請問巫師 #367

我喜歡在擲骰子遊戲中押注所有數字。在擲出7之前，我預計會擊中多少個不同的數字？

anonymous

為了其他讀者的利益，問題是詢問在擲出總數七之前，兩次擲骰子會擲出以下多少個總數：4、5、6、8、9 和 10。

答案是 2.375758。下表顯示了在指定範圍內擲出 0 到 6 個不同點數的機率。右下角單元格顯示的是擲出 7 點之前的平均不同點數。

拋一枚公平的硬幣，最終落在最初朝上的一面的可能性更大，這是真的嗎？

anonymous

證據表明這是真的！

史丹佛大學的佩爾西·迪亞科尼斯和蘇珊·霍姆斯記錄了10000次拋硬幣實驗。硬幣落地時正面朝上的機率為50.8%（資料來源：美國數學學會期刊《數學科學動態》中的「51%解決方案」）。出現如此高或更高比例的機率為5.48%。

為了從數學上證明這一點，我假設硬幣的實際旋轉次數服從泊松分佈。更具體地說，如果平均旋轉次數為m，那麼恰好旋轉n次的機率為exp(-m)*m^n/n!。為了說明泊松分佈，下圖顯示了假設平均值為10，硬幣旋轉0到25次的機率。

我選擇泊松假設的原因是，當平均值足夠大時，它遵循近似鐘形曲線的形狀，並且實際結果永遠不會低於零。

然後，我計算了不同半轉均值下，半轉次數為偶數（最終落地時與起始位置同一側朝上）的機率。下表顯示了平均值在0.5到5.0之間的結果。

我開始好奇，為什麼偶數的機率總是大於 50%。事實證明，給定平均值 m，偶數的機率可以表示為 0.5 + e^(-2m)/2。 e 的任次方必定為正數，因此旋轉次數為偶數的機率也為正數。

您可以在此處看到我對該公式的證明。

您對“價格猜猜猜”節目中的拼字遊戲有何分析？

anonymous

為了其他讀者的利益，讓我先介紹一下規則。

這是正在進行的比賽的片段。

下表顯示了獲勝的機率，根據玩家擁有的牌數計算，假設尚未翻開任何牌。

在翻開任何牌之前，玩家不應該放棄，因為假設汽車的價值合理。例如，即使只有兩張牌，玩家也有13.1%的機率至少拿到一張「CAR」牌。如果汽車的價值為15,263.16美元，那麼玩家應該對2,000美元的放棄價值無所謂。任何新車的價值都會高於這個數字。

以下是根據玩家未翻開的牌的數量對汽車價值的漠視點數。