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Wizard 巫師推薦

請問巫師 #394

你有一個咖啡杯，最初是空的。一位女服務生開始以恆定的速率往裡面倒咖啡。通常情況下，用一個好杯子，倒滿需要5秒鐘。然而，這個杯子底部有一個漏孔。咖啡漏出的速率與杯中咖啡的體積成正比。當杯子裝滿咖啡時，咖啡漏出的速率為每秒0.1杯。

將杯子裝滿 90% 需要多長時間？

anonymous

10*ln(20/11) =~ 5.9783700075562 秒。

[劇透=解]

要解決此問題，需要對微分方程式有基本的了解。

讓：
V = 杯中咖啡的體積
t = 服務生開始倒酒的時間
c = 積分常數

我們給出 dV/dt = (1/5) - (v/10)

dv = (2-V)/10 dt
(10/(2-v)) dv = dt
-10*ln(2-v) = t + c

我們知道，在 t=0 時，V=0。將這些值代入上面的公式，即可解出 c：

c = -10*ln(2)

因此，連接 V 和 t 的方程式為：

t = 10*ln(2) - 10*ln(2-V)

我們想知道在 t 時 v=0.9 的值。因此，求解 V=0.9 時的 t。

t = 10*ln(2) - 10*ln(2-0.9) = 10*(ln(2) - ln(1.1)) = 10*ln(20/11)

[劇透]

如何使用六面骰子產生從 0 到 36 的隨機值，而每個值出現的可能性相同？

TxGammon

實現這一點的方法有很多種。但我認為所有方法都必須有重擲的可能性。我認為下面的方法比較簡單，只需要四個不同顏色的骰子，重擲機率低於 0.08%。具體操作如下。

把骰子分別命名為 d1、d2、d3 和 d4。它們的顏色不同，所以你可以區分它們。

定義 x = (d1-1) + 6*(d2-1) + 36*(d3-1) + 216*(d4-1)。 x 的值範圍為 0 到 1,295。

設 y = 我們尋找的隨機數，其中 0 到 36 之間的 37 個值機率相等。根據 x 為 y 賦值，如下圖所示：

  • x = 0 至 34：y = 0
  • x = 35 至 69：y = 1
  • x = 70 至 104：y = 2
  • x = 105 至 139：y = 3
  • x = 140 至 174：y = 4
  • x = 175 至 209：y = 5
  • x = 210 至 244：y = 6
  • x = 245 至 279：y = 7
  • x = 280 至 314：y = 8
  • x = 315 至 349：y = 9
  • x = 350 至 384：y = 10
  • x = 385 至 419：y = 11
  • x = 420 至 454：y = 12
  • x = 455 至 489：y = 13
  • x = 490 至 524：y = 14
  • x = 525 至 559：y = 15
  • x = 560 至 594：y = 16
  • x = 595 至 629：y = 17
  • x = 630 至 664：y = 18
  • x = 665 至 699：y = 19
  • x = 700 至 734：y = 20
  • x = 735 至 769：y = 21
  • x = 770 至 804：y = 22
  • x = 805 至 839：y = 23
  • x = 840 至 874：y = 24
  • x = 875 至 909：y = 25
  • x = 910 至 944：y = 26
  • x = 945 至 979：y = 27
  • x = 980 至 1014：y = 28
  • x = 1015 至 1049：y = 29
  • x = 1050 至 1084：y = 30
  • x = 1085 至 1119：y = 31
  • x = 1120 至 1154：y = 32
  • x = 1155 至 1189：y = 33
  • x = 1190 至 1224：y = 34
  • x = 1225 至 1259：y = 35
  • x = 1260 至 1294：y = 36
  • x = 1259：重新擲骰子

請注意，只有一個 x 值會導致重新滾動。

我特別感謝維加斯巫師 (Wizard of Vegas) 的成員 ThomasK 和 ThatDonGuy 對這個問題的幫助。以上是 ThomasK 的解答。 ThatDonGuy 在論壇上證明了，如果不將某些擲骰結果對應到重新擲骰結果，就無法解決這個問題。完整的討論內容請參考下方連結。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

從一副52張牌的牌堆中抽牌，直到出現一張紅牌。包括一張紅牌在內，平均抽出的牌總數是多少？

anonymous

[劇透=答案]53/27 =~ 1.962962963[/劇透]

[劇透=一般情況的公式]

根據 Wizard of Vegas 成員 ThatDonGuy 的說法，如果牌的總數為 c，阻擋牌的數量為 b，那麼預期抽出的牌為 (c+1)/(b+1)。

例如，在目前問題中，c=52 和 b=26，因此答案是 53/27。

如果抽車到出現 A，就會有四個阻擋者，所以答案是 53/5 = 10.6

[劇透]

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。