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請問巫師 #400

農夫布朗把六隻羊放在一塊用柵欄圍起來的草地上吃草。它們花了三天時間才把草地上的草吃完。

然後他讓草重新長到原來的高度。

然後,他把三隻羊放進同一片田地,它們花了七天時間才清理完田地。

然後他讓草重新長到原來的高度,並把一隻羊放進田裡。這隻羊要花多久時間才能吃完呢?

假設羊以恆定的速率吃草,草也以另一個恆定的速率生長。

anonymous

63天

[劇透=解]

令 i = 一隻羊吃掉最初的一片草所需的天數(假設草沒有生長)。

令 g = 一天內草的生長量。

已知六隻羊需要三天時間才能吃完最初的草和三天生長所需的草。我們可以用公式來表示:

i + 3g = 3*6

我們也已知,三隻羊需要七天才能吃掉最初的草和三天的生長量。我們可以用公式來表達:

i + 7g = 7*3

我們有兩個方程式和兩個未知數:

i + 3g = 18
i + 7g = 21

很容易求解 i 和 g:

i = 63/4 = 15.75

g = 3/4 = 0.75

問題是,一隻羊需要多久才能跑完這片田地?我們設 x 為答案。我們可以將方程式表達為:

i + xg = x
(63/4)+(3/4)g = x
63/4 = x/4
x = 63。

因此,一隻羊需要 63 天才能清理完田地。

[劇透]

一個長方體的尺寸為 x x y x z。它由 xyz 個獨立的立方體組成。有人為所有外側面塗了漆。如果塗漆的立方體數量等於未塗漆的立方體數量,那麼長方體的尺寸是多少?

anonymous

我總結了20個可行的不同維度。它們如下。

[劇透=答案]
  1. 5 x 13 x 132
  2. 5 x 14 x 72
  3. 5 x 15 x 52
  4. 5 x 16 x 42
  5. 5 x 17 x 36
  6. 5 x 18 x 32
  7. 5 x 20 x 27
  8. 5 x 22 x 24
  9. 6 x 9 x 56
  10. 6 x 10 x 32
  11. 6 x 11 x 24
  12. 6×12×20
  13. 6 x 14 x 16
  14. 7×7×100
  15. 7×8×30
  16. 7×9×20
  17. 7 x 10 x 16
  18. 8×8×18
  19. 8 x 9 x 14
  20. 8 x 10 x 12
[劇透]

您多次提到,機率為 p 的事件發生所需的平均試驗次數是 1/p。我的挑戰是證明它是正確的。

anonymous

[劇透=簡短的解決方案]

設 x = 某事件發生的預期試驗次數。

x = 1*p + (1-p)*(1+x)

x = p + 1 + x - p - px

從兩邊減去 x:

0 = p + 1 - p - px

取消 p 和 -p:

0 = 1 - 像素

像素 = 1

x = 1/p

[劇透]

[劇透=長版解]

我們定義 q = 1-p。換句話說,就是某事件未發生的機率。

設 x = 某事件發生的預期試驗次數。

x = 1 * pr(需要一次試驗)+ 2 * pr(需要兩次試驗)+ 3 * pr(需要三次試驗)+ ...

= 1p + 2pq + 3pq^2 + 4pq^3 + ...

x/p = 1 + 2q + 3q^2 + 4q^3 + ...

x/p - 1 = 2q + 3q^2 + 4q^3 + ...

x/p - 1 = q * (2 + 3q + 4q^2 + 5q^3 + ...)

x/p - 1 = q * (1 + 2q + 3q^2 + 4q^3 + ... + 1 + q + q^2 + q^3 + ...)

x/p - 1 = q * (x/p + 1 + q + q^2 + q^3 + ...)

設 y = 1 + q + q^2 + q^3 + ...

y-1 = q + q^2 + q^3 + ...

y-1 = q * (1 + q + q^2 + q^3 + ... )

(y-1)/q = 1 + q + q^2 + q^3 + ...

(y-1)/q = y

y/q - y = 1/q

y*(1/q - 1) = 1/q

y*(1/q - q/q) = 1/q

y*[(1-q)/q] = 1/q

y*(1-q) = 1

y = 1/(1-q)

x/p - 1 = q * (x/p + 1/(1-q))

x/p - 1 = q * (x/p + 1/p)

x/p - 1 = q * (1+x)/p

x/p-q*(1+x)/p=1

x/p - qx/p = 1 + q/p

x*(1/p-q/p)=1+q/p

x*(1-q)/p = 1+q/p

x*p/p = 1+q/p

x = 1+q/p

x = 1 + (1-p)/p

x = p/p + (1-p)/p

x = 1/p

[劇透]