請問巫師 #400
農夫布朗把六隻羊放在一塊用柵欄圍起來的草地上吃草。它們花了三天時間才把草地上的草吃完。
然後他讓草重新長到原來的高度。
然後，他把三隻羊放進同一片田地，它們花了七天時間才清理完田地。
然後他讓草重新長到原來的高度，並把一隻羊放進田裡。這隻羊要花多久時間才能吃完呢？
假設羊以恆定的速率吃草，草也以另一個恆定的速率生長。
令 i = 一隻羊吃掉最初的一片草所需的天數（假設草沒有生長）。
令 g = 一天內草的生長量。
已知六隻羊需要三天時間才能吃完最初的草和三天生長所需的草。我們可以用公式來表示：
i + 3g = 3*6
我們也已知，三隻羊需要七天才能吃掉最初的草和三天的生長量。我們可以用公式來表達：
i + 7g = 7*3
我們有兩個方程式和兩個未知數：
i + 3g = 18
i + 7g = 21
很容易求解 i 和 g：
i = 63/4 = 15.75
g = 3/4 = 0.75
問題是，一隻羊需要多久才能跑完這片田地？我們設 x 為答案。我們可以將方程式表達為：
i + xg = x
（63/4）+（3/4）g = x
63/4 = x/4
x = 63。
因此，一隻羊需要 63 天才能清理完田地。
[/spoiler]一個長方體的尺寸為 x x y x z。它由 xyz 個獨立的立方體組成。有人為所有外側面塗了漆。如果塗漆的立方體數量等於未塗漆的立方體數量，那麼長方體的尺寸是多少？
我總結了20個可行的不同維度。它們如下。
- 5 x 13 x 132
- 5 x 14 x 72
- 5 x 15 x 52
- 5 x 16 x 42
- 5 x 17 x 36
- 5 x 18 x 32
- 5 x 20 x 27
- 5 x 22 x 24
- 6 x 9 x 56
- 6 x 10 x 32
- 6 x 11 x 24
- 6×12×20
- 6 x 14 x 16
- 7×7×100
- 7×8×30
- 7×9×20
- 7 x 10 x 16
- 8×8×18
- 8 x 9 x 14
- 8 x 10 x 12
您多次提到，機率為 p 的事件發生所需的平均試驗次數是 1/p。我的挑戰是證明它是正確的。
[劇透=簡短的解決方案]
設 x = 某事件發生的預期試驗次數。
x = 1*p + (1-p)*(1+x)
x = p + 1 + x - p - px
從兩邊減去 x：
0 = p + 1 - p - px
取消 p 和 -p：
0 = 1 - 像素
像素 = 1
x = 1/p
[/spoiler] [劇透=長版解]我們定義 q = 1-p。換句話說，就是某事件未發生的機率。
設 x = 某事件發生的預期試驗次數。
x = 1 * pr（需要一次試驗）+ 2 * pr（需要兩次試驗）+ 3 * pr（需要三次試驗）+ ...
= 1p + 2pq + 3pq^2 + 4pq^3 + ...
x/p = 1 + 2q + 3q^2 + 4q^3 + ...
x/p - 1 = 2q + 3q^2 + 4q^3 + ...
x/p - 1 = q * (2 + 3q + 4q^2 + 5q^3 + ...)
x/p - 1 = q * (1 + 2q + 3q^2 + 4q^3 + ... + 1 + q + q^2 + q^3 + ...)
x/p - 1 = q * (x/p + 1 + q + q^2 + q^3 + ...)
設 y = 1 + q + q^2 + q^3 + ...
y-1 = q + q^2 + q^3 + ...
y-1 = q * (1 + q + q^2 + q^3 + ... )
(y-1)/q = 1 + q + q^2 + q^3 + ...
(y-1)/q = y
y/q - y = 1/q
y*(1/q - 1) = 1/q
y*(1/q - q/q) = 1/q
y*[(1-q)/q] = 1/q
y*(1-q) = 1
y = 1/(1-q)
x/p - 1 = q * (x/p + 1/(1-q))
x/p - 1 = q * (x/p + 1/p)
x/p - 1 = q * (1+x)/p
x/p-q*（1+x）/p=1
x/p - qx/p = 1 + q/p
x*(1/p-q/p)=1+q/p
x*(1-q)/p = 1+q/p
x*p/p = 1+q/p
x = 1+q/p
x = 1 + (1-p)/p
x = p/p + (1-p)/p
x = 1/p
[/spoiler]