請問巫師 #369
解出 x：
9x + 12x = 16x
[劇透=答案]=(log(1+SQRT(5))-log(2))/(log(4)-log(3)) =~ 1.67272093446233。 [/劇透]
這是我的解決方案（PDF）。
我在Wizard of Odds論壇上提出並討論了這個問題。
這個問題的靈感來自於影片《一個困難的指數問題》 。
求一個十位數，滿足：
- 這個數字的第一位數字是整個數字中 0 的個數。
- 這個數字的第二位數字是整個數字中 1 的個數。
- 這個數字的第三位數字是整個數字中 2 的個數。
- 該數字的第 4 位數字是整個數字中 3 的個數。
- 該數字的第 5 位數字是整個數字中 4 的數量。
- 該數字的第 6 位數字是整個數字中 5 的數量。
- 該數字的第 7 位數字是整個數字中 6 的數量。
- 該數字的第 8 位數字是整個數字中 7 的數量。
- 該數字的第 9 位數字是整個數字中 8 的數量。
- 這個數字的第 10 位是整個數字中 9 的個數。
[劇透=答案]6,210,001,000[/劇透]
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
一個邪惡的監獄長召集了 100 名囚犯，並給每個人分配了從 1 到 100 的唯一編號。
另一個房間裡有100個編號的盒子。監獄長拿出編號1到100的紙片，隨機地將它們放入盒子裡，每個盒子一張。
第二天，囚犯將被允許依序進入箱子房間。每個囚犯可以打開50個箱子。如果一個囚犯找到了自己號碼的箱子（例如，23號囚犯找到了寫著數字23的箱子），那麼他就算「成功」了，如果他在第50次打開之前找到它，就可以提前離開。出口與入口不同，而是通過另一扇門。尚未輪到的囚犯不會知道之前任何囚犯的結果。
如果100名囚犯全部成功，他們就會被釋放。但是，如果有一人或多人失敗，他們就會被立即處死。
囚犯們可以在一起制定一天的策略。一旦第一個囚犯進入箱子房間，就不允許再進行任何交流。交流的例子包括但不限於：移動紙張、打開箱子蓋。一旦發現任何交流，所有囚犯都將立即處死。
什麼策略可以最大程度地提高他們被釋放的可能性？
[劇透=僅限策略]
整體想法是，如果至少有一名囚犯失敗，那麼其他囚犯也可能會失敗，因為最終所有人的死亡結果都是一樣的。因此，一個好的策略會最大化所有人成功的機率，但同時也會犧牲大量囚犯失敗的機率。
設想一種策略：玩家打開任意一個盒子。然後，他唸出盒子裡紙上的數字，然後第二個打開那個盒子。接著，他讀出第二個盒子裡的紙，第三個打開寫有該數字的盒子。如果他不斷重複這個過程，最終會被帶回他最初的那個盒子。
如果玩家遵循這一策略，而他自己的數字位於該數字循環的某個位置，那麼他顯然最終會找到，假設他可以打開的盒子沒有限制。
為了確保玩家最終總是能找到自己的號碼，他可以從自己的號碼開始。這樣，他最終會回到原來的號碼，儘管可能需要打開1到100個盒子。
這種策略最終會回到第一個盒子的盒子集合被稱為閉環。閉環中的盒子數量就是環的大小。
這個問題的關鍵是，如果沒有大於 50 的閉環，每個囚犯都會成功。
[劇透][劇透=解]
如果存在一個 100 的閉環，囚犯們都會失敗。這個機率是多少？第一個盒子不通往自身的機率是 99/100。如果它不通往自身，那麼第二個盒子不通往原始數字的機率是 98/99。如果第二個盒子不通往自身，那麼下一個盒子不通往自身的機率是 97/98。擴展這個邏輯，存在一個大小為 100 的閉環的機率為 (99/100)*(98/99)*(97/88)*...*(3/4)*(2/3)*(1/2) = 1/100。
那麼 99 個閉環呢？有了 99 個閉環，就會出現另一個 1 個閉環。這個 1 個閉環可以是 100 個盒子中的任何一個。對於任何一個盒子，它都有 1/100 的機率通往自身。對於另外 99 個盒子，它們形成閉環的機率是 1/99，按照上面 100 個閉環的邏輯。因此，99 個閉環的機率是 100 × (1/100) & (1/99) = 1/99。
那麼 98 個盒子的閉環呢？ 98 個盒子的閉環意味著另外兩個盒子會以某種方式相互連通，要么是兩個盒子的閉環，要么是一個兩個盒子的閉環。這個「一個盒子」的閉環可能是 100 個盒子中的任何一個。對於任何一個盒子，它都有 1/100 的機率通往自身。對於另外 99 個盒子，根據上面 100 個盒子的閉環的邏輯，它們形成閉環的機率為 1/99。因此，99 個盒子的閉環的機率為 100 × (1/100) × (1/99) = 1/99。
那麼，98個盒子的閉環又如何呢？ 98個盒子的閉環意味著另外兩個盒子會以某種方式相互連接，要么形成兩個單閉環，要么形成一個雙閉環。從100個盒子中選擇兩個盒子，一共有(100,2)=4950種方法。一旦選擇了兩個盒子，那麼這兩個盒子裡裝有與其盒子編號匹配的紙條的機率（無論以何種方式排列）都是(2/100)*(1/99) = 4950分之一。那麼，另外98個盒子形成閉環的機率是1/98。因此，98個盒子形成閉環的機率是(4950)*(1/4950)*(1/98) = 1/98。
我們可以繼續遵循這個邏輯，直到 51 的閉環具有 1/51 的機率。
失敗的機率是 pr(100 的閉環) + pr(99 的閉環) + pr(98 的閉環) + ... + pr(51 的閉環) = 1/100 + 1/99 + 1/98 + 1/97 + ... + 1/51 = 0.6883。
如果失敗的機率是 0.688172179，那麼成功的機率就是 1 - 0.6881721793 =~ 0.3118278207。
[劇透]我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
這個問題是受到這個 Veritasium 影片的啟發。
你的辦公室有100名員工，他們會舉辦一個秘密聖誕禮物交換活動。你會把每個人的名字寫在一張紙上，然後把紙放進一頂帽子裡，然後每個人隨機抽出一個名字作為禮物送給他們。
問題是，平均會有多少個閉環？
大小為 4 的閉環範例：Gordon 給 Don，Don 給 Jon，Jon 給 Nathan，Nathan 給 Gordon。
畫出自己的名字將會是一個大小為 1 的閉環。
[劇透=答案](1/1) + (1/2) + (1/3) + ... + (1/100) =~ 5.187377518. [/劇透]
[劇透=解]
假設只有一位員工參加秘密聖誕派對。顯然他會自己挑選，這樣就形成了一個閉環。
然後，第二個員工遲到了，要求加入。他們給了她一份現在兩名員工的名單。她選擇員工 1 的機率是一半，而自己選擇員工 2 的機率是一半。如果她選擇了員工 1，那麼她就可以擠進員工 1 的循環中，她為員工 1 買東西，員工 1 也為她買東西。所以，現在的機率是 1 + 0.5*1 = 1.5
然後，第三個員工遲到了，他要求加入。他們給了她一份現在有3名員工的名單。她選擇員工1或2的機率是2/3，而自己選擇員工1或2的機率是1/3。如果她選擇了員工1或2，那麼她就可以被擠進他們的循環中，她會為她選擇的員工買單，而原本應該為該員工買單的人現在要為3號員工買單。所以，現在的機率是1.5 + (1/3) = 11/6。
然後，第四位員工遲到了，他要求加入。店員給了她一份現在有四名員工的名單。她選擇員工 1 到 3 的機率是 3/4，而自己選擇員工 1 到 3 的機率是 1/4。如果她選擇了員工 1 到 3，那麼她就可以被擠進他們的循環中，她會為她選擇的員工買單，而原本應該為該員工買單的人現在要為 4 買單。所以，現在的機率是 11/6 + (1/4) = 25/12。
繼續這樣做，最終答案是 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/100 =~ 5.187377518。
[劇透]我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。