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請問巫師 #401

假設籃球比賽中半場投籃命中的機率是1%。那麼平均要投多少次才能連續三次？

任意機率和任意連續數字的一般公式是什麼？

seven

讓我們：

  • a=假設初始狀態或最後一次射擊失敗，則預計會有更多射擊。
  • b=假設最後一次投籃命中，預計還會有更多投籃。
  • c=假設最後兩次投籃命中，預期投籃次數會更多。

我們可以建立以下從一個狀態到另一個狀態的方程式：

a = 1 + 0.01b + 0.99a
b = 1 + 0.01c + 0.99a
c = 1 + (1-p)a

現在我們有三個方程式和三個未知數，所以我們可以解了。我比較喜歡矩陣代數。

無需贅述，解可以表示為 determ(A)/determ(B)。矩陣中的項取自上述三個方程式。

這個行列式比率的答案是 101010。

為了回答第二個問題，對於任何機率 p 和連續成功的次數 n，答案是：

(1/p)^n + (1/p)^(n-1) + (1/p)^(n-2) + ... + (1/p)^2 + (1/p)^1

在本題中，通用公式的答案為 100^3 + 100^2 + 100^1 = 1000000 + 10000 + 100 = 1010100

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

從一副牌中取出任意花色的13張牌。兩位邏輯學家，亞歷克斯和鮑勃，每人發一張牌。 2為小牌，A為大牌。每位邏輯學家都可以查看自己的牌。然後，亞歷克斯可以提議鮑伯換牌。如果鮑伯提出換牌，他可以接受或拒絕。兩位玩家的最佳策略應該是什麼？

anonymous

Alex 應該只給 2 分。 Bob 應該只給 2 分。

[劇透=解]

為了親自回答這個問題，我嘗試了各種策略，如下所示。

如果 Alex 以 4 或更低的點數切換，Bob 應該以 2 接受，並以 3 表示無所謂。 Bob 獲勝的機率為 56.7%。

如果 Alex 的牌面數字為 3 或更小，Bob 應該只用 2 來接受。 Bob 獲勝的機率為 53.3%。

如果 Alex 只用 2 換牌，Bob 應該始終拒絕該提議。 Bob 獲勝的機率為 50.0%。

模式是，Bob 在選擇換人時應該比 Alex 更挑剔。如果 Alex 用 3 或更高的數字換人，Bob 就能以更低的換人標準佔據優勢。 Alex 唯一能避免被擊敗的方法就是只用 2 換人。 Bob 明白這一點，如果有人提出換人，他絕對不會換人。因此，如果兩位邏輯學家參與遊戲，Alex 應該提出只用 2 換人。 Bob 應該永遠拒絕這個提議。

然而，萬一鮑勃拿到了 2 並且有人提出交換，鮑勃當然應該接受，因為他認為亞歷克斯要么讀錯了牌，要么不是真正的邏輯學家。

[/spoiler]

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

平均需要旋轉多少次輪盤才能看到一個數字重複出現？

anonymous

您沒有說出車輪的類型，但這裡有三種答案：

  • 單零 = 8.306669466
  • 雙零 = 8.408797212
  • 三零 = 8.509594851

下表顯示了三個輪子每次旋轉時第一次重複的機率。

重複次數的機率

旋轉單身的
零		雙倍的
零		三倍
零
1 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
2 0.0270270270 0.0263157895 0.0256410256
3 0.0525931337 0.0512465374 0.0499671269
4 0.0746253924 0.0728240268 0.0711070652
5 0.0914329132 0.0894330154 0.0875163879
6 0.1019353424 0.1000237672 0.0981754352
7 0.1057923554 0.1042352943 0.1027066091
8 0.1034096446 0.1024066049 0.1013898577
9 0.0958236089 0.0954768346 0.0950762036
10 0.0844931146 0.0847985044 0.0850200666
11 0.0710452616 0.0719051646 0.0726667236
12 0.0570282235 0.0582810281 0.0594376534
十三0.0437169674 0.0451747682 0.0465525677
14 0.0320000324 0.0334848063 0.0349144258
15 0.0223534530 0.0237240530 0.0250667672
16 0.0148879175 0.0160538705 0.0172161863
17 0.0094424270 0.0103646041 0.0113008813
18 0.0056941663 0.0063755953 0.0070811612
19 0.0032589823 0.0037306115 0.0042294718
20 0.0017665054 0.0020725619 0.0024039306
21 0.0009046116 0.0010908221 0.0012976683
22 0.0004364140 0.0005425405 0.0006638073
23 0.0001977062 0.0002542733 0.0003209618
24 0.0000837944 0.0001119289 0.0001462658
二十五0.0000330845 0.0000461035 0.0000626155
二十六0.0000121086 0.0000176932 0.0000250863
二十七0.0000040842 0.0000062951 0.0000093656
二十八0.0000012609 0.0000020644 0.0000032419
二十九0.0000003534 0.0000006197 0.0000010345
三十0.0000000890 0.0000001689 0.0000003022
31 0.0000000199 0.0000000414 0.0000000802
三十二0.0000000039 0.0000000090 0.0000000191
33 0.0000000007 0.0000000017 0.0000000040
三十四0.0000000001 0.0000000003 0.0000000007
三十五0.0000000000 0.0000000000 0.0000000001
三十六0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
三十七0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
三十八0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
三十九0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000