請問巫師 #364
你穿越回一周前，試圖贏得一張價值1000萬美元的彩票。這張彩券每張售價1美元。請注意，即使你中了獎，你的購票款也不會退還。這一切聽起來都很棒。
問題是，你並不孤單。還有另外10位時間旅行者也知道中獎號碼。你確信他們每人都會買一張彩券。現在，根據彩券規則，獎金將由所有中獎彩券均分（也就是說，獎金不會平均分配給所有中獎者）。
您應該購買多少張票才能最大化利潤？
[劇透=提示]
記住商法則：
[f(x)/g(x)] d/dx = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/(g(x))^2
[劇透] [劇透=答案]9,990 [/劇透] [劇透=解]設 n = 您購買的票數。
假設 w(n) = 購買 n 張彩券的淨贏利 = 10,000,000 × (n/(n+10)) - n。
為了找出多一張彩券不會改變淨贏利的點，我們對 w(n) 求導。這裡使用商法則（參見提示），其中分子為 n，分母為 (n+10)。
w'(n) = 10,000,000 * (1*(n+10) - n*1)/(n+10)^2 - 1 = 0
10,000,000 * 10/(n+10)^2 - 1 = 0
10,000,000 * 10/(n+10)^2 = 1
100,000,000 = (n+10)^2
10,000 = n+10
n = 9,990
[劇透]這個問題是在我的Wizard of Vegas論壇中提出並討論的。
我在你的論壇上看到有人聲稱在二十一點遊戲中連續60手牌贏錢。平均需要玩多少手牌才能看到這種情況？另外，這與「問巫師」第363欄中提到的有人在擲骰子遊戲中連續18次拿到11點的事件相比如何？
要回答你的問題，我們必須先了解一些二十一點遊戲的規則。我將採用所謂的“自由脫衣規則”，具體如下：
- 六副甲板
- 莊家在軟 17 點停牌
- 允許分牌後加倍
- 允許重新分牌
- 允許投降
根據這些規則，假設基本策略完美，淨贏/輸的機率如下：
- 淨贏率：42.43%
- 淨推：8.48%
- 淨虧損：49.09%
我詢問了這起事件的目擊者，他說這60手牌不包括平手。換句話說，60手牌已經解決了。我還假設，如果玩家分牌，它仍然只算一手牌，並且玩家分牌的所有牌中都有淨贏。
正如在關於連續 18 次總數為 11 的問題中所解釋的那樣，預計等待時間的公式是：
預期等待時間 = [(1/p)^(n+1) - 1] / [(1/p) - 1] - 1，其中：
n = 連續獲勝次數
p = 獲勝機率
在這種情況下，如果一手牌已解決，那麼每手牌淨贏的機率為 42.43%/ (43.43% + 49.09%) = 46.36%。更具體地說，是 0.46359564。
使用上述公式，觀察此事件的預期等待時間為 (1/0.46359564)^61 - 1]/[(1/0.46359564) - 1] - 1 = 200,941,772,393,648,000,000 手。
相較之下，在擲骰子遊戲中，連續18次擲出11點需要等待41,660,902,667,961,000,000,000次，是11點的207倍。所以，據我所知，18歲的故事仍然是拉斯維加斯巫師論壇上講述的最高故事。
當時我有300美元的贈券，於是邀請一些朋友去餐廳用我的贈券消費。我們玩得很開心，直到帳單加稅和小費加起來大約386美元。我的朋友故意沒帶錢，以為我會幫大家付稅和小費。我很生氣，告訴他們我覺得應該大家要分攤稅和小費，因為贈券裡面不包括稅金和小費。
他們爭辯說，既然是我邀請他們的，而且這些是我的優惠券，他們覺得我應該支付所有的稅金和小費。我辯稱，出於禮貌，我應該支付公平份額的稅金和小費。我的朋友們很反感，認為我不講道理，拒絕分擔稅金和小費。我支付了大約 86 美元的稅金和小費，因為很明顯我的朋友中沒有人願意支付稅金和小費。服務生開始著急了。他們不但沒有感謝我使用優惠券並親自支付稅款和小費，反而因為我要求他們分擔稅款和小費而對我生氣。我錯了嗎？
我已經有一段時間沒有遇到禮儀問題了，所以謝謝你。
你的朋友不付稅金和小費，你這話聽起來太小氣了。順便說一句，在內華達州，免費用餐是不用繳稅的，所以這事肯定發生在其他州。不過，你應該在邀請的時候就先明確說明你的期望。所以，我認為雙方都有錯。
這至少可以作為一個教訓。我在拉斯維加斯至少吃過100次免費餐，有時是我提供的，有時是別人提供的。我所遵循的禮儀，通常大家都會同意，就是在邀請時，在贈品上註明最高贈品金額的限制。然後，所有受邀者都要支付超出最高贈品金額的部分以及小費。
這個問題是在我的Wizard of Vegas論壇中提出並討論的。