請問巫師 #414

有人向我挑戰，要我打以下的賭。我們會擲一對六面骰子，直到以下兩個事件之一發生：

如果兩個7先出現，我就能贏，而且賠率相同。既然7是最有可能出現的，那我難道沒有優勢嗎？不過，我懷疑這裡面有陷阱。誰佔了優勢？

anonymous

對方佔了上風。以下是擲出每個點數的機率：

實現機率為 p 的事件的平均等待時間為 1/p。

擲出總數 7 的機率是 1/6。因此，平均需要擲 6 次才能擲出總數 7。如果擲出兩個 7，則平均需要擲 12 次。

擲出總數 6 或 8 的機率為 (5/36) + (5/36) = 10/36。請注意，6 和 8 的出現順序可以任意。因此，擲出 6 或 8 的機率為 1/(10/36) = 36/10 = 3.6。

一旦第一個總數在6和8之間，獲得另一個的機率是5/36。等待第二個事件的時間是1/(5/36) = 36/5 = 7.2次。

因此，擲出6和8（無論順序為何）的預期賠率為3.6 + 7.2 = 10.8。這小於擲出兩個7的預期賠率12。因此，擲出6和8是此賭注中較好的選擇。

擲一個二十面體（20面骰）。玩家可以選擇保留擲出的美元數，也可以支付1美元再次擲骰子。玩家可以無限重複此動作。玩這個遊戲的正確策略和合理價格是什麼？

anonymous

假設玩家能接受的最低擲點數是 r。

一旦實現該目標，平均結果將是 (20+r)/2。

任何一次擲骰子達到目標的機率是 (21-r)/20。因此，達到目標的預期擲骰子次數是其倒數，即 20/(21-r)。

因此，如果目標是擲出 r，預期贏利為 (20+r)/2 - 20/(21-r)。以下是一些 r 合理取值對應的預期贏利。

因此，我們認為預期贏利最大化為 15.17 美元，目標是擲出 15 或更高。

本題改編自 Presh Talwalkar 所著《數學謎題》第三卷第22 題。書中使用了一個 100 面的骰子。

在網球比賽中，假設發球方贏得任一分的機率為 p。如果比數是 Ad-Out、Deuce 或 Ad-In，發球方贏得比賽的機率是多少？

anonymous

為了方便其他讀者理解，在網球比賽中，選手必須贏兩分才能贏得比賽。落後一分稱為“Ad Out”（出局），領先一分稱為“Ad In”（入局）。

讓我們創建一些術語。

從這裡我們可以形成一個馬可夫鏈，如下：

讓我們試著解 b，將上面的第一個和第三個方程式代入第二個方程式：

b = p(p + (1-p)b) + (1-p)pb

b = p ² + pb - p ² b + pb - p ² b

一些簡單的代數運算可以得出...

b = ^p² /(1-2p+ ^2p² )

從那裡可以很容易地使用第一個和第三個公式來找到 a 和 c。

下表顯示了 p 在不同值時三個可能階段的機率。