請問巫師 #405
x 2 - 3 = sqrt(x+3)。解出 x。
設 y = 兩個表達式。因此，我們有：
- y = x^2 - 3
- y = 平方根（x + 3）
注意兩個表達式中的 3。讓我們將兩個等式都表示為一邊帶 3。首先我們有：
3 = x^2 - y
接下來，讓我們對上面的第二個方程式求平方：
y^2 = x+3
3 = y^2 - x
讓我們將 3 的兩個表達式相等：
x^2 - y = y^2 - x
讓我們重新排列一下：
x^2 - y^2 + x - y = 0
(x+y)(xy) + x - y = 0
(xy)(x+y+1) = 0
首先讓我們檢查 xy = 0：
xy = 0
讓我們用 y = x^2 - 3 來代替 y。
x - (x^2 - 3) = 0
x^2 - x - 3 = 0
使用勾股定理公式：
x = (1 +/- 平方根(1 + 12)/2
x = (1 + sqrt(13)/2 & x = (1 - sqrt(13)/2
其次，讓我們檢查 x+y+1 = 0：
讓我們用 y = x^2 - 3 來代替 y。
x + (x^2 - 3) + 1 = 0
x + x^2 - 3 + 1 = 0
x^2 + x - 2 = 0
使用勾股定理公式：
x = (-1 +/- 平方根(1 + 8)/2
x = (-1 +/- 3)/2
x = 1, x = -2
因此，我們的四個答案是：
- x = 1
- x = -2
- x = (1 + sqrt(13)/2 =~ 2.302776
- x = (1 - sqrt(13)/2 =~ -1.302776
感謝 SyberMath 的 YouTube 影片「求解 x^2-3=sqrt(x+3)」提供了這個解題方法。請跳轉至 6:28 查看此方法。
半徑為 1 的圓外一點可以看到圓週的 1/3。該點距離圓有多遠？
[spoiler=解決方案] 考慮此圖表以獲得解決方案。
考慮三角形ADE。我們知道：
- 角ADE為90度，因為AD與圓相切。
- 角 AED 為 60 度，因為 E 處的綠色三角形角為 120 度（整個 360 度的 1/3）。
- 角 EAD 必定是三角形 ADE 的另外 30 度。
這是經典的 30-60-90 三角形。我們都知道，這個三角形的邊長分別與 1、2 和 sqrt(3) 成比例。
在這種情況下，ED = 1，如問題中給出的。 AE 是該距離的兩倍，即 2。
2 給出的是該點到圓心的距離。我們被要求計算該點到圓上最近點的距離。因此，我們減去半徑。因此，答案是 2-1 = 1。
[劇透]
鮑伯和湯姆正走過一座火車橋，距離出發點還有三分之一的路程。這時，他們聽到身後駛來一列火車。兩人都能以每小時5英里的速度奔跑。鮑伯轉身，湯姆向前跑去。兩人都與火車擦肩而過，只差不到一秒。火車的速度是多少？
記住距離 = 速率 * 時間，我們將其表示為 d = r * t
重寫為：t = d/r。
鮑伯和火車在橋的起點相遇的時間是相同的：
讓我們：
- x = 火車最初與橋樑起點之間的距離。
- r = 火車速度
首先，我們來看看跑回來的鮑伯。讓我們來表示一下鮑伯和火車在橋頭相遇的時間 t：
鮑伯：t = (1/3)/5
訓練：t = x/r
將 t 的兩個表達式相等：
(1/3)/5 = x/rr/3 = 5倍
r = 15x
其次，我們來看看湯姆，他跑在前面。我們把湯姆和火車在橋頭相遇的時間t表示為：
湯姆：t = (2/3)/5
訓練：t = (1+x)/r
將 t 的兩個表達式相等：
（2/3）/5 = （1 + x）/ r
2r/3 = 5(1+x)
2r = 15(1+x)
2r = 15 + 15x
此時我們有：
- r = 15x
- 2r = 15 + 15x
我們將第一個方程中 r 的表達式代入第二個方程：
30倍=15+15倍
15x = 15
x = 1
回想一下，r = 15x。
因此，火車的速度為 15*1 = 15 英里/小時。