請問巫師 #401
假設籃球比賽中半場投籃命中的機率是1%。那麼平均要投多少次才能連續三次?
任意機率和任意連續數字的一般公式是什麼?
讓我們:
- a=假設初始狀態或最後一次射擊失敗,則預計會有更多射擊。
- b=假設最後一次投籃命中,預計還會有更多投籃。
- c=假設最後兩次投籃命中,預期投籃次數會更多。
我們可以建立以下從一個狀態到另一個狀態的方程式:
a = 1 + 0.01b + 0.99a
b = 1 + 0.01c + 0.99a
c = 1 + (1-p)a
現在我們有三個方程式和三個未知數,所以我們可以解了。我比較喜歡矩陣代數。
無需贅述,解可以表示為 determ(A)/determ(B)。矩陣中的項取自上述三個方程式。
這個行列式比率的答案是 101010。
為了回答第二個問題,對於任何機率 p 和連續成功的次數 n,答案是:
(1/p)^n + (1/p)^(n-1) + (1/p)^(n-2) + ... + (1/p)^2 + (1/p)^1
在本題中,通用公式的答案為 100^3 + 100^2 + 100^1 = 1000000 + 10000 + 100 = 1010100
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
從一副牌中取出任意花色的13張牌。兩位邏輯學家,亞歷克斯和鮑勃,每人發一張牌。 2為小牌,A為大牌。每位邏輯學家都可以查看自己的牌。然後,亞歷克斯可以提議鮑伯換牌。如果鮑伯提出換牌,他可以接受或拒絕。兩位玩家的最佳策略應該是什麼?
為了親自回答這個問題,我嘗試了各種策略,如下所示。
如果 Alex 以 4 或更低的點數切換,Bob 應該以 2 接受,並以 3 表示無所謂。 Bob 獲勝的機率為 56.7%。
如果 Alex 的牌面數字為 3 或更小,Bob 應該只用 2 來接受。 Bob 獲勝的機率為 53.3%。
如果 Alex 只用 2 換牌,Bob 應該始終拒絕該提議。 Bob 獲勝的機率為 50.0%。
模式是,Bob 在選擇換人時應該比 Alex 更挑剔。如果 Alex 用 3 或更高的數字換人,Bob 就能以更低的換人標準佔據優勢。 Alex 唯一能避免被擊敗的方法就是只用 2 換人。 Bob 明白這一點,如果有人提出換人,他絕對不會換人。因此,如果兩位邏輯學家參與遊戲,Alex 應該提出只用 2 換人。 Bob 應該永遠拒絕這個提議。
然而,萬一鮑勃拿到了 2 並且有人提出交換,鮑勃當然應該接受,因為他認為亞歷克斯要么讀錯了牌,要么不是真正的邏輯學家。
[劇透]我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
平均需要旋轉多少次輪盤才能看到一個數字重複出現?
您沒有說出車輪的類型,但這裡有三種答案:
- 單零 = 8.306669466
- 雙零 = 8.408797212
- 三零 = 8.509594851
下表顯示了三個輪子每次旋轉時第一次重複的機率。
重複次數的機率
旋轉 | 單身的 零 | 雙倍的 零 | 三倍 零 |
---|---|---|---|
1 | 0.0000000000 | 0.0000000000 | 0.0000000000 |
2 | 0.0270270270 | 0.0263157895 | 0.0256410256 |
3 | 0.0525931337 | 0.0512465374 | 0.0499671269 |
4 | 0.0746253924 | 0.0728240268 | 0.0711070652 |
5 | 0.0914329132 | 0.0894330154 | 0.0875163879 |
6 | 0.1019353424 | 0.1000237672 | 0.0981754352 |
7 | 0.1057923554 | 0.1042352943 | 0.1027066091 |
8 | 0.1034096446 | 0.1024066049 | 0.1013898577 |
9 | 0.0958236089 | 0.0954768346 | 0.0950762036 |
10 | 0.0844931146 | 0.0847985044 | 0.0850200666 |
11 | 0.0710452616 | 0.0719051646 | 0.0726667236 |
12 | 0.0570282235 | 0.0582810281 | 0.0594376534 |
十三 | 0.0437169674 | 0.0451747682 | 0.0465525677 |
14 | 0.0320000324 | 0.0334848063 | 0.0349144258 |
15 | 0.0223534530 | 0.0237240530 | 0.0250667672 |
16 | 0.0148879175 | 0.0160538705 | 0.0172161863 |
17 | 0.0094424270 | 0.0103646041 | 0.0113008813 |
18 | 0.0056941663 | 0.0063755953 | 0.0070811612 |
19 | 0.0032589823 | 0.0037306115 | 0.0042294718 |
20 | 0.0017665054 | 0.0020725619 | 0.0024039306 |
21 | 0.0009046116 | 0.0010908221 | 0.0012976683 |
22 | 0.0004364140 | 0.0005425405 | 0.0006638073 |
23 | 0.0001977062 | 0.0002542733 | 0.0003209618 |
24 | 0.0000837944 | 0.0001119289 | 0.0001462658 |
二十五 | 0.0000330845 | 0.0000461035 | 0.0000626155 |
二十六 | 0.0000121086 | 0.0000176932 | 0.0000250863 |
二十七 | 0.0000040842 | 0.0000062951 | 0.0000093656 |
二十八 | 0.0000012609 | 0.0000020644 | 0.0000032419 |
二十九 | 0.0000003534 | 0.0000006197 | 0.0000010345 |
三十 | 0.0000000890 | 0.0000001689 | 0.0000003022 |
31 | 0.0000000199 | 0.0000000414 | 0.0000000802 |
三十二 | 0.0000000039 | 0.0000000090 | 0.0000000191 |
33 | 0.0000000007 | 0.0000000017 | 0.0000000040 |
三十四 | 0.0000000001 | 0.0000000003 | 0.0000000007 |
三十五 | 0.0000000000 | 0.0000000000 | 0.0000000001 |
三十六 | 0.0000000000 | 0.0000000000 | 0.0000000000 |
三十七 | 0.0000000000 | 0.0000000000 | 0.0000000000 |
三十八 | 0.0000000000 | 0.0000000000 | 0.0000000000 |
三十九 | 0.0000000000 | 0.0000000000 | 0.0000000000 |