請問巫師 #403

有一條1公尺長的橡皮筋，一端有一隻螞蟻，螞蟻以每秒1公分的速度往另一端移動。從螞蟻開始移動開始，橡皮筋以每秒1公尺的速度膨脹。螞蟻需要多長時間才能到達另一端？

anonymous

答案是 e ¹⁰⁰ – 1 =~ 26,881,171,418,161,400,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 秒。

直徑 1 公分的圓上有一隻螞蟻。從時間 t=0 開始，螞蟻以 1/(1+t) 公分/秒的速率沿著圓週移動。它轉一圈需要多長時間？

Ace2

e^pi -1 =~ 22.140693 秒。

[劇透=解]

螞蟻可以覆蓋π的距離。

計算總行駛距離的方法是將速度與時間積分。設答案為T。

從 0 到 T 的積分 1/(1+t) dt = pi。

積分後，我們得到：

ln(1+T) - ln(1+0) = π

ln(1+T) = π

1+T = e^pi

T = e^pi - 1

[/spoiler]

洗好的牌堆裡，一張一張地翻開牌，直到出現第一張皇后。下一張牌比較有可能是黑桃皇后還是黑桃國王？

anonymous

我承認我最初對這個問題的回答是錯誤的。

機率是一樣的。

[劇透=解]

下表顯示了一副牌中任意位置出現第一張皇后，然後是黑桃皇后的機率。右下角單元格顯示，第一張皇后之後的牌是黑桃皇后的機率為 0.019231 = 1/52。

位置第一任女王	可能性第一任女王	機率下一步黑桃Q	產品
1	0.076923	0.014706	0.001131
2	0.072398	0.001086	0.001086
3	0.068054	0.001042	0.001042
4	0.063888	0.000998	0.000998
5	0.059895	0.000956	0.000956
6	0.056072	0.000914	0.000914
7	0.052415	0.000874	0.000874
8	0.048920	0.000834	0.000834
9	0.045585	0.000795	0.000795
10	0.042405	0.000757	0.000757
11	0.039376	0.000720	0.000720
12	0.036495	0.000684	0.000684
十三	0.033758	0.000649	0.000649
14	0.031161	0.000615	0.000615
15	0.028701	0.000582	0.000582
16	0.026374	0.000549	0.000549
17	0.024176	0.000518	0.000518
18	0.022104	0.000488	0.000488
19	0.020153	0.000458	0.000458
20	0.018321	0.000429	0.000429
21	0.016604	0.000402	0.000402
22	0.014997	0.000375	0.000375
23	0.013497	0.000349	0.000349
24	0.012101	0.000324	0.000324
二十五	0.010804	0.000300	0.000300
二十六	0.009604	0.000277	0.000277
二十七	0.008496	0.000255	0.000255
二十八	0.007476	0.000234	0.000234
二十九	0.006542	0.000213	0.000213
三十	0.005688	0.000194	0.000194
31	0.004913	0.000175	0.000175
三十二	0.004211	0.000158	0.000158
33	0.003579	0.000141	0.000141
三十四	0.003014	0.000126	0.000126
三十五	0.002512	0.000111	0.000111
三十六	0.002069	0.000097	0.000097
三十七	0.001681	0.000084	0.000084
三十八	0.001345	0.000072	0.000072
三十九	0.001056	0.000061	0.000061
40	0.000813	0.000051	0.000051
41	0.000609	0.000042	0.000042
四十二	0.000443	0.000033	0.000033
43	0.000310	0.000026	0.000026
四十四	0.000207	0.000019	0.000019
45	0.000129	0.000014	0.000014
46	0.000074	0.000009	0.000009
四十七	0.000037	0.000006	0.000006
四十八	0.000015	0.000003	0.000003
49	0.000004	0.000001	0.000001
全部的	1.000000	0.019231	0.019231

下表顯示了一副牌中任意位置出現第一張皇后牌，然後是黑桃 K 牌的機率。右下角單元格顯示，第一張皇后牌之後的牌是黑桃 K 的機率為 0.019231 = 1/52。

位置第一任女王	可能性第一任女王	機率下一步黑桃Q	產品
1	0.076923	0.019231	0.001479
2	0.072398	0.019231	0.001392
3	0.068054	0.019231	0.001309
4	0.063888	0.019231	0.001229
5	0.059895	0.019231	0.001152
6	0.056072	0.019231	0.001078
7	0.052415	0.019231	0.001008
8	0.048920	0.019231	0.000941
9	0.045585	0.019231	0.000877
10	0.042405	0.019231	0.000815
11	0.039376	0.019231	0.000757
12	0.036495	0.019231	0.000702
十三	0.033758	0.019231	0.000649
14	0.031161	0.019231	0.000599
15	0.028701	0.019231	0.000552
16	0.026374	0.019231	0.000507
17	0.024176	0.019231	0.000465
18	0.022104	0.019231	0.000425
19	0.020153	0.019231	0.000388
20	0.018321	0.019231	0.000352
21	0.016604	0.019231	0.000319
22	0.014997	0.019231	0.000288
23	0.013497	0.019231	0.000260
24	0.012101	0.019231	0.000233
二十五	0.010804	0.019231	0.000208
二十六	0.009604	0.019231	0.000185
二十七	0.008496	0.019231	0.000163
二十八	0.007476	0.019231	0.000144
二十九	0.006542	0.019231	0.000126
三十	0.005688	0.019231	0.000109
31	0.004913	0.019231	0.000094
三十二	0.004211	0.019231	0.000081
33	0.003579	0.019231	0.000069
三十四	0.003014	0.019231	0.000058
三十五	0.002512	0.019231	0.000048
三十六	0.002069	0.019231	0.000040
三十七	0.001681	0.019231	0.000032
三十八	0.001345	0.019231	0.000026
三十九	0.001056	0.019231	0.000020
40	0.000813	0.019231	0.000016
41	0.000609	0.019231	0.000012
四十二	0.000443	0.019231	0.000009
43	0.000310	0.019231	0.000006
四十四	0.000207	0.019231	0.000004
45	0.000129	0.019231	0.000002
46	0.000074	0.019231	0.000001
四十七	0.000037	0.019231	0.000001
四十八	0.000015	0.019231	0.000000
49	0.000004	0.019231	0.000000
全部的	1.000000		0.019231

我承認我最初的反應是黑桃K的可能性更大，因為第一張Q是黑桃Q的機率是1/4，在這種情況下，再次看到它的機率為零。然而，機率相同的簡單原因是，當第一張Q出現時，牌堆裡有很多Q。換句話說，在出現第一張Q之前，一堆隨機牌被抽走了，這些牌可能是K，但不是其他Q。

在“Mind Your Decisions”影片（請參閱下面的連結）中對此進行了解釋，如下所示。

除黑桃皇后外，所有牌共有 51! 種排列方式。如果將黑桃皇后直接放在第一張皇后前面，仍有 51! 種排列方式。用這個數字除以 52! 種可能的排列方式，黑桃皇后跟在第一張皇后後面的機率就是 51!/52! = 1/52。

您可以做同樣的事情，只是省略黑桃 K，然後將其放在第一個皇后前面，仍然得到 1/52。

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該問題來自Mind Your Decisions YouTube 頻道。