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請問巫師 #404

吃石頭遊戲（有時稱為“吃石頭”或“中國尼姆”）的最佳策略是什麼？

anonymous

為了其他讀者的利益，讓我解釋一下 Tsyan Shizi 的規則。

  1. 遊戲從兩堆大小不等的石頭開始。
  2. 玩家將輪流進行。
  3. 每次輪流從任意一堆中取出任意數量的石頭，或從兩堆中取出相同數量的石頭。
  4. 移除最後一塊石頭的玩家獲勝。

請考慮下表來了解我的策略。

不同之處玩
0全部
1 1,2
2 3.5
3 4,7
4 6,10
5 8,13
6 9,15
7 11,18
8 12,20
9 14,23
10 16,26

如需查看最多 89 個差異的更長表格，請點擊下面的劇透框。

[劇透=較長的表格] 樣式="寬度：500px;">不同之處玩0全部1 1,2 2 3.5 3 4,7 4 6,10 5 8,13 6 9,15 7 11,18 8 12,20 9 14,23 10 16,26 11 17,28 12 21,33十三22,35 14 24,38 15 25,40 16 29,45 17 30,47 18 32,50 19 33,52 20 35,55 21 37,58 22 38,60 23 42,65 24 43,67二十五45,70二十六46,72二十七55,82二十八56,84二十九58,87三十59,89 31 63,94三十二64,96 33 66.99三十四67,101三十五76,111三十六77,113三十七79,116三十八80,118三十九84,123 40 85,125 41 87,128四十二88,130 43 90,133四十四92,136 45 93,138 46 97,143四十七98,145四十八100,148 49 101,150 50 110,160 51 111,162 52 113,165 53 114,167 54 118,172 55 119,174 56 121,177 57 122,179 58 144,202 59 145,204 60 147,207 61 148,209 62 152,214 63 153,216 64 155,219 65 156,221 66 165,231 67 166,233 68 168,236 69 169,238 70 173,243 71 174,245 72 176,248 73 177,250 74 199,273 75 200,275 76 202,278 77 203,280 78 207,285 79 208,287 80 210,290 81 211,292 82 220,302 83 221,304 84 223,307 85 224,309 86 228,314 87 229,316 88 231,319 89 232,321 [劇透]

這是我的策略，基於上表。

  1. 注意兩堆石頭之間的差異。
  2. 對於十或更少的差異，請參考上面的表格來決定如何玩。
  3. 如果根據上表，兩堆石頭都有足夠的石頭可以玩，則從兩堆石頭中移除相同數量的石頭，以達到「玩」列中的狀態。
  4. 如果兩堆石頭都不足以按照上表進行遊戲（例如，6 和 11），則從其中一堆石頭中取出石頭，以達到上表所示的任意狀態。例如，6 和 11，則從 11 堆中取出 1 塊，以達到 10,6 的狀態。
  5. 唯一的另一種可能性是你確實處於上述狀態之一。如果與一位高手對局，你就完蛋了，因為無論你做什麼，他都能迫使你再次陷入失敗的局面。如果與一位高手對局，我建議你從任何一堆中各拿一顆石子，這樣你的對手就有更多機會搞砸局面。

在多人電玩撲克遊戲中，以 9/6 Jacks or Better 贏得大獎（贏得 1,200 美元或更多）的機率是多少？

anonymous

當然，這取決於面額和遊戲次數。下表顯示了這些機率。

多人視訊撲克中的累積獎金機率

面值3 玩5 玩10 玩25 玩50次播放100次播放
0.01 美元0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000001 0.000001
0.05 美元0.000000 0.000000 0.000001 0.000001 0.000002 0.000022
0.10 美元0.000001 0.000001 0.000002 0.000006 0.000047 0.000378
0.25 美元0.000002 0.000003 0.000008 0.000053 0.000369 0.000556
0.50 美元0.000070 0.000115 0.000238 0.000782 0.001247 0.008527
1.00 美元0.000070 0.000128 0.000473 0.000786 0.009518 0.072671
2.00 美元0.000083 0.000363 0.000488 0.010002 0.070029 0.239753
5.00 美元0.000720 0.001290 0.012978 0.100374 0.318838 0.768839
25.00 美元0.041494 0.124818 0.348811 0.835708 0.995943 0.999983

表格取自我的視訊撲克附錄 2 ，其中我展示了玩家在大型模擬中獲得每次總勝利的頻率。

湖面上有十片排成一列的葉狀葉子。第十片葉狀葉子上有一隻蒼蠅，岸邊的一隻青蛙想吃它。青蛙只能朝一個方向跳躍，每次跳躍可以前進一到兩片葉狀葉子。青蛙會落在多少組不同的葉狀葉子上？注意，青蛙必須落在第十片葉狀葉子上才能吃掉蒼蠅。

anonymous

讓我們將這個問題簡化為一個 lillipad，然後一次添加一個，以嘗試找到一種模式。

如果只有一個 lillipad，那麼答案顯然是 1。

如果有兩個小葉子，那麼青蛙可以選擇跳到途中的第一個小葉子上，也可以選擇跳過它，總共可以跳 2 組小葉子。

如果有三片小葉子，那麼第一次跳躍可以讓青蛙前進一片或兩片葉子。也就是說，它前進的葉子要不是一片，就是兩片。我們已經知道，前進一片葉子只有一種方式，前進兩片葉子有兩種方式。加上第一步的選擇，總共有 1+2 = 3 組。

如果有四片葉子，那麼第一次跳躍可以讓青蛙前進一片或兩片葉子。這樣它就前進了兩片葉子或三片葉子。我們已經知道，前進兩片葉子有兩種方法，前進三片葉子有三種方法。加上第一步的選擇，總共有 2+3 = 5 組。

如果有五片葉子，那麼第一次跳躍可以讓青蛙前進一片或兩片葉子。這樣它就前進了三片或四片葉子。我們已經知道，前進三片葉子有3種方法，前進四片葉子有5種方法。加上第一步的選擇，一共有3+5=8組。

這是遵循斐波那契數列的。下面的清單顯示了有 89 種方法可以落在第 10 個墊子上。

  • 1 個墊片 = 1 種方式。
  • 2 個墊片 = 2 種方式。
  • 3 個墊子 = 3 種方法。
  • 4 個墊子 = 5 種方式。
  • 5 個墊片 = 8 種方式。
  • 6 個墊片 = 13 種方式。
  • 7 個墊子 = 21 種方式。
  • 8 個焊盤 = 34 種方式。
  • 9 個墊子 = 55 種方式。
  • 10 個墊子 = 89 種方式。