請問巫師 #359
這是《謎語人》中的另一個謎題。
一個袋子裡有100顆彈珠，每顆彈珠不是紅色，就是藍色，就是綠色。如果從袋子裡抽出三顆彈珠，那麼抽到每種顏色彈珠的機率是20%。請問袋子裡每種顏色彈珠的數量是多少？請注意，我並沒有明確說明彈珠是隨機抽取還是無放回抽取。
讓我們嘗試在「有放回」的假設下解決這個問題。設 r、b 和 g 分別為紅色、藍色和綠色彈珠的數量。那麼，抽到每種顏色彈珠的機率為 6*(r/100)*(b/100)*(g/100)。設機率等於 0.2，我們可以得到：
6*(r/100)*(b/100)*(g/100) = 0.2
6*r*b*g = 200000
6不能被200,000整除。因此，r*b*g = 33333.333不可能有整數解…所以，我們可以排除替換抽樣的情況。
接下來，我們嘗試「不重複」假設。在這種情況下，每種顏色各抽取一張的機率是 r*b*g/combin(100,3) = 0.2。試著解一下…
r*b*g/161700 = 0.2
r*b*g = 32340
32340 的質因數分解為 2*2*3*5*7*7*11。
我們需要將這些因子分佈在 r、b 和 g 之間，同時保持 r+b+g=100。例如，我們可以嘗試：
r = 2*3*5 = 30
b = 2*11 = 22
克=7*7=49
雖然這些正確地用完了所有素數因子，r+b+g = 101，所以它不是一個有效的解決方案。
恐怕我必須編寫一個強力循環程式才能以任意順序獲得 r、b 和 g 的值 21、35 和 44 的解決方案。
[劇透]您如何理解擲骰子遊戲中，如何將 5 美元的賭注累積到 1,200 美元？先在 4 上押 5 美元。如果贏了，就將贏來的錢累積到 5 上。如果贏了，就將贏來的錢累積到 6 上。繼續押注 8、9，然後 10。您可以假設玩家在 4 和 8 上獲勝後會加註 1 美元，以保持賭注為整數。
押注數字 4 的勝率是 3/(3+6) = 3/9 = 1/3。押注數字 4 的賠率為 9 比 5，因此如果押注成功，您將獲得總計 9 美元 + 5 美元 = 14 美元的獎金。
接下來，玩家在數字 5 上加 1 美元，總計 15 美元。數字 5 的勝率是 4/(4+6) = 4/10 = 2/5。數字 5 的位置投注賠率為 7 比 5，因此如果該投注勝出，您將獲得 21 美元 + 15 美元 = 36 美元的獎金。至少贏得這個數字的機率是 (1/3) * (2/5) = 13.33%。
接下來，玩家在數字 6 上押 36 美元。押 6 的勝率是 5/(5+6) = 5/11。押 6 的賠率是 7 比 6，所以如果押對了，你將獲得 42 美元 + 36 美元 = 78 美元。至少押到這個數字的機率是 (1/3)*(2/5)*(5/11) = 2/33 = 6.06%
接下來，玩家在數字 8 上押注 78 美元。 8 的勝率是 5/(5+6) = 5/11。如果在數字 8 上押注位置，賠率是 7 比 6，所以如果該位置下注成功，您將獲得 91 美元 + 78 美元 = 169 美元。至少贏得這個位置的機率是 (1/3)*(2/5)*(5/11)^2 = 10/363 = 2.75%
接下來，玩家從口袋裡拿出 1 美元，加到 169 美元中，並在數字 9 上押 170 美元。數字 9 獲勝的機率是 4/(4+6) = 2/5。如果押 9 的位置，賠率為 7 比 5，所以如果押對了，你將獲得 238 美元 + 170 美元 = 408 美元。至少贏得這個數字的機率是 (1/3)*(2/5)^2*(5/11)^2 = 4/363 = 1.10%
最後，我們準備押注數字 10。由於買入投注的莊家優勢較低，我們假設玩家押注 10。您沒有明確說明玩家是必須預付佣金還是僅在贏錢時支付。我們先來看看預付佣金的情況。根據該規則，投注金額應該可以被 21 美元整除。假設玩家押注 10 380 美元，預付 19 美元 5% 的佣金，並從他的 408 美元中扣除 9 美元。
點數為4的中獎機率為3/(3+6) = 3/9 = 1/3。如果下注380美元，將贏得760美元的獎金，總計760美元+380美元=1,140美元。至少贏得這個數字的機率為(1/3)^2*(2/5)^2*(5/11)^2 = 4/1089 = 0.37% = 1/272.25。
回想一下，玩家在遊戲中下注 5 美元 + 1 美元 + 1 美元，但贏到 9 美元後卻賺了 9 美元，淨贏 1,142 美元。如果我們將賭場優勢定義為最初 5 美元賭注的預期損失，那麼賭場優勢就是 1.06 美元/5.00 美元 = 21.16%。
接下來，讓我們來看看如果只對10的贏錢支付佣金會怎麼樣。在這種情況下，10的買入投注應該可以被20美元整除。假設玩家贏了8美元，並下注了剩下的400美元。
贏得 400 美元的賭注將支付 780 美元的獎金，總計 780 美元 + 400 美元 = 1,180 美元。
回想一下，玩家在遊戲中下注 5 美元 + 1 美元 + 1 美元，但在 9 點獲勝後獲得了 8 美元，淨贏 1,181 美元。如果我們將賭場優勢定義為最初 5 美元賭注的預期損失，那麼賭場優勢就是 0.92 美元/5.00 美元 = 18.44%。
所以，除非玩家在9點獲勝後，或是在遊戲過程中的其他地方掏出更多錢，否則我們不可能達到1200美元的目標。我無法認可這個策略的價值，但它看起來確實很有趣也很刺激。
在巴拿馬城的金獅賭場，莊家會為明牌10點的玩家提供保險。如果莊家拿到黑傑克，賠率與明牌A相同，都是2比1。賭場使用六副牌。如果莊家拿到10點的明牌，賭場優勢是多少？
哎喲！我在澳門美高梅也看到了同樣可怕又無知的規定。
底牌為A且明牌為10的機率為(6*4)/(6*52-1) = 7.717%。預期收益為0.077170×2 + 0.922830×-1 = -0.768489。換句話說，莊家優勢為76.85%。