請問巫師 #410
我看到您在「問問巫師」欄位第115期「價格猜猜猜」欄位中回答了一個關於Plinko遊戲的問題。不過，他們有時會根據特殊節目調整獎金金額。例如，在「巨額獎金週」節目中，獎金從左到右依序為500美元、1000美元、2500美元、0美元、200000美元、0美元、2500美元、1000美元、500美元。那麼，冰球從哪個位置落下的預期價值是多少？在給定的起始位置，冰球落入任意指定獎品的機率是多少？
冰球的起始位置有九個。不過，我們只需要關注其中五個，因為獎品和棋子佈局是對稱的。讓我們從左邊緣開始，依序從1到5標記它們。
還有九個結束位置，讓我們從左邊開始，將前五個標記為 1 到 5。
下表顯示了根據掉落位置（頂行）落在任何給定位置（左列）的機率。
| 著陸點 | 掉落 1 或 9 | 掉落 2 或 8 | 掉落 3 或 7 | 掉落 4 或 6 | 掉落 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 或 9 | 0.225586 | 0.193359 | 0.121094 | 0.056641 | 0.032227 |
| 2 或 8 | 0.386719 | 0.346680 | 0.250000 | 0.153320 | 0.113281 |
| 3 或 7 | 0.242188 | 0.250000 | 0.257813 | 0.250000 | 0.242188 |
| 4或6 | 0.113281 | 0.153320 | 0.250000 | 0.346680 | 0.386719 |
| 5 | 0.032227 | 0.056641 | 0.121094 | 0.193359 | 0.225586 |
| 全部的 | 1.000000 | 1.000000 | 1.000000 | 1.000000 | 1.000000 |
下表顯示了您詢問的「巨額獎金週」中各個投擲位置的預期價值。不出所料，玩家應該投擲冰球方向，以獲得最高獎金。
| 投放地點 | 預期勝利 |
|---|---|
| 1 或 9 | 7,550.29 美元 |
| 2 或 8 | 12,396.48 美元 |
| 3 或 7 | 25,173.83 美元 |
| 4或6 | 39,478.52 美元 |
| 5 | 45,852.05 美元 |
加布里埃爾號角悖論是什麼？
首先考慮由方程式 y=1/x 得到的曲線，其中 x 的值範圍為 1 到無限大。當 x 的取值範圍達到 17 時，曲線將如下所示。
接下來，想像一下這條曲線繞著 x 軸旋轉。它會形成一個像號角一樣的形狀，末端無限長。這就是數學家所說的加布里埃爾號角？
圖片來源：數學之魂。
接下來，考慮一下有關加百列號角的問題：
- 音量是多少？
- 表面積是多少？
以下是答案：
[劇透=答案]- 體積 = π = pi。
- 表面積=無窮大
您可以在此處（PDF）找到我展示這些問題答案的作品。
這個悖論的本質是：體積怎麼會是有限的，而表面積卻無限呢？
當我們混淆二維和三維時，就會出現這種可感知的悖論。我們不應該這樣做。考慮半徑為 1 的圓 A 和半徑為 1.1 的圓 B，其中圓 A 位於圓 B 內。
圓 A 的周長為 2*pi =~= 6.283185，圓 B 的面積為 1.1^2 * pi =~ 3.801327。注意，圓 B 比圓 A 大，但其面積小於圓 B 的周長。這並不表示圓 B 的周長是圓 A 面積的一部分。面積和周長是不同維度上的不同測量值，不應進行比較。
另一種看待這個問題的方式是，如果我們用圓圈 A 製作一張具有無限多個凹槽的唱片，那麼這些凹槽的長度將是無限的。
回到加百利號角，考慮將其簡化為半徑為 1、1/2、1/3、1/4 的圓的離散情況...
這些圓的體積總和為 pi*(1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ...)。有一個著名的無窮級數：
1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... = pi^2/6 =~ 1.644934。
再增加一個 pi 項，圓的面積總和為 pi^3/6 =~ 5.167713。
同時，圓週長總和為 2*pi(1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)。
數學中另一個著名的無窮級數稱為調和級數，其意義為：
1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... = ∞ = 無限大。
2*pi*∞ 仍等於 ∞。
如果我們將這個邏輯擴展到圓圈之間無限小的距離，我們就會得到加百利號角。
內森買了100磅豆子。這些豆子的重量中99%是水。她把豆子放在陽光下曬乾。第二天，她發現豆子中98%是水。它們新的重量是多少？
讓：
- w = 原始水重量。
- w' = 豆子乾燥後的水分重量。
- x = 豆子中其他所有物質的重量。
第一天我們得到：
w + x = 100
w/(w+x) = 0.99
將第一個方程式代入第二個方程式：
含100 = 0.99
w = 99
因此，x=1。
第二天，我們得到：
w'/(w'+x) = 0.98
w' = 0.98*(w'+x)
0.02w' = 0.98x
我們知道 x=1 所以：
0.02w' = 0.98
w' = 0.98/0.02 = 49
第二天的總重量為x+w'=1+49=50。
[劇透]