請問巫師 #44
如果我擲一個骰子，擲出六點的機率是 1/6。如果我擲兩顆骰子，其中一個擲出六點的機率會增加，還是維持在 1/6？
如果你擲了 x 個骰子，那麼至少擲出一個 6 的機率是 1-(5/6) 2 。如果擲的是兩顆骰子，那麼這個機率就是 30.56%。
首先，我想說，我覺得您的網站真的很棒。我已經告訴了幾個人，希望他們也能試試看。祝您繼續成功。我也很喜歡 WinPoker 的連結。我非常喜歡 WinPoker，所以訂購了它。這是一個很棒的程式。我有一個問題希望您能幫助我。我一直在嘗試計算七張牌梭哈中每手牌出現的次數。我有一份您的七張牌表，但我對計算這些數字的數學原理很感興趣。我能計算出五張牌的數字，但七張牌的數字讓我很困惑。我想發送一個包含我的數字的 Excel 2000 檔案。我還想知道如何計算一副 53 張牌、帶有百搭牌的撲克牌中的順子數量。救命！ ！ ！
謝謝你的讚美。我同意七張牌梭哈的點數計算起來很難。所以我用電腦來算。我的程式會計算所有可能的組合，並為每個組合評分。牌九撲克中的百搭順子數量是 11*(4 4 -4)+10*3*(4 4 -4)=10332。加上 10200 個自然順子，總數是 20532。
我同意你的觀點，沒有任何系統能夠戰勝負期望值遊戲。總之，我研究了一下取消系統，一直在想…如果把它用在像百家樂中莊家投注那樣的賭注上，你的期望值是正的，會怎麼樣？支付給賭場的佣金會在多大程度上侵蝕你的長期收益？我為我蹩腳的英語道歉。
百家樂中的莊家投注並非正期望投注。你混淆了贏錢的機率和正期望值。即使沒有投注系統，你也有可能贏得任何莊家投注，但由於 5% 的佣金，你贏得的金額會低於你的投注金額。這使得莊家投注成為負期望投注。
作為一名數學/統計學老師，我必須說，任何人在去賭場之前都應該先閱讀您的網站。我在內華達州的賭場玩牌九撲克時喜歡莊家。在太浩湖，我通常可以每隔一手牌莊家。我去拉斯維加斯的次數少很多，而且那裡還有更多賭場可以去體驗。您知道哪些賭場允許在滿桌的情況下每隔一手牌莊家（如果沒有其他玩家願意莊家）？有些地方似乎七分之一，有些地方十二分之一。
此外，太浩湖的一些賭場還會推出累積獎金遊戲，根據玩家的五張牌手牌來決定勝負。這是一種很愚蠢的賭注，但作為莊家，我喜歡其他玩家也下注。他們通常會為了贏得累積獎金（由賭場支付）而犧牲標準賭注（對我不利），例如拆分兩張高對，用兩張單張來打順子，或者保持葫蘆齊整，把兩張單張牌（而不是三張）放在一起，形成對子。你知道哪些拉斯維加斯或裡諾的賭場會這樣做嗎？
謝謝你的讚美。事實上，有人邀請我在內華達大學拉斯維加斯分校（UNLV）教授一門關於賭博數學的課程。牌九撲克不是我的遊戲，所以我不太注意細節。正如你所說，我知道有些人會輪流發牌，有些人會把莊家在玩家和荷官之間來回交替。但是，抱歉，我記不清是誰用什麼方式發牌的。我在城裡很多賭場也看過那種累進邊注。同樣，我記不清具體是誰在玩這種遊戲。不過，用這種邊注來做莊是個好主意，我以前從來沒想過。抱歉，我幫不上忙。
在 Windows 版本中贏得標準 Klondike Solitaire 遊戲的幾率是多少？
這大概是我最常被問到卻又無法回答的問題了。至今為止，還沒有人做過完整的克朗代克紙牌遊戲。或許，等電腦速度提升一百萬倍，最終會有人做到。不過，據說拉斯維加斯的賭場至少在五十年代就提供過這種遊戲。我問過不少拉斯維加斯老玩家，想證實這一點，但至今無人能證實。
首先，我覺得您的網站很棒，非常感謝您提供的這些實用資訊。我的問題是：二十一點賭桌的最高下注限額會隨著從五美元到十美元的賭桌的升級而增加。我猜這是為了阻止高額賭注的賭客在低額賭注的賭桌玩，但他們是如何計算這些限額的呢？我注意到不同的賭場有不同的限額。另外，在您的賭場優勢圖表中，如果能看到使用基本策略的二十一點玩家和使用算牌的玩家的賭場優勢對比就更好了。再次感謝您的出色工作。
別客氣！賭場通常會盡量將最高賭注控制在最低賭注的200到500倍左右。為什麼？如果賭場在100美元的賭桌上接受1萬美元的賭注，為什麼不在5美元的賭桌上接受呢？答案似乎是賭場喜歡把大賭客聚集到特定的區域。這些高限額區域往往擁有最優秀的員工和最完善的監管。限制最高賭注與最低賭注的比例也是一種防範作弊和優勢行為的措施。
算牌的優勢取決於算牌者的程度和積極性。除了我自己對算牌的介紹之外，這個話題我留給其他賭博作家吧。
賭場玩擲骰子遊戲的平均賠率是多少？
我不知道任何遊戲的持幣率。為了方便其他讀者理解，持幣率指的是賭場利潤與牌桌上購買籌碼的比率。由於相同的籌碼會在玩家和荷官之間來回流通，時間長短不定，數學家無法計算持幣率或持幣率。
在擲骰子遊戲中，如果你下注“不過線”，然後在點數為 6 或 8 時取消下注，賭場優勢會改變嗎？如果在點數為 6、8、5 或 9 時取消下注，賭場優勢會怎麼樣？
點數達到後，切勿撤回不及格投注！點數達到6或8後，不及格投注的勝率將達到投注金額的9.09%，如果撤回投注，您將損失這部分金額。點數達到5或9時，不及格投注的勝率是20%，點數達到4或10時，不及格投注的勝率是33.33%。
平均而言，在單零輪盤賭中，在 36 次旋轉過程中，一個數字會重複多少次（例如連續兩個 8）？
每 37 對數字中，預期會出現一次重複。所以，36 個數字對應 35 對數字。因此，預期重複次數為 35/37 = 0.9459。
您的網站太棒了！我很喜歡您的建議，而且您能如此通俗易懂地講解博彩知識，讓我非常驚訝。我的問題是：在玩一款「福利二十一點」遊戲時，據我所知，他們遵循了所有「拉斯維加斯」規則，結果我發現他們為二十一點支付了二比一的賠率。這似乎對玩家來說是一個很大的福利；那麼福利到底有多大呢？ （這不是玩笑或惡作劇，我確實在他們這樣做的那張牌桌上玩過！）
謝謝你的讚美。如果我當時在玩這個遊戲，我會拼盡全力。假設六副牌，其他都遵循拉斯維加斯規則，玩家優勢應該是1.94%。二十一點的2比1賠率，在六副牌的遊戲中，玩家的預期收益增加了2.37%。
您在老虎機建議中建議玩狀態變化較大、處於高狀態的機器，或玩累積式、計量較高的機器。您能解釋一下嗎？您怎麼知道機器處於高狀態？
對於可變狀態老虎機，你必須知道該型號機器的正點是多少。例如，在Piggy Bankin'老虎機上，我認為當銀行裡有大約40個積分時，它就變成正點了。此時，玩家應該一次投一枚硬幣，直到銀行裡有40個點數為止。 Charles Lund（1999）所著的《搶劫獨臂強盜》（Robbing the One-Armed Bandits）一書介紹了各種機器的具體正點，然而書中提到的許多機器現在已經很難找到了。
至於如何判斷累積獎金何時異常高，你要嘛需要長期觀察，要嘛找個做過同樣事情的人。例如，SlotCharts.com 保存線上賭場累積獎金老虎機的資料。但即使累積獎金老虎機異常高，如果不了解機器的機率是如何編程的，就不可能知道它在什麼時候會高到足以成為正期望值遊戲。在我的「解構百萬富翁」部分中，我試圖找出何時累積獎金大到足以讓玩家獲得優勢。
更新：自從這個問題發布以來，SlotCharts.com 就被禁止訪問美國流量。
很棒的網站！在25美分機最多投3美分好，還是1美元機上最多投1美元好？
謝謝。這個問題問得好，我希望我能給出一個確切的答案。確切的答案取決於兩台機器的理論回報率，而沒有人會透露這些資訊。沒錯，美元機器的報酬率通常比25美分機器高，但你放棄了最大投幣獎勵。我認為從25美分到美元，賭場優勢會下降約2%。但是，由於沒有轉軸權重，我無法告訴你不玩最大投幣獎勵的代價。我的一般建議是找一台沒有最大投幣獎勵的老虎機，然後一次只投一個硬幣。
我第一次去拉斯維加斯時怎麼才能獲得免費房間？
首先，你需要獲得一張玩家卡。然後，在玩賭桌遊戲時，你必須把它交給賭場經理。一般來說，要獲得免費房間，你可能需要每天至少下注4個小時，每手至少下注50到100美元。賭場越好，就越難打動他們。
我剛從拉斯維加斯回來，在拉斯維加斯俱樂部玩了一把。他們有一款叫「最自由21點」的遊戲，規則如下：
- 八副甲板
- 莊家拿到軟 17
- 前兩到四張牌加倍
- 允許分牌後加倍
- 允許逾期投降
- 允許重新分牌 Ace
- 六張牌查理
制定這樣的規則對房子有什麼好處呢？
你問這個問題的時候，他們仍然在二十一點上支付3-2。在考慮3張或4張牌加倍規則以及六張查理規則之前，我的二十一點賭場優勢計算器顯示賭場優勢為0.50%。我的規則變化清單顯示，3張或4張牌加倍的賭場優勢為0.23%，六張查理規則的賭場優勢為0.16%。因此，總賭場優勢為0.50% - 0.23% - 0.16% = 0.11%。
然而，自從你寫到之後，他們就修改了規則，對同花二十一點的賠率是2比1，對其他所有二十一點的賠率是1比1。這導致賭場優勢從1.13%上升到1.24%。他們仍然掛著「世界上最自由的二十一點」的牌子，如果你把「自由」理解為最低的賭場優勢，這顯然是不真實的。