請問巫師 #376
一箱酒流出的速率與箱內剩餘的酒量成正比。當一個3公升的酒箱裝滿1/3時，酒的流速為每秒0.01公升。
你有一箱滿滿的3公升葡萄酒。倒出2.9升需要多久？
讓：
v = 盒子裡的葡萄酒體積
t = 時間
c = 積分常數
已知 dv/dt = -0.01v
重新排列為 dv = -0.01v dt
-100/v dv = dt
將兩邊積分：
-100*ln(v) = t + c
當 t=0，v=3 時，我們得到 。將它們代入上面的等式中，即可求積分常數。
-100*ln(3) = c
現在我們的等式是：
-100*ln(v) = t -100*ln(3)
t = 100*ln(3) - 100*ln(v)
t = 100*(ln(3)-ln(v))
t = 100*ln(3/v)
我們被問到當袋子裡剩下的酒是 0.1 時 t 是多少。
t = 100*ln(3/0.1) = 100*ln(30) =~ 340.119738 秒 =~ 5 分 40 秒。
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題
如果我押注 4 和 10 買入 20 美元，押注 5、6、8 和 9 買入 30 美元，我的賭場優勢是多少？請假設 4 和 10 的佣金僅以贏錢支付。請計算一下我是否：
- 只保留一輪投注
- 等到重大事件發生後再下注（擲出 4 到 10 之間的任何點數）
- 保留賭注，直到所有賭注都解決為止。
第一張表格展示了我僅投一輪的分析結果。回報列的計算方式為：贏率*機率/（總投注額）。右下角單元格顯示賭場優勢為 0.69%。
單卷分析
| 卷 | 賭注 | 淨贏 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 0 | 0 | 1 | 0.027778 | 0.000000 |
| 3 | 0 | 0 | 2 | 0.055556 | 0.000000 |
| 4 | 20 | 三十九 | 3 | 0.083333 | 0.020313 |
| 5 | 三十 | 四十二 | 4 | 0.111111 | 0.029167 |
| 6 | 三十 | 三十五 | 5 | 0.138889 | 0.030382 |
| 7 | 0 | -160 | 6 | 0.166667 | -0.166667 |
| 8 | 三十 | 三十五 | 5 | 0.138889 | 0.030382 |
| 9 | 三十 | 四十二 | 4 | 0.111111 | 0.029167 |
| 10 | 20 | 三十九 | 3 | 0.083333 | 0.020313 |
| 11 | 0 | 0 | 2 | 0.055556 | 0.000000 |
| 12 | 0 | 0 | 1 | 0.027778 | 0.000000 |
| 160 | 三十六 | 1.000000 | -0.006944 |
第二張表格展示了我對「等到投注結果出來再下注」的分析。換句話說，在總點數為2、3、11或12後再次擲骰。回報列的計算方式為：贏率*機率/（總投注額）。右下角單元格顯示賭場優勢為0.83%。
一次重要的滾動分析
| 卷 | 賭注 | 淨贏 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 20 | 三十九 | 3 | 0.100000 | 0.024375 |
| 5 | 三十 | 四十二 | 4 | 0.133333 | 0.035000 |
| 6 | 三十 | 三十五 | 5 | 0.166667 | 0.036458 |
| 7 | 0 | -160 | 6 | 0.200000 | -0.200000 |
| 8 | 三十 | 三十五 | 5 | 0.166667 | 0.036458 |
| 9 | 三十 | 四十二 | 4 | 0.133333 | 0.035000 |
| 10 | 20 | 三十九 | 3 | 0.100000 | 0.024375 |
| 全部的 | 160 | 三十 | 1.000000 | -0.008333 |
第三個表格展示了我對所有結果都成立後再下注的分析。回報欄的計算方式為：贏率*機率/（總投注額）。右下角單元格顯示賭場優勢為 2.44%。
滾動直至所有投注結果分析
| 贏 | 4,10 捲起 | 5,9 捲起 | 6,8 捲起 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| -160 | 1 | 0 | 0 | 2,677,114,440 | 0.200000 | -0.200000 |
| -101 | 0 | 1 | 0 | 594,914,320 | 0.044444 | -0.028056 |
| -88 | 0 | 0 | 1 | 823,727,520 | 0.061538 | -0.033846 |
| -95 | 2 | 0 | 0 | 1,070,845,776 | 0.080000 | -0.047500 |
| -42 | 0 | 2 | 0 | 74,364,290 | 0.005556 | -0.001458 |
| -16 | 0 | 0 | 2 | 149,768,640 | 0.011189 | -0.001119 |
| -30 | 1 | 1 | 0 | 267,711,444 | 0.020000 | -0.003750 |
| -29 | 1 | 0 | 1 | 421,812,160 | 0.031512 | -0.005712 |
| -36 | 0 | 1 | 1 | 562,464,448 | 0.042020 | -0.009455 |
| -23 | 1 | 1 | 1 | 800,192,448 | 0.059780 | -0.008593 |
| 三十六 | 2 | 1 | 0 | 751,055,104 | 0.056109 | 0.012625 |
| 三十 | 2 | 0 | 1 | 93,017,540 | 0.006949 | 0.001303 |
| 23 | 1 | 2 | 0 | 127,949,276 | 0.009559 | 0.001374 |
| 43 | 0 | 2 | 1 | 136,097,920 | 0.010168 | 0.002733 |
| 49 | 1 | 0 | 2 | 276,379,776 | 0.020648 | 0.006323 |
| 二十九 | 0 | 1 | 2 | 259,917,112 | 0.019418 | 0.003519 |
| 四十二 | 2 | 1 | 1 | 383,915,862 | 0.028681 | 0.007529 |
| 95 | 1 | 2 | 1 | 280,463,688 | 0.020953 | 0.012441 |
| 108 | 1 | 1 | 2 | 430,248,448 | 0.032143 | 0.021696 |
| 101 | 2 | 2 | 0 | 626,008,276 | 0.046767 | 0.029522 |
| 102 | 2 | 0 | 2 | 48,772,745 | 0.003644 | 0.002323 |
| 88 | 0 | 2 | 2 | 101,392,694 | 0.007575 | 0.004166 |
| 114 | 2 | 2 | 1 | 243,130,194 | 0.018164 | 0.012942 |
| 167 | 2 | 1 | 2 | 263,665,646 | 0.019698 | 0.020560 |
| 160 | 1 | 2 | 2 | 409,147,802 | 0.030566 | 0.030566 |
| 173 | 2 | 2 | 2 | 679,339,612 | 0.050752 | 0.054875 |
| 232 | 0 | 0 | 0 | 832,156,379 | 0.062168 | 0.090144 |
| 全部的 | 13,385,573,560 | 1.000000 | -0.024848 |
[劇透=Wiz，你上面表格裡的機率是從哪裡來的？ ] 我用了積分。關鍵在於，無論兩次投擲之間間隔一個單位的時間，或是時間長度服從平均值為1的指數分佈，機率都是一樣的。
回想一下你的統計課上，事件 x 不發生的機率是 exp(-x)。然後很容易得出它至少發生一次的機率是 1-exp(-x)。下表顯示了在任意時間長度 x 內，給定點數被擲出的機率。然後，對 x 的所有時間段（從 0 到無限大）進行積分。我更喜歡使用www.integral-calculator.com/上的積分計算器。最後，記得要用類似事件來加權這些機率。例如，擲出 4 的機率與擲出 10 的機率相同。
- 4 或 10 -- (1-exp(-3x/36))*exp(-3x/36)*exp(-4x/36)^2*exp(-5x/36)^2*exp(-x/6)/6
- 5 或 9 -- (1-exp(-x/9))*exp(-5x/36)^2*exp(-3x/36)^2*exp(-x/9)exp(-x/6)/6
- 6 或 8 -- (1-exp(-5x/36))*exp(-4x/36)^2*exp(-3x/36)^2*exp(-5x/36)exp(-x/6)/6
- 4 和 10 -- (1-exp(-3x/36))^2*exp(-4x/36)^2*exp(-5x/36)^2*exp(-x/6)/6
- 5 和 9 -- (1-exp(-4x/36))^2*exp(-5x/36)^2*exp(-3x/36)^2*exp(-x/6)/6
- 6 和 8 -- (1-exp(-5x/36))^2*exp(-4x/36)^2*exp(-3x/36)^2*exp(-x/6)/6
- 4 和 5 -- (1-exp(-3x/36))*(1-exp(-4x/36))*exp(-5x/36)^2*exp(-4x/36)*exp(-3x/36)*exp(-x/6)/6
- 4 和 6 -- (1-exp(-3x/36))*(1-exp(-5x/36))*exp(-4x/36)^2*exp(-5x/36)*exp(-3x/36)*exp(-x/6)/6
- 5 和 6 -- (1-exp(-4x/36))*(1-exp(-5x/36))*exp(-3x/36)^2*exp(-5x/36)*exp(-4x/36)*exp(-x/6)/6
- 4,5,6 -- (1-exp(-3x/36))^1*exp(-3x/36)^1*exp(-4x/36)^1*(1-exp(-4x/36))^1*(1-exp(-5x/36))^1*/36))^1*(^*1/5x/36))^1*/expexp-5x
- 4,5,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*(1-exp(-4x/36))*exp(-5x/36)^2*exp(-4x/36)*exp(-x/6)/6
- 4,6,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*(1-exp(-5x/36))*exp(-4x/36)^2*exp(-5x/36)*exp(-x/6)/6
- 4,5,9 -- (1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-3x/36))*exp(-5x/36)^2*exp(-3x/36)*exp(-x/6)/6
- 5,6,9 -- (1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))*exp(-3x/36)^2*exp(-5x/36)*exp(-x/6)/6
- 4,6,8 -- (1-exp(-3x/36))^1*exp(-3x/36)*exp(-4x/36)^2*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-x/6)/6
- 5,6,8 -- (1-exp(-3x/36))^0*exp(-3x/36)^2*exp(-4x/36)^1*(1-exp(-4x/36))*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-5x/36))*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-5x/36)^0*6-x
- 4,5,6,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*exp(-4x/36)^1*(1-exp(-4x/36))^1*(1-exp(-5x/36))^1*5(-5x/36)^1*exp(-x/66)
- 4,5,6,9 -- (1-exp(-3x/36))^1*exp(-3x/36)^1*exp(-4x/36)^0*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^1*4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^1*4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^1*]expexp-5x
- 4,5,6,8 -- (1-exp(-3x/36))^1*exp(-3x/36)^1*exp(-4x/36)^1*(1-exp(-4x/36))^1*(1-exp(-5x/36))^2*exp-5x/3(2)1(5x/5)
- 4,5,9,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*exp(-3x/36)^0*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^0*exp(-5x/36)^2*exp(-x/6)/6
- 4,6,8,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*exp(-3x/36)^0*(exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-5x/36)^0*exp(-x/6)/6
- 5,6,8,9 -- (1-exp(-3x/36))^0*exp(-3x/36)^2*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-5x/36)^0*exp(-x/6)/6(-x/6)/6(
- 4,5,6,9,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*exp(-3x/36)^0*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^1*exp(-5x/36)^1*exp(-x/36))^1*exp(-5x/36)^1*exp(-x/66)
- 4,5,6,8,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*(1-exp(-4x/36))^1*exp(-4x/36)*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-x/6)/6
- 4,5,6,8,9 -- (1-exp(-3x/36))^1*exp(-3x/36)^1*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-x/6)/6
- 4,5,6,8,9,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-x/6)/6
一年有 365.24217 天，精確到小數點後五位。你可能知道，判斷某一年是否為閏年的方法如下：
- 如果某一年能被 4 整除，則為閏年，除非......
- 如果某年份能被 100 整除，則該年份不是閏年，除非…
- 如果某一年能被 400 整除，那麼該年就是閏年。
上述規則所得的結果是每年 356.2425 天。與正確的 365.24217 天非常接近，偏差 0.00033 天。
我的問題是，是否有更準確的方法來選擇週期短於400年的閏年？
是的！
如果我們在351年的週期中選擇85個閏年，那麼平均閏年數為0.242165天。這與目標值0.24217僅相差0.000005天。
測試某年份是否為閏年的方法如下：
- 如果某一年能被 4 整除，則為閏年，除非......
- 若某年份能被 31 整除，則該年份不是閏年。
這個問題是我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論的。原始來源是538 。
你能解釋一下這個YouTube影片裡的魔術是怎麼實現的嗎？我試過很多次了，但都沒用。是我操作錯了，還是整個影片都是騙局？
這是個騙局！
對於那些沒有看過影片的人來說，魔術師傑森是這樣解釋的：
- 使用一副完整的 52 張牌（不含鬼牌）。
- 從 A 到 10 中選擇一個等級。
- 每次發一張牌，直到拿到所選點數的第三張牌。記錄此時已發牌的總數。
- 所選等級的第四張牌將從剩餘牌的頂部出現，其數量與找到前三張牌所需的數量相同。
整件事就是個惡作劇。他用的是一副預先編好的牌組，根據他選的點數來決定。看起來他在洗牌，但他其實是個非常厲害的牌技師，會假洗牌。
YouTube 上可以預先篩選評論，但他只顯示那些謊稱自己用了的粉絲評論。這完全是騙觀眾的騙局。
我將在2022 年 12 月 22 日的通訊中對此進行更詳細的介紹。