請問巫師 #403
有一條1公尺長的橡皮筋,一端有一隻螞蟻,螞蟻以每秒1公分的速度往另一端移動。從螞蟻開始移動開始,橡皮筋以每秒1公尺的速度膨脹。螞蟻需要多長時間才能到達另一端?
這是我的解決方案(PDF)。
直徑 1 公分的圓上有一隻螞蟻。從時間 t=0 開始,螞蟻以 1/(1+t) 公分/秒的速率沿著圓週移動。它轉一圈需要多長時間?
螞蟻可以覆蓋π的距離。
計算總行駛距離的方法是將速度與時間積分。設答案為T。
從 0 到 T 的積分 1/(1+t) dt = pi。
積分後,我們得到:
ln(1+T) - ln(1+0) = π
ln(1+T) = π
1+T = e^pi
T = e^pi - 1
[劇透]洗好的牌堆裡,一張一張地翻開牌,直到出現第一張皇后。下一張牌比較有可能是黑桃皇后還是黑桃國王?
我承認我最初對這個問題的回答是錯誤的。
下表顯示了一副牌中任意位置出現第一張皇后,然後是黑桃皇后的機率。右下角單元格顯示,第一張皇后之後的牌是黑桃皇后的機率為 0.019231 = 1/52。
下一張牌黑桃皇后
位置 第一任女王 | 可能性 第一任女王 | 機率下一步 黑桃Q | 產品 |
---|---|---|---|
1 | 0.076923 | 0.014706 | 0.001131 |
2 | 0.072398 | 0.001086 | 0.001086 |
3 | 0.068054 | 0.001042 | 0.001042 |
4 | 0.063888 | 0.000998 | 0.000998 |
5 | 0.059895 | 0.000956 | 0.000956 |
6 | 0.056072 | 0.000914 | 0.000914 |
7 | 0.052415 | 0.000874 | 0.000874 |
8 | 0.048920 | 0.000834 | 0.000834 |
9 | 0.045585 | 0.000795 | 0.000795 |
10 | 0.042405 | 0.000757 | 0.000757 |
11 | 0.039376 | 0.000720 | 0.000720 |
12 | 0.036495 | 0.000684 | 0.000684 |
十三 | 0.033758 | 0.000649 | 0.000649 |
14 | 0.031161 | 0.000615 | 0.000615 |
15 | 0.028701 | 0.000582 | 0.000582 |
16 | 0.026374 | 0.000549 | 0.000549 |
17 | 0.024176 | 0.000518 | 0.000518 |
18 | 0.022104 | 0.000488 | 0.000488 |
19 | 0.020153 | 0.000458 | 0.000458 |
20 | 0.018321 | 0.000429 | 0.000429 |
21 | 0.016604 | 0.000402 | 0.000402 |
22 | 0.014997 | 0.000375 | 0.000375 |
23 | 0.013497 | 0.000349 | 0.000349 |
24 | 0.012101 | 0.000324 | 0.000324 |
二十五 | 0.010804 | 0.000300 | 0.000300 |
二十六 | 0.009604 | 0.000277 | 0.000277 |
二十七 | 0.008496 | 0.000255 | 0.000255 |
二十八 | 0.007476 | 0.000234 | 0.000234 |
二十九 | 0.006542 | 0.000213 | 0.000213 |
三十 | 0.005688 | 0.000194 | 0.000194 |
31 | 0.004913 | 0.000175 | 0.000175 |
三十二 | 0.004211 | 0.000158 | 0.000158 |
33 | 0.003579 | 0.000141 | 0.000141 |
三十四 | 0.003014 | 0.000126 | 0.000126 |
三十五 | 0.002512 | 0.000111 | 0.000111 |
三十六 | 0.002069 | 0.000097 | 0.000097 |
三十七 | 0.001681 | 0.000084 | 0.000084 |
三十八 | 0.001345 | 0.000072 | 0.000072 |
三十九 | 0.001056 | 0.000061 | 0.000061 |
40 | 0.000813 | 0.000051 | 0.000051 |
41 | 0.000609 | 0.000042 | 0.000042 |
四十二 | 0.000443 | 0.000033 | 0.000033 |
43 | 0.000310 | 0.000026 | 0.000026 |
四十四 | 0.000207 | 0.000019 | 0.000019 |
45 | 0.000129 | 0.000014 | 0.000014 |
46 | 0.000074 | 0.000009 | 0.000009 |
四十七 | 0.000037 | 0.000006 | 0.000006 |
四十八 | 0.000015 | 0.000003 | 0.000003 |
49 | 0.000004 | 0.000001 | 0.000001 |
全部的 | 1.000000 | 0.019231 | 0.019231 |
下表顯示了一副牌中任意位置出現第一張皇后牌,然後是黑桃 K 牌的機率。右下角單元格顯示,第一張皇后牌之後的牌是黑桃 K 的機率為 0.019231 = 1/52。
下一張牌 黑桃 K
位置 第一任女王 | 可能性 第一任女王 | 機率下一步 黑桃Q | 產品 |
---|---|---|---|
1 | 0.076923 | 0.019231 | 0.001479 |
2 | 0.072398 | 0.019231 | 0.001392 |
3 | 0.068054 | 0.019231 | 0.001309 |
4 | 0.063888 | 0.019231 | 0.001229 |
5 | 0.059895 | 0.019231 | 0.001152 |
6 | 0.056072 | 0.019231 | 0.001078 |
7 | 0.052415 | 0.019231 | 0.001008 |
8 | 0.048920 | 0.019231 | 0.000941 |
9 | 0.045585 | 0.019231 | 0.000877 |
10 | 0.042405 | 0.019231 | 0.000815 |
11 | 0.039376 | 0.019231 | 0.000757 |
12 | 0.036495 | 0.019231 | 0.000702 |
十三 | 0.033758 | 0.019231 | 0.000649 |
14 | 0.031161 | 0.019231 | 0.000599 |
15 | 0.028701 | 0.019231 | 0.000552 |
16 | 0.026374 | 0.019231 | 0.000507 |
17 | 0.024176 | 0.019231 | 0.000465 |
18 | 0.022104 | 0.019231 | 0.000425 |
19 | 0.020153 | 0.019231 | 0.000388 |
20 | 0.018321 | 0.019231 | 0.000352 |
21 | 0.016604 | 0.019231 | 0.000319 |
22 | 0.014997 | 0.019231 | 0.000288 |
23 | 0.013497 | 0.019231 | 0.000260 |
24 | 0.012101 | 0.019231 | 0.000233 |
二十五 | 0.010804 | 0.019231 | 0.000208 |
二十六 | 0.009604 | 0.019231 | 0.000185 |
二十七 | 0.008496 | 0.019231 | 0.000163 |
二十八 | 0.007476 | 0.019231 | 0.000144 |
二十九 | 0.006542 | 0.019231 | 0.000126 |
三十 | 0.005688 | 0.019231 | 0.000109 |
31 | 0.004913 | 0.019231 | 0.000094 |
三十二 | 0.004211 | 0.019231 | 0.000081 |
33 | 0.003579 | 0.019231 | 0.000069 |
三十四 | 0.003014 | 0.019231 | 0.000058 |
三十五 | 0.002512 | 0.019231 | 0.000048 |
三十六 | 0.002069 | 0.019231 | 0.000040 |
三十七 | 0.001681 | 0.019231 | 0.000032 |
三十八 | 0.001345 | 0.019231 | 0.000026 |
三十九 | 0.001056 | 0.019231 | 0.000020 |
40 | 0.000813 | 0.019231 | 0.000016 |
41 | 0.000609 | 0.019231 | 0.000012 |
四十二 | 0.000443 | 0.019231 | 0.000009 |
43 | 0.000310 | 0.019231 | 0.000006 |
四十四 | 0.000207 | 0.019231 | 0.000004 |
45 | 0.000129 | 0.019231 | 0.000002 |
46 | 0.000074 | 0.019231 | 0.000001 |
四十七 | 0.000037 | 0.019231 | 0.000001 |
四十八 | 0.000015 | 0.019231 | 0.000000 |
49 | 0.000004 | 0.019231 | 0.000000 |
全部的 | 1.000000 | 0.019231 |
我承認我最初的反應是黑桃K的可能性更大,因為第一張Q是黑桃Q的機率是1/4,在這種情況下,再次看到它的機率為零。然而,機率相同的簡單原因是,當第一張Q出現時,牌堆裡有很多Q。換句話說,在出現第一張Q之前,一堆隨機牌被抽走了,這些牌可能是K,但不是其他Q。
在“Mind Your Decisions”影片(請參閱下面的連結)中對此進行了解釋,如下所示。
除黑桃皇后外,所有牌共有 51! 種排列方式。如果將黑桃皇后直接放在第一張皇后前面,仍有 51! 種排列方式。用這個數字除以 52! 種可能的排列方式,黑桃皇后跟在第一張皇后後面的機率就是 51!/52! = 1/52。
您可以做同樣的事情,只是省略黑桃 K,然後將其放在第一個皇后前面,仍然得到 1/52。
[劇透]該問題來自Mind Your Decisions YouTube 頻道。