二十一點 - 一般問題

在擲骰子遊戲中，平均而言，總擲骰結果的 29.6% 是 come out 擲骰。

假設基本策略玩家手中有16點，而牌盒後面有10點，要牌。如果點數高，停牌是正確的做法，但這在旁觀的算牌者看來似乎是個錯誤。然而，如果點數為負，那麼要牌就更好了。最終，對於基本策略玩家來說，結果會比較平均。

基於我在二十一點附錄10中解釋的原因，如果基本策略玩家的目標是最小化賭場優勢，那麼他應該選擇具有連續洗牌器的遊戲。除此之外，賭場優勢不受滲透率的影響。我應該補充一點，如果滲透率較低，洗牌時間會更長，因此每小時的預期損失會更低。

下表顯示了 1990 年和 2009 年每種遊戲佔整個桌上遊戲市場的百分比。請注意，21 是最大的輸家，從 74.0% 跌至 55.6%。

這就引出了一個問題：為什麼二十一點的市佔率正在下降？我認為主要原因如下：

1. 撲克遊戲的流行正在引起一些玩家的轉變。
2. 賭場不像其他遊戲那樣提供二十一點遊戲。
3. 規則越來越糟了。我並不是說大多數玩家都知道這一點，但隨著時間的推移，玩家會感受到規則的變化，例如莊家拿到軟17，他們的錢包就變了。
4. 所有賭場遊戲都有其自然的壽命，而二十一點則變得越來越灰暗。

• 六層甲板。
• 莊家在軟 17 點時停牌。
• 沒有莊家底牌。
• 僅限 9 至 11 的雙倍。
• 允許分牌後加倍。
• 重新分割任一對牌，包括 A，最多四手。
• 不投降。
• 連續洗牌機。

很棒的推廣！下表顯示了每個事件的機率。五張牌21點的機率應該比較粗略。

首先，這是我根據這些規則制定的基本策略：

綜合考慮，我根據初始投注給出的賭場優勢是 6.01%（哎喲！）。換句話說，如果玩家下注 100 美元（不計 5 美元佣金），那麼他預計會損失 6.01 美元。這也解釋了為什麼我會在加州遠離玩家坐莊的遊戲，除非你是坐莊的。

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。

哎喲！根據Casino Vérità 二十一點軟體的開發者Norm Wattenberger說，這些規則下的賭場優勢是4.30%。這還沒算上六張牌停牌的規則，我覺得這條規則對雙方的影響大致相同。可惜的是，其他地方的酒吧也有同樣糟糕的規則。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

首先，我們必須計算出任何一手牌的獲勝機率，這取決於規則，而這些規則在你最初的問題中並沒有明確說明。在我關於二十一點方差的頁面上，我給出了在「自由脫衣舞規則」下，淨贏、平局和淨輸的機率。這些規則包括：六副牌，二十一點賠率為3比2，莊家在軟17點停牌，分牌後允許加倍，允許投降，允許再次分牌。根據這些規則，以下是必要的機率：

• 勝率：42.43%
• 推動：8.48%
• 虧損：49.09%

你的問題也沒有說明如何處理「推牌」。我假設「推牌」算一手牌，但不會推進或重置一系列的輸牌。除去“推牌”，在已結算的賭注下，贏和輸的機率如下：

• 勝率：46.36%
• 虧損：53.64%

也就是說，對於這樣的問題，一個很好的近似方法是：

n × l × w ^m

在哪裡：
n = 玩過的牌數
l = 損失機率
w = 獲勝機率
m = 連續輸牌的最少手數

在這種情況下，預期虧損次數為 100000 × 46.36% × 63.64% ⁽¹⁰⁾ = 91.4。換句話說，平均每 1,094 手牌至少會出現 10 手連敗。隨機模擬結果也證實了這一點。

說到這兒，我敢肯定，我那些追求完美的讀者們正準備給我發郵件，對馬可夫鏈進行一番智力上的鞭策。我想強調一下，我的公式只是一個估算，而且實際上相當不錯。

答案很簡單，就是你允許下注的最高金額。等到22點，再玩，最後就能帶著一個額外的單位離開賭桌。

更嚴格的答案應該考慮等待這 22 的成本。這是我並不確切知道的，但可以估計。

莊家「全壓22」規則對玩家的成本為6.91%。然而，莊家拿到22點的機率會更高，因為玩家不在乎自己是否先爆牌。根據規則，玩家爆牌的機率約為15.7%。如果我們假設這與莊家爆牌的機率無關（事實並非如此），那麼莊家爆牌的機率為6.91%/(1.0-0.157) = 8.2%。

我知道這有點粗略，但我們假設玩家拿到22點的機率相同。我知道莊家爆牌的機率比玩家高，但分牌後這張優惠券也不算數，所以我們就假設這些因素互相抵消了。所以，如果玩家拿到22點的機率是8.2%，那麼他平均每1/0.082 = 12.2手牌就會拿到一次22點。

假設基礎遊戲中的賭場優勢為0.75%。以此賭場優勢玩12.2手牌的成本為12.2*0.0075 = 0.0915。因此，用一個單位的價值減去這個成本，你得到的票面價值為1.0 - 0.0915，約為票面價值的91%。

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。

我正在考慮為「push 22」二十一點變體創建一個邊注，如果莊家爆牌 22，那麼我就能贏。賠率是多少？賭場優勢是多少？

假設莊家總是會抽出他的牌（即使每個玩家都已經爆牌），那麼如果莊家在軟 17 點停牌，那麼在 22 點爆牌的機率為 7.88%，如果他拿到軟 17 點，那麼在 22 點爆牌的機率為 8.00%。

假設莊家拿到軟17點，賠率為11比1時，賭場優勢為4.04%。賠率為10比1時，賭場優勢將躍升至12.04%。

我應該警告你並建議玩家這是可數的（閉嘴，Wiz！）。

讓我們忽略拆分十，因為即使有此規則，玩家仍然應該在 20 時對抗任何數字。

假設有六副牌，一對 A 的機率為 combin(24,2)/combin(312,2) = 276/48,516 = 0.5689%。

兩張 A 牌能夠發展成黑傑克的預期數量為 2*(16*6)/(312-2) = 0.619355。

莊家沒有黑傑克的機率是 1 - (16*6)*(4*6-2)/combin(52*6-2,2) = 95.590354%。

莊家拿到21點的機率是7.7981%。這其中的數學原理太複雜，難以解釋。

此規則有用的機率是 0.5689% * 95.590354% * (1-7.7981%) = 0.3368044%。

每次事件的收益 = Pr(莊家未拿到 21 點) * (0.2) + Pr(莊家拿到 21 點) * 1.2 = (1-0.122077839) * 0.2 + 0.122077839 * 1.2 = 0.3220778。

此規則的總體收益是情況發生的頻率與發生時的收益的乘積 = 0.003368044 * 0.322077839 = 0.11%。

這對玩家來說是個好消息！他們的網站沒有詳細說明，所以我假設它只適用於前兩張牌。我從2018年10月的《當代二十一點》簡報上看到，大多數牌桌都有以下規則：

• 莊家拿到軟 17
• 六副甲板
• 二十一點賠率為 3 比 2
• 允許分牌後加倍
• 允許重新分牌

我的二十一點莊家優勢計算器顯示，這些規則的莊家優勢在連續洗牌的情況下為 0.55%，在切牌的情況下為 0.57%。

無論規則如何，前兩張牌出現硬16的機率是6.51%。如果以6.51%的機率贏得16美元，那麼每手牌的價值為1.04美元。我假設最低下注額為25美元，因為在新冠疫情期間，大多數賭場都提高了最低下注額。不計獎金，25美元下注，每手牌的預期虧損為0.14美元。這意味著每手牌的預期利潤為1.04美元 - 0.14美元 = 0.90美元。相對於下注金額，這意味著玩家優勢為3.59%！

如果我們假設一個好的情況，即以每小時 80 輪的速度玩三手 25 美元的牌，那麼預計每小時贏利將達到 216 美元！

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

根據我的二十一點頁面中的方差，基於自由的脫衣舞規則，以下是淨贏、平或輸的機率：

• 勝率 — 42.43%
• 推動 — 8.48%
• 虧損——49.09%

讓我們忽略平局，考慮到這手牌最終是淨贏還是淨輸，我們獲勝的機率是 46.36%。

我們以每小時100手作為遊戲速度。

我們可以近似地計算出連續看到至少 60 手牌的機率為：

作為比較的基礎，如果您購買了一張強力球彩票和一張百萬大獎彩票，那麼同時中獎的機率是 88,412,922,115,818,300 分之一。

因此，兩次彩票都中獎的可能性比 12 小時內連續中 60 次彩票的可能性要大一些。

遊戲中確實出現了大量可疑的大牌，不是嗎？以下是我能辨認出的牌。請注意，在某些情況下，牌可能看不清楚。

你說得對，邦德最初的15手牌一手都沒要到。他分了一次8，但分完之後也沒要到。以下是他最初15手牌的行動統計：

• 雙倍 — 1
• 分裂 — 1
• 站立 — 13

以下是每個初始行動的基本策略機率，假設有六副牌，允許分牌後加倍，發牌人偷看底牌，並且發牌人在軟 17 點停牌。

如果允許投降，那麼這個機率就是 4.14%，這是從站立的機率中得出的。

值得注意的是，邦德曾經在16對10的情況下停牌。基本策略是擊中它，但可能性很小。考慮到那手牌中出現了大量的10，邦德可能知道點數很高，這會觸發基本策略例外，在這種情況下停牌。

一手牌沒中機率是 60.22%。假設每手牌都是獨立的，那麼 15 手牌中 15 手牌沒中機率是 0.602162 ¹⁵ = 0.000496253 = 大約 2015 年的 1 手牌。

哎喲！我在澳門美高梅也看到了同樣可怕又無知的規定。

底牌為A且明牌為10的機率為(6*4)/(6*52-1) = 7.717%。預期收益為0.077170×2 + 0.922830×-1 = -0.768489。換句話說，莊家優勢為76.85%。

要回答你的問題，我們必須先了解一些二十一點遊戲的規則。我將採用所謂的“自由脫衣規則”，具體如下：

• 六副甲板
• 莊家在軟 17 點停牌
• 允許分牌後加倍
• 允許重新分牌
• 允許投降

根據這些規則，假設基本策略完美，淨贏/輸的機率如下：

• 淨贏率：42.43%
• 淨推：8.48%
• 淨虧損：49.09%

我詢問了這起事件的目擊者，他說這60手牌不包括平手。換句話說，60手牌已經解決了。我還假設，如果玩家分牌，它仍然只算一手牌，並且玩家分牌的所有牌中都有淨贏。

正如在關於連續 18 次總數為 11 的問題中所解釋的那樣，預計等待時間的公式是：

預期等待時間 = [(1/p)^(n+1) - 1] / [(1/p) - 1] - 1，其中：
n = 連續獲勝次數
p = 獲勝機率

在這種情況下，如果一手牌已解決，那麼每手牌淨贏的機率為 42.43%/ (43.43% + 49.09%) = 46.36%。更具體地說，是 0.46359564。

使用上述公式，觀察此事件的預期等待時間為 (1/0.46359564)^61 - 1]/[(1/0.46359564) - 1] - 1 = 200,941,772,393,648,000,000 手。

相較之下，在擲骰子遊戲中，連續18次擲出11點需要等待41,660,902,667,961,000,000,000次，是11點的207倍。所以，據我所知，18歲的故事仍然是拉斯維加斯巫師論壇上講述的最高故事。

在我的免費 A 牌價值頁面中，我聲明它的價值是 3-2 二十一點賭注金額的 50.1844%。

在六副牌的二十一點中，假設第一張牌是A，那麼拿到黑傑克的機率是29.3139%。在這種情況下，你在6-5黑傑克中贏得的單位比3-2黑傑克少0.3個。

因此，6-5 六副牌二十一點中免費 A 的價值為初始賭注的 50.1844% × 29.3139 × 0.3 = 41.3902%。

我的二十一點手持計算器顯示，在六副牌的情況下，莊家在軟 17 點停牌，玩家 6+5 對抗莊家 A，每種玩法的預期值如下：

• 命中 = +0.147596
• 雙倍 = +0.129710
• 立場 = -0.661883

由於要牌限制為一張牌，因此相當於加倍，但賭注不會翻倍。因此，預期價值將是加倍的一半，即 +0.129710/2 = +0.064855。這小於加倍的預期價值 +0.129710。因此，如果要牌後你只能下一張牌，那麼你應該要加倍。