請問巫師 #421

假設所有球員的技術都一樣，那麼在匹克球比賽中先發球的球隊贏得整場比賽的機率是多少？

anonymous

讓我提醒其他讀者匹克球的得分規則。

最先獲得 11 分並至少贏兩分的隊伍將贏得比賽。
每隊有兩名球員，我稱他們為球員 1 和球員 2。我將這兩隊稱為 A 和 B，其中 A 先發球。
A隊2號球員發球。
如果第3步中的A隊贏得該回合，則該隊得1分，由同一人再次發球。此規則持續到B隊贏得該回合。
B隊1號球員發球。
如果第5步中的B隊贏得該回合，則B隊得1分，由同一人再次發球。此規則持續到A隊贏得該回合。
B隊2號球員發球。
如果第5步中的B隊贏得該回合，則B隊得1分，由同一人再次發球。此規則持續到A隊贏得該回合。
A隊1號球員發球。
如果第7步中的A隊贏得該回合，則該隊得一分，由同一人再次發球。此規則持續到B隊贏得該回合。
回到規則3。

請注意，接發球隊無法得分。他們正在努力奪回發球權。

更簡潔的解釋是，同一個人發球，每贏一局得一分，直到對手贏得一局。接發球隊不得分。當發球輪從一隊換到另一隊時，發球球隊的兩名球員都有機會發球。為了提高賠率，比賽從其中一隊的第二個球員開始發球。如此循環，直到任何一隊至少獲得11分，且淨勝球數至少為2分。

話雖如此，我的答案是發球隊獲勝的機率是0.499999997522。這個問題是用馬可夫鏈解決的。

這個問題是在我的Wizard of Vegas論壇中提出並討論的。

假設我們有一個彩票，其中從 1 到 54 的範圍內隨機抽取 6 個球。在 50 次抽獎中，至少有 1 個球未被抽出的機率是多少？

KevinAA

答案是 0.140150159777671。

[劇透=解]

首先，我們可以問一下，在 50 次抽獎中，某個特定號碼未被選中的機率是多少。答案是 (combin(53,6)/combin(54,6)) ⁵⁰ = (8/9) ⁵⁰ = 0.002769325。

要計算 50 次抽獎中沒有任何號碼被叫出的機率，將上面的數字乘以 54：54 × 0.002769325 = 0.149543533246569。

然而，這是重複計算的情況，即在50場比賽中有兩個號碼未被叫出。 50場比賽中兩個特定號碼未被叫出的機率為 (combin(52,6)/combin(54,6)) ⁵⁰ = 0.788260 ⁵⁰ = 0.00000681512。從54球中選擇任兩球的方法有 combin(54,2)=1431 種。因此，50場比賽中任兩球未被叫出的機率為 1431 × (combin(52,6)/combin(54,6)) ⁵⁰ = 0.009752432。

所以，現在我們得到的是 0.149543533246569 - 0.009752431939662 = 0.139791101306907。

然而，上述重複計算調整會計算50場比賽中有三個號碼未被叫出的情況。此機率為：combin(54,3)*(combin(51,6)/combin(54,6)) ⁵⁰ = 0.000367891216781。

因此，現在我們的結果是 0.149543533246569 - 0.009752431939662 + 0.000367891216781 = 0.140158992523688。

我們不斷地這樣做，交替進行加減運算。 Excel 只能處理大約 15 位有效數字，所以我們只需要處理 8 個缺少的數字，就能確保結果在 15 位有效數字範圍內。

最終機率為0.140150159777671。

[/spoiler]

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

假設某事件發生的公平賠率是 6.3 比 1。體育博彩公司以 6 比 1 的賠率提供此賭注。如果他們想押注受歡迎的球隊獲勝，而莊家優勢與弱勢球隊相同，那麼應該提供多少賠率？

anonymous

如果公平賠率是 6.3 比 1，那麼獲勝的機率就是 1/7.3。

押注弱隊的賠率為 6 比 1，相當於 7 比 1。因此預期贏額 = 7/7.3 = 70/73 = 0.958904。

熱門球隊獲勝的機率是 6.3/7.3 = 63/73。