蹤和牌堆組合來利用這一點。線上賭場作弊的方式有很多，但我認為糟糕的洗牌不在其中。
想知道你玩過Vegas Palms嗎？他們用Microgaming玩21點。我從未見過這種遊戲如此不穩定。我20手牌輸了18手，1小時後30手牌贏了23手。好像每次玩都會變成連勝。我很高興我的連勝次數比連敗次數多。我也喜歡他們的Cyberstud Poker。它和Caribbean Stud很像，但我覺得賠率略有不同（例如兩對賠率2-1，三個賠率4-1）。
我玩這個遊戲還沒輸過一局。真是的！有一手牌我輸了。我想請你幫我算一下這種情況發生的機率。我拿到了方塊同花K高，結果被黑桃同花A高打敗了。一手牌中出現兩張同花的機率是多少？
我從未在拉斯維加斯棕櫚酒店玩過。不過，我對Microgaming的公平性很有信心，也相信你遇到的牌局不穩定只是碰運氣。 Cyberstud撲克和加勒比海梭哈撲克是一樣的，只是賠率稍微豐厚一些。預期回報率為5.01%，而加勒比海梭哈通常為5.22%。兩張同花的機率是(4*(combin(13,5)-10)/combin(52,5)) * (3*(combin(13,5)-10)/combin(47,5)) = 203,725分之一。
我最近開始玩線上賭博，比起我找到的其他任何賭博網站，我更喜歡您的網站。我記得您曾經寫過，您見過的所有線上賭場都會在每局遊戲後洗牌。您說的「每局遊戲」是指每手牌嗎？另外，如果他們每手牌都洗牌，這是否會降低算牌的收益？在這種情況下，算牌有什麼顯著的好處嗎？
大多數線上賭場每手牌後都會洗牌。然而，Unified Gaming 賭場的六副牌遊戲會在牌堆的隨機位置洗牌。我聽說其他賭場也會將不只一手牌放入牌盒，但我記不清是哪些了。如果每手牌後都洗牌，那麼算牌就毫無意義了，除非運用我基於牌型組合的基本策略例外。
我注意到你在網路賭場評論裡提到，你在Apolla玩了438個單位的二十一點，輸了98個。這是否代表你玩了438手牌，只輸了98個？這對玩家來說是一個非常有利的比例。
我總共輸了98個單位。如果每手牌都是等額贏或等額輸，那我就能贏170手牌，輸268手牌。
我確信這不可能，但是在網路賭場玩二十一點的時候，有沒有什麼方法可以算牌呢？ P.S：你的網站很棒。作為一個新手，它給了我很多很好的建議。
謝謝你的讚美。大多數線上賭場每手牌後都會洗牌。在單副牌賭場（Boss Media 版本 1、Microgaming、Unified Gaming），有時可以利用桌上已有的牌來調整玩法。詳情請參閱我的二十一點附錄 3A 。有些賭場會稍微調整牌型，但不會太過，並且有嚴格的投注限額。我目前還不清楚網路上是否存在任何值得一試的算牌機會。
我的問題是關於Microgaming二十一點的。我玩過大約10家線上賭場的娛樂版，想找出最好的一款，結果遇到了一個至今無法理解的問題。在每家賭場玩了大約1000場或更多的遊戲後，我發現有時候使用你們網站上賭場的基本策略，我幾乎可以和荷官打平，有時還能贏一點積分。但其他時候，我很幸運能在100手牌中贏20手。而且我從來不偏離策略，只下等額的賭注。這樣正常嗎？有時候隨機數產生器會長期左右荷官的走勢。如果是這樣，它對玩家的影響會這麼大嗎？我當然想了解更多，因為我真的很喜歡這個遊戲，也不想賺很多錢，但當你下注最低時，它很快就會吞掉200積分，這似乎不太正常。如果您能告訴我這方面的情況，我將不勝感激。
我深信你觀察到的變化是牌局隨機變化的結果，而不是你玩牌的位置。我懷疑你說的100手牌有時只贏20手是誇大其詞，這不太可能。有些人認為Microgaming有一種「Take Down」模式，玩家會在一段時間內瘋狂輸錢。在任何遊戲中，玩家偶爾都會經歷連敗，也會經歷連勝，這都是可以預料的。所以我認為這些所謂的「Take Down」模式只是正常的運氣不好，所有Microgaming賭場都公平競爭。
喜歡你的網站！太棒了。我的問題是關於你關於線上賭場「機器人玩家」的回答。你說：「這些機器人需要大量的專業知識和時間才能上手，但如果操作得當，就能把電腦變成賺錢機器。」 而這其實就是賭場有時不賠錢的原因。我不明白的是，你像任何統計學家一樣堅持認為，無論你做什麼，最終都會輸。所以我的問題是，使用機器人有什麼不同？誰在乎呢？賭場為什麼會認為這是個問題？即使他們玩得一手好牌，賭場仍然有優勢，對吧？關於BJ的預期結果，我看過附錄4關於標準差的表格，覺得很有幫助。不過，我很好奇，一開始就輸，而且無法恢復到平均100%（考慮到賭場優勢造成的損失）的機率有多大？ 100、200...1000...10000...100000 等手牌的機率是多少？
最後，能否請您幫我理解一下，為什麼說連續輸幾手牌後贏錢的機率會更高，這是一個「謬論」？在我看來，既然預期結果大約是99.5%的回報率，那麼如果1000手牌之後你的勝率是78%，那麼根據定義，下一手牌贏錢的機率就必然更高。人們常說牌“沒有記憶”，但自然曲線本質上不就是記憶嗎？請幫我理解！非常感謝。
你說得對，如果用機器人玩家對抗普通遊戲，你只會輸更多。然而，有些賭場確實提供玩家優勢的遊戲，前提是玩得好。 Unified Gaming 的二十一點玩家優勢為 0.5%，持續了幾個月，但現在已經停產了。許多 Real Time Gaming 賭場提供預期回報率為 100.18% 的 Joker 撲克遊戲。其他賭場會推出促銷活動，讓一段時間內玩牌最多的玩家贏得獎品，而機器人玩家在這方面會佔據明顯優勢。關於你的第二個問題，鐘形曲線是對許多隨機變數總和的前瞻性估計。你不能把過去和未來的事件混在一起。一旦事件發生，它就不再是隨機變量，而是一個冷酷無情的結果。如果你玩了 1000 手二十一點，回報率為 78%，那麼你在那場比賽中就落在了鐘形曲線的尾端。從第 1001 手開始，你的結果可能會落在新的鐘形曲線上的任何位置。希望這些解釋對你有幫助，但要真正理解這一點，確實需要學習統計學課程。
什麼程式最適合我的電腦？我想學玩二十一點，但因為我是新手，牌桌太難了。我們去最近的賭場單程要開130英里，學習費用太高了。
我會下載一些網路賭場軟體，然後直接在免費模式下玩。不過，為了學習正確的基本策略，我建議製作包含所有可能玩法的抽認卡。隨機發牌不足以測試你對軟雙打和分牌的掌握程度。
你有拉薩特二十一點的基本策略圖嗎？或者你能幫我製作一個嗎？我在網路上沒找到。
幹得好...
我只是想確認一下，在Microgaming的單副牌遊戲中，A,A vs A的正確玩法是按照你的基本策略卡上顯示的分牌。我非常確定正確的玩法應該是拿牌，至少在四副牌的情況下是這樣。而且看起來，如果所有10都還剩下，你很可能經常會輸掉兩倍的賭注。我不是不相信你，只是想確認一下。你有沒有想過，這手牌拿牌和分牌的期望值是多少？
我曾多次被問及這個問題，並始終堅持認為，儘管輸掉了全部賭注，但抽牌分牌A的選擇克服了歐洲的「不偷看」規則，因此分牌是更好的玩法。基於一副牌，每手牌的預期價值（考慮到莊家拿到黑傑克的可能性）為：要牌-0.532849，分牌-0.223277。因此，分牌比四副牌更好，大約31%的單位。對於四副牌的遊戲來說，分牌也是更好的選擇，Microgaming 的玩家不應該玩四副牌遊戲，因為有相同規則的單副牌遊戲可供選擇。
為什麼實體賭場玩二十一點第二手牌時會讓你下更大的注？在線上玩兩手或多手牌是否有優勢？
我認為這樣做的原因是他們不希望最低投注玩家佔用兩個位置。這會減慢遊戲速度，並可能阻止更大的投注者參與。並非所有實體賭場都有這條規則，我認為在大西洋城，這種規則比拉斯維加斯更為普遍，因為那裡的賭桌更擁擠。無論是線上賭場還是實體賭場，玩多手牌都沒有優勢。
我下載了很多網路上的二十一點遊戲，既有單機的，也有線上的。玩了很久，感覺這些遊戲的贏錢難度都不一樣，尤其是老虎機遊戲（如果我錯了，請原諒我）。如果是這樣，有什麼辦法可以找出這些線上遊戲是否真的隨機，或者我們真的可以信賴哪個值得信賴的機構嗎？
如果賭場有獨立審計員來審查日誌檔案的公平性和隨機性，那是一個好兆頭。我以前也曾為線上賭場提供過這樣的服務。
你好！我有個關於Microgaming單副牌BJ遊戲無底牌規則的問題。我記得在某個論壇上看到過，你總結說，遊戲開始時是否發出底牌對HA（高手）沒有影響。是這樣嗎？我確實注意到Microgaming的黑傑克機率更高。
舉一個極端的例子：
莊家 - Ace
玩家 - 2,A，然後是 A,A,2,2（軟 19）。
如果玩家從一副牌中多拿走4張非人頭牌，莊家拿到黑傑克的機率不會增加嗎？另一方面，玩家拿走的人頭牌永遠不可能足夠多，從而顯著降低莊家拿到黑傑克的機率。請告訴我你的想法。謝謝。
雖然我不記得我說過這是真的。無論是在Microgaming賭場直接發牌，還是在玩家輪到牌後發牌（例如歐洲賭場），莊家底牌是10的機率都是一樣的。在你的例子中，是的，莊家拿到黑傑克的機率確實增加了，但無論是下一張牌還是底牌，機率都會增加。看不見的牌就是看不見的牌，就像莊家是燒掉一張牌還是少發一張牌一樣，效果是一樣的。希望這能解答你的問題。
有沒有軟體可以在你輸入牌的同時算牌？這個可以用來玩線上二十一點嗎？或是線上二十一點每局牌後都會洗牌嗎？
是的。看看 Beejack 吧。大多數賭場（但並非所有賭場）每手牌都會洗牌。我不知道這款產品是否實用。如果你嘗試過，請告訴我你的感受，我可能也想試試。
注意：由於 Beejack 網站可能有病毒，該連結已於 2014 年移除。請謹慎訪問。
我讀到有人在加勒比海梭哈線上賭場贏了130萬美元，卻因為使用機器人遊戲而沒有收到任何賠付。什麼是機器人遊戲？它是如何獲勝的？為什麼它是非法的？
首先，這場比賽是加勒比海21點，而不是加勒比海梭哈。贏得這筆錢的賭場聲稱玩家使用了機器人遊戲，這違反了他們的條款和條件。如果情況屬實（玩家否認），那麼賭場有權沒收獎金。機器人遊戲是一個程序，它可以讀取螢幕上的牌，並透過模擬滑鼠移動和點擊或鍵盤操作與賭場對戰。有些賭場不允許使用機器人遊戲，因為他們有一些遊戲的理論回報率略高於100%。機器人遊戲可以確保使用它的人獲得不錯的預期每小時利潤，但不足以讓他們真正投入其中。 Boss Media的單副牌二十一點遊戲就是一個很好的例子，玩家優勢為0.11%。有些沒有正期望值遊戲的賭場允許機器人遊戲，有些則不允許。我不明白為什麼那些沒有正期望值遊戲的賭場會禁止機器人遊戲。一些懷疑的人聲稱，他們保留了不向大贏家支付獎金的權利，只要指控機器人遊戲就好。針對此案，賭場公佈了一份錄音，其中玩家主動提出出售機器人。然而，玩家表示，錄音被斷章取義了。這說來話長，更多詳情請點擊此鏈接，前往 Casinomeister 的論壇討論此話題。
當現金回饋適用於總投注金額時（從而給玩家額外的加倍或分牌動力），在互聯網上加倍或分牌有什麼基本策略例外嗎？請假設現金回饋率為0.1%。
我找不到任何一手牌，額外的0.1%的籌碼量會導致策略改變。我能找到的最接近的例子是，基於六副牌，莊家在軟17點停牌，A,4對4。在這手牌中，加倍會讓玩家的預期價值損失略低於要牌的0.3%。所以，如果你能拿到0.3%或更多的籌碼量，那就加倍這手牌。我研究過的其他邊緣牌型，玩家加倍或分牌至少要損失1%，而且我從未見過二十一點中返現如此之高。
這週我在盧克索飯店，注意到一台看起來很像視訊撲克機的二十一點機。這些機器是像線上一樣使用隨機數產生器，還是像老虎機一樣運作？
使用隨機數產生器的原理與老虎機相同。線上二十一點、老虎機和影片二十一點都使用隨機數產生器。
內華達州法律規定，任何以紙牌或骰子代表的電子遊戲必須基於公平的賠率。因此，此類遊戲應公平，賠率應與規則相同的手牌遊戲相同。
我注意到，我在拉斯維加斯玩過的所有電子二十一點遊戲，都是賠率均等。根據二十一點規則，這公平嗎？因為在之前的一個問題（ 2004年7月4日）中，您說過：“根據內華達州法律，任何以紙牌或骰子為代表的電子遊戲必須基於公平的賠率。因此，如果電子遊戲的賠率與規則相同的手牌遊戲相同，那麼這種遊戲也應該是公平的。”
我的意思是，螢幕上的牌圖必須在統計上公平。例如，如果你統計視訊撲克或影片二十一點遊戲中首手牌中觀察到的每張牌，你會發現分佈隨著時間的推移趨於一條直線，就像在發牌遊戲中一樣。然而，並沒有法律規定必須遵守二十一點的標準規則。機器可以合法地提供一些糟糕的規則，例如玩家在平局時輸掉。唯一的警告是，理論回報率必須至少達到 75%。
你好，我找到了一款雙重曝光遊戲，領帶可以推。完整規則如下：
- 6 層甲板。
- 莊家拿到軟 17。
- 所有平局均平局，但玩家贏得平局黑傑克除外。
- 玩家只能在硬 9 至 11 時加倍。
- 玩家可以重新分牌，包括與十牌不同的四手牌。
- 允許分牌後加倍。
- 允許抽牌分牌。
這肯定有一個玩家優勢，你能告訴我它是什麼嗎？
我相信您知道這款遊戲是由 Lucky Chance 賭場提供的。使用符合這些規則的基本策略，玩家優勢高達 7.2%！而且，它甚至更勝一籌。您可以同時下註三手牌，每手 5 美元或以上，如果三手牌都拿到黑傑克，您將贏得目前價值 18095 美元的累積獎金。三手牌拿到三個黑傑克的機率是 10552 分之一。因此，每手牌的累積獎金價值 1.71 美元。在我玩的兩天裡，他們還提供 15% 的虧損返利，每次退出遊戲時都會計算。所以我每手牌都退出，除了平手。
不過，我懷疑玩家優勢是否過高。我查了Winner Online，發現他們據說以前提供一款回報率高達120%的視訊撲克遊戲，不過現在他們使用的是普通的賠付表。這真是兩個危險訊號。 Lucky Chance提供最高500美元消費即可獲得100%的即時獎金，所以我也測試了一下。我的目標是要么在他們的Double Exposure遊戲中賺大錢，要么證明這個遊戲不公平。以下是我的測試結果：
- 單手313：淨贏32個單位。
- 一次持有3張現貨1959手：淨虧損29個單位。
- 總手數 2272 手：淨贏 3 個單位。
假設我的勝率是7.2%，我的預期贏利是163.6個單位。只贏3個或更少的機率是12.4%。這是基於單手牌的標準差1.17，三手牌的標準差2.68得出的。 1.17的來源是使用Stanford Wong的二十一點計數分析器進行的隨機模擬，然後我將其乘以三手牌的2.28，這是基於我在二十一點附錄4中找到的常規二十一點第一手牌和第三手牌的標準差得出的。
這當然不足以構成任何指控。此外，我用各種方法記錄了結果，但每次測試結果看起來都很正常。我本來可以玩得更久，但遊戲速度極慢，我輸光了。我輸光的原因是，我在大額投注上表現更差，而且最初幾個小時我沒有記錄結果，但結果並不好。
所以我的兩個目標都失敗了。我太懷疑了，不敢再儲值，而且已經在遊戲上浪費了好幾個小時。不過，如果你想試試，那就請便吧。
在Privilege 賭場，你不能分牌 A，但你可以加倍。假設 Cryptologic 規則是 6 副牌，這會如何改變策略？又會如何增加賭場優勢？
不允許分牌A，會使莊家優勢增加0.18%。只有牌面為6時才應加倍，否則要牌。
在 Boss Media 的單副牌二十一點遊戲中，玩家佔優勢嗎？這有什麼陷阱嗎？這麼說，我可以去某個線上賭場，用最佳策略玩，並且長期贏錢？我是不是忽略了什麼？
我確信他們仍然能從遊戲中賺錢，因為玩家犯錯。在拉斯維加斯，有些電玩撲克遊戲的回報率在最佳策略下也能超過100%。同樣，賭場也指望玩家犯錯，把報酬率控制在100%以下。大多數賠率超過100%的遊戲，其優勢非常小，不值得花時間玩。不過，既然無論如何都要玩，最好盡量爭取最好的賠率。
感謝您提供的資訊豐富的專欄。我一直使用「娛樂」模式在線練習基本的二十一點策略（Golden Palace 和 Grand Online Casino）。我通常在娛樂模式下玩得很好，但當我切換到「真錢」模式時，用同樣的策略很快就輸光了。線上賭場是否會為了「娛樂」模式而修改軟體隨機性，讓我們贏錢，只是為了誘使我們存入真錢？
不客氣。線上賭場很少故意讓玩家在免費模式下贏錢。我知道Elka賭場以前就這麼做過（為此我把他們列入了黑名單），但幸運的是，他們似乎已經消失了。如果有人能拿出確鑿的證據，證明賭場故意讓玩家在娛樂模式下贏錢，我很樂意調查。確鑿的證據至少意味著，要有在每種模式下贏輸的牌局記錄，至少幾十手。僅僅告訴我你在真實模式下輸了「更多」是沒有意義的。
親愛的巫師，我讀了你關於在線二十一點的評論，以及每局牌後洗牌的事實。有沒有洗牌次數更少的線上賭場？如果沒有，我是不是只能玩真人荷官二十一點了，因為這種遊戲的牌堆更多，而且至少我可以知道什麼時候洗牌。謝謝。
也許你誤解了我在二十一點附錄10中想要表達的觀點。關鍵在於，除非你擅長算牌，否則每手牌後洗牌（而不是切牌）是件好事。透過每手牌後洗牌，六副牌遊戲中的賭場優勢可降低0.02%，一副牌遊戲中的賭場優勢可降低0.11%。
嗨，Wiz，一如既往，感謝這個很棒的網站，我很喜歡你的專欄，尤其是那些關於人際關係的問題。我有一個關於我在線二十一點遊戲的問題。我玩了一段時間了，一直記錄著我的遊戲結果。我和莊家玩了兩手5美元的牌，所以初始總投注額是10美元。我的總投注額，包括雙倍和分牌，目前略高於68萬美元。我計算出我的預期損失是3000美元（將總投注額計入初始投注/牌局後），賭場優勢是0.5%。然而，我的實際損失遠高於這個數字，達到了8,500美元。對於這樣一個合理的樣本量來說，這似乎是一個相當大的差異。我不知道這是否意味著遊戲不夠公平（我沒有理由這麼認為），或者我只是遇到了一個不太好的結果。你怎麼看？根據這些結果，有什麼理由值得懷疑嗎？ P.S.：幸運的是，由於獎金，我還能賺錢，但沒有我預期的那麼多，這才是令人失望的地方。謝謝，祝一切順利。
謝謝你的讚美。所以你已經玩了680,000/5 = 136,000手牌。根據我的二十一點附錄4 ，每手牌的標準差（每次玩兩手牌）是1.91。因此，136,000手牌的標準差應該是136,000 * 0.5 * 1.91 = 704手牌。你超出預期的損失是5,500美元，也就是1,100手牌。所以你的實際損失比預期低了1,100/704 = 1.56個標準差。在Excel中，你可以用normsdist(-1.56) = 5.94%來計算你表現糟糕或更糟糕的機率。
我今天玩Cryptologic Blackjack輸了很多錢。雖然我不認為有什麼問題，但我的玩法似乎有一個方面遠遠超出了機率範圍。在35手牌中，莊家亮出6有7次，每次都贏了。這已通過日誌得到驗證。如果莊家亮出6爆牌的機率是56%，那麼我的計算表明，這個獨立事件連續發生6次的機率是0.23%。
在Cryptologic，他們使用 8 副牌，莊家在軟 17 點時停牌。根據我的二十一點附錄 2 ，莊家以 6 點爆牌的機率為 0.422922。因此，不爆牌的機率為 1 - 0.422922 = 0.577078。7 次中有 7 次不爆牌的機率為 (0.577078) 7 = 2.13%。
我一直在博狗玩100手的獎金雙雙狂野視頻撲克。當我手上沒有2，但有內順子的可能性時，你會建議我保留內順子的機會。通常我最後能贏回大概25個硬幣。玩垃圾牌的時候，我會把它們丟掉，而且通常我最終能贏回至少25個硬幣，甚至更多。所以我想知道，一次玩100手的時候，玩法是否應該稍微調整一下？還是說賠率表本身出了問題，導致我這次玩法不太對勁？
我看到 Bodog 遵循 1-2-3-4-4-9-15-25-200-800 賠付表，即所謂的“醜小鴨”，採用最佳策略的回報率為 99.42%。雖然我在我的網站上沒有提到醜小鴨策略，但我的「不那麼醜小鴨」策略應該表現相當不錯，而且確實適合這種玩法。回答你的問題，策略只取決於賠付表。手牌數量沒有差別。適合一手牌的策略也適合 100 手牌。平均而言，玩內順子你應該可以贏回 34 個硬幣，擲出所有牌能贏回 32 個硬幣。但是，實際結果會有所不同。如果你平均只贏回 25 個硬幣，那隻能說你在內順子方面運氣不好。
你能不能畫一張Party Poker單副牌二十一點的圖表？另外，最佳玩法的賠率是多少？
當我讀到這些規則時，它們如下：
- 1副甲板
- 莊家拿到軟17
- 僅限 9 至 11 點雙倍
- 允許分牌後加倍（遵守 9 比 11 規則）
- 不投降
- 二十一點賠率為 3 比 2
- 發牌者總是偷看二十一點
這是基本策略。
根據這些規則，賭場優勢為 0.16%。
我在BetJamaica玩了 30 手牌，輸了 21.5 個單位。這個機率是多少？
根據拉斯維加斯大道規則，二十一點每手牌的標準差為 1.15（來源）。根據規則，這可能會有所不同，但既然您沒有說明，我們就採用 1.15。因此，30 手牌的標準差為 sqrt(30) × 1.15 = 6.30。我不知道他們的二十一點規則是什麼，但我們假設賭場優勢為 0.4%。因此，在 30 次投注中，您預計會損失 30 × 0.004 = 0.12 個單位。您的損失超出預期 21.5-0.12 = 21.38 個單位。也就是說，比預期低 21.38/6.3 = 3.39 個標準差。發生這種情況的機率是 0.000349，即 2862 分之一。恐怕這還不足以提出任何指控。如果您仍然懷疑有任何可疑之處，我會收集更大的樣本。
是不是只有我覺得線上賭場提供「現場二十一點」聽起來就讓人想算牌？
我同意，這確實是一個不錯的優勢玩法。 5dimes 真人娛樂場遊戲提供以下規則：
- 6 層甲板。
- 牌盒開始時燒一張牌，每次換發牌員時也燒一張牌，每30分鐘一次。如果管理員必須介入，我看過兩次，那麼就會燒掉三張牌。
- 莊家在軟 17 點時停牌。
- 提前投降，除非面對 Ace。
- 允許分牌後加倍。
- 僅分成兩隻手。
- 沒有底牌，但玩家只輸給莊家黑傑克的原始賭注。
- 投注範圍：$5-$250、$10-$250 或 $25-$500
根據這些規則，賭場優勢為 0.24%。
規則規定滲透率為75%。我兩次數了每副牌的牌張數，兩次都是211張，也就是68%。我論壇的一位成員Shortow在YouTube上發布了兩個切牌的影片：影片1 和影片2。在我看來，視訊2的滲透率似乎更高一些。我估計滲透率在60%到70%之間，具體數字取決於荷官。
玩家不僅可以輕鬆計算這局牌，還可以使用單獨螢幕上的計算器做出完美的決策。二十一點即時分析器（Blackjack Real Time Analzyer）就是這樣一款產品。然而，我不知道他們採用了什麼樣的遊戲保護措施。掃描每張牌後，很容易就能確定牌點和下注大小之間的相關性，如果相關性夠正，就應該發出警告。
如果你嘗試一下，我很想知道會發生什麼。
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。