請問巫師 #416
一個游泳池裡裝滿了鹽水。一條軟管以恆定的速率將淡水注入游泳池。當淡水流入時，水以相同的速率從另一端流出。當與游泳池體積相等的水量注入游泳池後，剩餘的鹽水比例是多少？
[劇透=答案]1/e = 36.7979% [/劇透]
這是我的解決方案（PDF）。
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最佳策略是什麼？遵循該策略的預期效益是多少？
設 x = 您將接受的最小值。
x 的平均值是 (20+x)/2。
您接受任何給定報價的機率是 (20-x)/20。
您將拒絕的平均報價數量是 1/((20-x)/20) = 20/(20-x)。
令 f(x) = 平均最終勝利 = (20+x)/2 - 20/(20-x)。
要找出最大勝利，當 f'(x)=0 時解出 x。
f'(x) = 1/2 - 20/(20-x)^2 = 0
20/(x^2 - 40x + 400) = 1/2
x^2 - 40x + 400 = 40
x^2 - 40x + 360 = 0
使用二次公式求解 x...
x = (40 - 4*sqrt(10))/2 = 20 - 2*sqrt(10) = 13.67544468。
這使得平均勝利 (20 + 13.67544468)/2 - 20/(20-13.67544468) =~ 14.675445。
[劇透]sqrt(3-x) = 3-x 2
解出 x。
[劇透=答案] x = -1, 2, (sqrt(13)-1)/2, -(sqrt(13)+1)/2 [/劇透]
[劇透=解]計算兩邊的平方，得到 3-x = x 4 - 6x 2 + 9
f(x) = x 4 - 6x 2 + x + 6 = 0
接下來，使用有理根定理來找出 x 的一個因子。
可能的根是 x = +/- (1/1, 2/1, 3/1, 6/1)
如果 x=-1，則 f(x) = 0。所以 (x+1) 是因數。
x 4 - 6x 2 + x + 6 = (x+1)(x 3 - x 2 -5x + 6)
再應用有理根定理，我們得到 x = +/- (1/1, 2/1, 3/1, 6/1) 的可能根。
經過反覆試驗，我們發現 x=2 是解。因此 (x-2) 是一個因式。
x 3 - x 2 -5x + 6 = (x-2)(x 2 + x + 3)
使用二次公式解 x 2 + x + 3 = 0，我們得到 x = (-1 +/- sqrt(13))/2。
因此，所有解均為 x = -1, 2, (-1 + sqrt(13))/2, (-1 - sqrt(13))/2。
[劇透]