請問巫師 #382
要連續獲得五個紅色或五個黑色，預計需要旋轉多少次？
假設有一項二十一點促銷活動，要求玩家至少用五張牌湊成21點，即可獲得巨額獎金。 21點中的牌越多，獎金就越高。如果玩家採用「21點或爆牌」的策略，那麼湊成21點（以牌數計算）的機率是多少？
下表展示了超過 605 億個六副牌的模擬結果。 「逆機率」列顯示的是逆機率。例如，六張牌 21 點的機率是 1/280。
21歲或破產
| 21點牌 | 數數 | 可能性 | 逆 |
|---|---|---|---|
| 摔碎 | 52,104,124,978 | 0.85994880549 | 1.16 |
| 3 | 4,759,037,984 | 0.07854520216 | 十三 |
| 4 | 2,557,594,660 | 0.04221163821 | 24 |
| 5 | 908,819,311 | 0.01499954334 | 67 |
| 6 | 216,326,234 | 0.00357034086 | 280 |
| 7 | 38,049,196 | 0.00062798024 | 1,592 |
| 8 | 5,220,188 | 0.00008615622 | 11,607 |
| 9 | 572,119 | 0.00000944250 | 105,904 |
| 10 | 50,292 | 0.00000083004 | 1,204,760 |
| 11 | 3,487 | 0.00000005755 | 17,375,910 |
| 12 | 192 | 0.00000000317 | 315,571,868 |
| 十三 | 14 | 0.00000000023 | 4,327,842,761 |
| 全部的 | 60,589,798,655 | 1.00000000000 |
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
8 / 2 * (2 + 2) =
首先，計算括號內的內容，即 2+2 = 4。計算完成後，我們得到：
8 / 2 * 4 =
接下來，我們進行乘法和除法運算。如果這樣的運算不只一個，我們先從左邊開始，也就是除法。因此，接下來我們計算 8/2 = 4。之後，我們得到：
4 * 4 = 16
我在Facebook上看到這個問題，最常見的答案是1。我把這歸咎於PEMDAS（請原諒我親愛的莎莉阿姨）規則。這條規則錯誤地暗示了運算順序是：括號、指數、除法、乘法、除法、加法、減法。
實際的順序是，除法和乘法以及加法和減法的優先順序相同。當你在同一個等式中看到兩個優先權相同的運算時，請從左到右進行。
有 100 位數學家參加一個聚會，他們各自擁有一個蛋糕。數學家們排隊，只為分得一塊蛋糕。
- 第一位數學家拿走了 1% 的蛋糕。
- 第二位數學家拿走了第一位數學家所剩財富的 2%。
- 第三位數學家將拿走前兩位數學家所剩金額的 3%。
- 第四位數學家拿走了前三位數學家所剩金額的 4%。
如此循環，直到第 100 位數學家拿走其他 99 位數學家剩餘金額的 100%。
哪位數學家會分到最多的蛋糕？禁止使用計算機！
讓我們來看看前五位數學家能得到多少獎金：
- 1%
- 99% * 2%
- 99% * 98% * 3%
- 99% * 98% * 97% * 4%
- 99% * 98% * 97% * 96% * 5%
設 f(x) = 數學家 x 得到的蛋糕。
我們可以從模式中看到 f(x) = f(x-1) / ((x-1)/100) * (1 - ((x-1)/100)) * (x/100)
重新排列術語：
f(x) = f(x-1) * (100/(x-1)) * ((101-x)/100) * (x/100)簡化：
f(x) = f(x-1) * (101-x)/(x-1) * (x/100)設 y = f(x)，其中 f(x) = f(x-1)
y = y * (101-x)/(x-1) * (x/100)
將兩邊除以 y。
1 = (101-x)/(x-1) * (x/100)
100*(x-1) = x * (101-x)
100x - 100 = 101x - x^2
x^2 - x - 100 = 0
使用勾股公式，x = (1 + sqrt(401))/2 =~ 10.512。
顯然，份額一開始會增加，然後在某個點會減少。問題是找出最後一位比前一位分得更多的數學家。
透過解上述 x，我們發現前 10 位數學家獲得的份額都比最後一位大。然而，由於 11 > 10.512，所以第 11 位數學家獲得的份額比第 10 位數學家少。
因此，數學家 10 獲得了最大份額。
這是前 20 名的份額（使用計算器）。
- 數學家 1 = 0.01
- 數學家 2 = 0.0198
- 數學家 3 = 0.029106
- 數學家 4 = 0.03764376
- 數學家 5 = 0.045172512
- 數學家 6 = 0.0514966637
- 數學家 7 = 0.0564746745
- 數學家 8 = 0.0600245112
- 數學家 9 = 0.0621253691
- 數學家 10 = 0.062815651
- 數學家 11 = 0.0621874944
- 數學家 12 = 0.0603784037
- 數學家 13 = 0.0575607449
- 數學家 14 = 0.0539299902
- 數學家 15 = 0.0496926338
- 數學家 16 = 0.0450546547
- 數學家 17 = 0.0402112793
- 數學家 18 = 0.0353386184
- 數學家 19 = 0.0305875375
- 數學家 20 = 0.0260799004
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
這個問題出自《Mind Your Decisions》 。