請問巫師 #71
Microgaming 推出了一款名為「幸運七」的新二十一點遊戲，如果你的第一張牌是 7、前兩張牌是 7 以及前三張牌是 7，你都可以獲得獎勵。這款遊戲還有一個累積獎金池，如果你拿到全部 3 張方塊 7，你就可以贏得獎金。缺點是你必須為每手牌下 1 美元的底注。如果你玩這個遊戲，你就沒有選擇權了。我的問題是：累積獎金達到多少時，這個遊戲會變成正期望值遊戲。謝謝！
好問題。 「三七二十一點」使用五副牌，強製附加註為1美元。以下是附加註回報表，基於41,227美元（2002年8月31日的金額）。
Microgaming 三七邊注
| 手 | 排列 | 可能性 | 支付 | 返回 |
| 1 七 | 1238400 | 0.07128 | 買一送一 | 0.3564 |
| 2張非同花的7 | 72000 | 0.004144 | 25 換 1 | 0.103605 |
| 2張同花色的7 | 19200 | 0.001105 | 買一送一 | 0.055256 |
| 3張非同花的7 | 6600 | 0.00038 | 250 買 1 | 0.094971 |
| 3張同花色的7 | 180 | 0.00001 | 1000 換 1 | 0.01036 |
| 3張鑽石7 | 60 | 0.000003 | 41227 換 1 | 0.142377 |
| 不付牌 | 16037280 | 0.923077 | 0 | 0 |
| 全部的 | 17373720 | 1 | 0.76297 |
如果玩家將兩個七分開，連線就會中斷，玩家每手牌都會以一個七開始，用於邊注。玩家在低投注額（40 美元或以下）時切勿在此遊戲中分開七。邊注的賭場優勢為 37.94%，每 10,000 美元的投注額減去 3.45%。 2002 年 8 月 31 日，我在金虎賭場查看時，投注額為 41,227 美元，回報率為 76.30%，即賭場優勢為 23.70%。要使邊注沒有賭場優勢，投注額需要達到 109,862 美元。這還沒有考慮不分開兩個七而偏離基本策略的 0.0057% 的成本。假設玩家在二十一點牌局（最低投注額）上投注 2 美元，投注額需要達到 113,196 美元，組合遊戲才沒有賭場優勢。
我最近在玩西洋雙陸棋時，連續四次擲出雙六。這種情況再次發生的機率是多少？
每次新擲骰子時，接下來四次擲骰子均為雙六的機率為 (1/36) 4 = 1/1679616。
哪裡可以買到印刷精美、覆膜的信用卡大小的21點基本策略表？如果你們沒有提供，請提供！
很高興你問這個問題。你可以透過客製化策略卡獲得它們。這些是我自己的二十一點和視訊撲克策略，印在錢包大小的精美塑封卡片上。
2007 年 11 月 13 日更新：自訂策略卡網站現已停止服務。
在二十一點中，提前投降和延遲投降有什麼不同？
提前投降：您可以在莊家確認牌面為黑傑克之前投降。延遲投降：您只能在莊家確認牌面為黑傑克之後投降。提前投降更好，因為即使莊家確認牌面為黑傑克，您仍然可以保留一半的賭注。據我所知，目前實體賭場或網路賭場均不提供提前投降服務。
你好，巫師。你認為哪些網站的視訊撲克賠率最高？另外，你比較喜歡用什麼軟體玩視訊撲克？非常感謝你一直以來分享你寶貴的知識。
布魯克林連續問了兩個問題，這個機率是多少？ Microgaming 和 Real Time Gaming 的視訊撲克賠率最高。這取決於你選擇的具體遊戲。在這兩款遊戲中，我更喜歡 Real Time Gaming 的介面。
一次擲 5 顆骰子得到順子的機率是多少？
有兩種可能的跨度：1 到 5 和 2 到 6。每種跨度有 5!=120 種排列方式。擲五顆骰子共有 6 *5 = 7776 種方法。因此機率為 2*120/7776 = 3.09%。在玩 Yahtzee 時，當我把 0 標記為大順子後，這個機率似乎高了很多。
您如何看待二十一點中第二次獲勝後加 50% 的策略，例如 2-2-5-7-11-15-22-33....
正如我多次說過的，從長遠來看，所有投注系統都同樣毫無價值。
您的網站很棒。感謝您花費大量時間幫助大家學習遊戲背後的數學知識。不過，我好像忽略了您「買入」投注的賠率。例如，「買入4」投注，您列出的賠率是39:21。這意味著如果贏了，獲勝的玩家將獲得21+39，也就是60。但獲勝的玩家只有59（因為他們要支付1美元的手續費）。這不應該是38:21嗎？那麼，您要么輸掉21，要么獲得59。我迫不及待想看看我到底有多蠢。
別對自己太苛刻。很少有網路賭場能正確執行買入投注的賠率。我說的賠率是39-21，是指如果你下注21美元（含佣金），贏了就能拿回39美元，外加原來的21美元。所以，贏了就能拿回60美元。不妨考慮下注20美元的買入投注，外加1美元的佣金。這1美元就永遠沒了，但如果你贏了，你就能拿回40美元的獎金，外加原來的20美元，總共60美元。不管怎樣，你都冒著21美元的風險，贏了就能拿回60美元。