請問巫師 #373
我相信你是《生活大爆炸》的粉絲。我最喜歡的場景之一是「石頭剪刀布蜥蜴史波克」的遊戲。它就像一個五格石頭剪刀布的遊戲，規則如下：
- 紙包石頭
- 岩石壓碎蜥蜴
- 蜥蜴毒害了史波克
- 史波克砸碎剪刀
- 剪刀剪紙
- 蜥蜴吃紙 斯波克蒸發岩石
- 剪刀斬首蜥蜴
- 論文反駁了史波克
- 石頭壓碎剪刀
我的問題是是否可以添加更多符號，以便每一方對抗隨機玩家都有相同的機會？
是的，我也很喜歡那個場景！這裡有YouTube影片。
你需要奇數個符號。理論上，你可以有偶數個符號，但這樣你就必須制定規則，規定某些不同的符號組合會導致平局。不，我們想要一個決定性的遊戲，只有當兩個玩家都打出相同的符號時才會平手。
用素數符號來解釋，會顯得特別優雅和容易。請容許我以七個符號為例進行說明。我們將符號標記為 A 到 G，並在下圖中將它們表示在一個圓圈上。
接下來，從 A 開始，然後順時針畫一個箭頭指向下一個符號。箭頭應指向這兩個符號之間的那個點。想像一下，這個符號被一支箭射中了。繼續順時針畫，直到回到 A。圖表不會像這樣：
接下來，重複同樣的步驟，但從 A 點開始，順時針移動兩個符號。實際上，你可以從任意位置開始。現在的圖表如下：
最後，重複同樣的步驟，但要順時針跳過三個符號。圖表現在看起來如下：
請注意，此時每個符號都擊敗其他三個符號，並且被其他三個不同的符號擊敗。
這種方法適用於任何質數個符號，因為當你回到原始符號時，你已經遍歷了所有符號。對於 n 個符號，你需要重複這個過程 (n-1)/2 次。
你可以用任意奇數個符號來平衡遊戲，但有時你會很快回到原始符號。當這種情況發生時，你必須從錯過的符號開始進行其他循環。
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
三張牌撲克中平手的機率是多少？
準確答案是 450528/407170400 =~ 0.001106485 =~ 1/904。
下表列出了每個初始牌型的組成方式數量，以及第二手牌中平局的組合數量。對於順子和垃圾牌，第一手牌中出現的花色是兩種還是三種很重要。
右下角單元格顯示，三張牌撲克共有 450,528 種打平方式。兩手牌的組合總數為 combin(52,3)*combin(49,3) = 407170400。因此，答案為 450528/407170400。
三張牌撲克平局
| 手 | 手牌 1 | 手牌 2 | 產品 |
|---|---|---|---|
| 三條 | 52 | 0 | 0 |
| 同花順 | 四十八 | 3 | 144 |
| 順子（三花色） | 288 | 二十六 | 7,488 |
| 順子（兩組花色） | 432 | 二十五 | 10,800 |
| 沖洗 | 1,096 | 3 | 3,288 |
| 一對 | 3,744 | 3 | 11,232 |
| 垃圾（三套） | 6,576 | 二十六 | 170,976 |
| 垃圾（兩套） | 9,864 | 二十五 | 246,600 |
| 全部的 | 22,100 | 450,528 |
在 6-5 二十一點遊戲中，免費 A 牌優惠券的價值是多少？
在我的免費 A 牌價值頁面中，我聲明它的價值是 3-2 二十一點賭注金額的 50.1844%。
在六副牌的二十一點中，假設第一張牌是A，那麼拿到黑傑克的機率是29.3139%。在這種情況下，你在6-5黑傑克中贏得的單位比3-2黑傑克少0.3個。
因此，6-5 六副牌二十一點中免費 A 的價值為初始賭注的 50.1844% × 29.3139 × 0.3 = 41.3902%。
有人跟我打賭，說他能在27次擲骰子中用兩顆骰子總共擲12點。如果他沒擲出，我就能贏12點。既然擲出12點的機率是1/36，那他平均需要擲36次才能擲出12點嗎？如果對手只擲27次，那看來我的勝算就大了。我猜對了嗎？還是我的計算有什麼問題？
兩次擲出 12 點的平均等待時間確實是 36 次，包括擲出 12 點本身。然而，這並不意味著它們恰好每 36 次擲出一次。擲不出 12 點的機率是 (35/36)。 27 次擲不出 12 點的機率是 (35/36)^27。因此，擲出至少一次 12 點的機率是 1-(35/36)^27 = 53.26%。
下表顯示了在20至36次投擲中至少擲出12的機率。注意，需要擲出25次才能在均等賠率下獲得優勢。
機率 12
| 麵包捲 | 可能性 |
|---|---|
| 20 | 43.07% |
| 21 | 44.66% |
| 22 | 46.19% |
| 23 | 47.69% |
| 24 | 49.14% |
| 二十五 | 50.55% |
| 二十六 | 51.93% |
| 二十七 | 53.26% |
| 二十八 | 54.56% |
| 二十九 | 55.82% |
| 三十 | 57.05% |
| 31 | 58.24% |
| 三十二 | 59.40% |
| 33 | 60.53% |
| 三十四 | 61.63% |
| 三十五 | 62.69% |
| 三十六 | 63.73% |