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請問巫師 #397

平均而言，雙零輪盤賭需要旋轉多少次才能使每個數字至少出現兩次？

heatmap

大約 234.832663 次旋轉

這是我的解決方案（PDF）。

以下按鈕顯示單零、雙零和三零輪盤賭的附加答案，要求每個數字至少出現一次、兩次和三次。

[劇透=其他答案]

單零輪盤：

至少一次：155.458690
至少兩次：227.513340
至少三次：290.543597

雙零輪盤：

至少一次：160.660277
至少兩次：234.832663
至少三次：298.396127

三零輪盤：

至少一次：165.888179
至少兩次：242.181868
至少三次：308.880287

[/spoiler]

下一個按鈕顯示上述九種情況的積分。

[劇透=積分]

一旦為 0：1-(1-exp(-x/37))^37

00：1-(1-指數(-x/38))^38

000：1-(1-指數(-x/39))^39

兩次

0：1-（1-指數（-x/37）*（1+x/37））^37

00：1-（1-指數（-x/38）*（1+x/38））^38

000：1-(1-指數(-x/39)*(1+x/39))^39

三次

0：1-（1-指數（-x/37）*（1+x/37+x^2/2738））^37

00：1-（1-指數（-x/38）*（1+x/38+x^2/2888））^38

000：1-(1-exp(-x/39)*(1+x/39+x^2/3042))^39 [/劇透]

這是我推薦的積分計算器。

輪盤賭中的「三分法」是什麼？

anonymous

「三分法」指出，如果輪盤上的每個數字都旋轉一次，則大約有 1/3 的數字永遠不會出現。

1/3 確實是相當糟糕的估計。更好的估計值應該是 1/e =~ 36.79%。雙零輪盤的真實百分比是 36.30%。

下表顯示了在 38 次雙零輪盤旋轉中觀察到 1 到 38 個不同數字的機率。

三分法－雙零輪盤賭

清楚的
數位		可能性
1 0.000000000
2 0.000000000
3 0.000000000
4 0.000000000
5 0.000000000
6 0.000000000
7 0.000000000
8 0.000000000
9 0.000000000
10 0.000000000
11 0.000000000
12 0.000000000
十三0.000000005
14 0.000000124
15 0.000001991
16 0.000022848
17 0.000191281
18 0.001186530
19 0.005519547
20 0.019434593
21 0.052152293
22 0.107159339
23 0.169042497
24 0.204864337
二十五0.190490321
二十六0.135436876
二十七0.073211471
二十八0.029838199
二十九0.009063960
三十0.002020713
31 0.000323888
三十二0.000036309
33 0.000002742
三十四0.000000132
三十五0.000000004
三十六0.000000000
三十七0.000000000
三十八0.000000000
全部的1.000000000

表格顯示，最有可能的結果是 24 個不同的數字，機率為 20.49%。平均值為 24.20656478。

有些江湖騙子會說，玩家應該觀察前九個不同的結果，然後押注，因為他們錯誤地認為這些結果比其他數字更有可能出現。這完全是錯誤的！輪盤和球沒有記憶。在公平的輪盤上，每個數字都有同等的可能性，過去的數字並不重要。

假設你正在玩一款三到五人的桌遊。是否可以設計一套骰子來決定遊戲順序，並且每個順序的機率都相同，不存在平局？

anonymous

以下是三人遊戲的骰子：

  • 骰子＃1：3,4,9,10,13,18
  • 骰子＃2：2,5,7,12,15,16
  • 骰子＃3：1,6,8,11,14,17

對於四名玩家，我必須使用 12 面骰子，如下所示：

  • 模具 #1：5,6,11,12,15,20,31,32,37,38,41,46
  • 模具 #2：4,7,9,14,17,18,30,33,35,40,43,44
  • 模具#3：3,8,10,13,16,19,29,34,36,39,42,45
  • 模具 #4：1,2,21,22,23,24,25,26,27,28,47,48

如果是五人遊戲，我能做的最好的就是840面骰子。我在「維加斯巫師」論壇的這個貼文裡標註了骰子的面型。

我在2024 年 3 月 21 日的新聞通訊中詳細介紹了我是如何得到這個骰子的。