請問巫師 #406
假設沒有莊家優勢，那麼 Crash 遊戲中崩潰的平均時間是多少？
為了方便其他讀者， Crash是一款在網路賭場（尤其是基於加密貨幣的賭場）中很受歡迎的遊戲。遊戲的玩法是玩家下注，然後一架飛機或火箭從地面起飛。每隔幾分之一秒，高度就會增加一小個百分點。玩家可以隨時彈射，並根據物體的高度贏得獎勵。然而，隨著物體每上升幾分之一秒，它也可能會墜毀。如果物體在玩家彈射之前墜毀，玩家就輸了。
也就是說，假設沒有莊家優勢，達到的平均高度是 1/ln(2) =~ 1.442695041。
在奧馬哈和德州撲克拿到同花大順的機率是多少？
為了其他讀者的利益，這裡列出了可以在這兩款遊戲中使用的卡片。
- 德州撲克－玩家可以組成由兩張底牌和五張公共牌組成的最佳牌型。玩家可以使用這七張牌中的任五張。
- 奧馬哈 - 玩家必須使用四張底牌中的兩張以及五張公共牌中的三張。
使用 Excel 公式，這是每場比賽的機率。
- 德州撲克 -- 4*COMBIN(47,2)/COMBIN(52,7) =~ 30,940 中的 1
- 奧馬哈 -- 4*COMBIN(5,2)*COMBIN(47,2)*COMBIN(45,2)/(COMBIN(52,4)*COMBIN(48,5)) =~ 10,829 中的 1
您對遊戲節目 Lucky 13 中的策略有什麼建議？
為了其他讀者的利益，這裡制定了以下規則。
- 玩家將被問到 13 個是非題。
- 之後，玩家需要選擇他認為自己答對的題目數範圍。如果答案在這個範圍內，他將根據下表獲勝。
- 如果玩家正確猜出他答對了多少，還可以獲得 25,000 美元的獎金。
- 主持人沙奎爾可以隨時提供投降價值。
圖片來源： ABC出版社
| 範圍校正 | 贏 |
| 十三 | 100萬美元 |
| 10到12 | 10萬美元 |
| 7到9 | 25,000美元 |
| 4至6 | 15,000美元 |
| 1 至 3 | 5,000 美元 |
下表顯示了最大化預期值的策略。例如，如果玩家認為自己能答對9.5，那麼他應該選擇10到12的範圍。雖然9.5不在該範圍內，但預期值大於7到9的範圍，因為獲勝機率是7到9的4倍。
| 估計正確 | 最佳範圍 |
| 10.62至13 | 13美元 |
| 7.66至10.62 | 10到12 |
| 5.83至7.66 | 7到9 |
| 2.54至5.83 | 4至6 |
| 0 至 2.54 | 1 至 3 |
至於退約報價，我每次看節目的時候，報價都很低，大概只有預期價值的一半。我建議直接對歐尼爾說「不」。
在這段 YouTube 影片中，Matt Parker 聲稱橫向賓果遊戲比縱向賓果遊戲更容易中獎。這是正確的嗎？
在他的影片中，馬特驗證了亞瑟·本傑明 (Arthur Benjamin)、約瑟夫·基森韋瑟 (Joseph Kisenwether) 和本·韋斯 (Ben Weiss) 在文章《賓果悖論》中提出的這個問題的一個要素。
假設一個沒有空位且沒有對角線獲勝的簡化遊戲，他們都認為，如果抽球直到 (1) 每列至少有一個球或 (2) 一列有五個球，以下是哪個情況首先發生的機率。
- 每列至少有一個球（可能的水平賓果）= 0.751779。
- 任一列抽取五個球（可能出現垂直賓果）= 0.248221。
我已經算過了，我同意這個說法。不過，即使有可能出現賓果，也不代表在一般遊戲中一定會出現賓果。
在我開始之前，只有一張賓果卡，第一個賓果是水平或垂直的機率正好是 50/50。
然而，如果牌的數量有限，而且只有獲勝的牌才算數，那麼情況就不是這樣了。
為了方便分析，我假設每張可能的賓果牌都剛好有一張。也就是說，賓果牌的總數是 6,076,911,214,672,420,000,000,000,000 張。
若多張牌同時形成賓果，則每次獲勝的次數均等。
假設先出現垂直賓果，我給出任一張牌獲勝的機率是 1/3003 =~ 0.000333。假設先出現水平賓果，我給出任一張牌獲勝的機率是 1/8294 =~ 0.000121。
下表列出了第一個可能的賓果牌類型以及任何給定牌型出現賓果牌的機率。右列顯示，假設有人叫出賓果牌，則賓果牌為水平方向的機率為 52.3%。
| 賓果 | 可能機率 | 隨機卡片獲勝機率 | 產品 | 比率 |
| 水平的 | 0.751779 | 0.000121 | 0.000091 | 0.523040 |
| 垂直的 | 0.248221 | 0.000333 | 0.000083 | 0.476960 |
| 全部的 | 1.000000 | 1.000000 |
我知道我的 52.3% 與論文中引用的 2 比 1 的比例不同，但這是基於對 1,000 張紙牌遊戲的模擬，我不知道他們如何同時計算多個賓果遊戲。
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。