請問巫師 #358
在美食頻道最新的遊戲節目《蔓越莓還是破產》（Cranberries or Bust）中，你需要在兩扇門之間做出選擇：A 門和 B 門。一扇門後面有足夠你一輩子享用的蔓越莓醬，而另一扇門後面什麼都沒有。小伙子，你一定超愛蔓越莓醬吧？
當然，這其中還有個小插曲。主持人會給你一枚硬幣，硬幣的兩面分別標有A和B，分別對應著一扇門。主持人會告訴你，這枚硬幣的權重偏向蔓越莓門——但不會告訴你是哪扇門——而且蔓越莓門對應的字母出現的機率是60%。例如，如果醬汁在A門後面，那麼硬幣出現的機率是A門的60%，而B門的40%。
你可以拋硬幣兩次，之後你必須做出選擇。假設你優化了策略，你選擇蔓越莓醬那扇門的機率是多少？
額外加分：如果允許你翻轉三次、四次……十次，而不是兩次呢？那麼，你選擇有蔓越莓醬的門的機率是多少？
單次拋擲的情況相當簡單。硬幣有 60% 的機率落在有蔓越莓醬的門上。玩家的策略應該是選擇硬幣落在的任何一扇門。因此，他有 60% 的機率選對。
[/spoiler] [劇透=兩次翻轉解]假設A門上有蔓越莓醬，B門什麼都沒有。那麼，硬幣A面有60%的機率。玩家的策略應該是選擇硬幣大多數情況下落在的門。如果結果相同，玩家可以選擇任何一扇門，因為他沒有有用的信息。
以下是可能的結果及其機率。 A 和 B 混合的情況可以任意順序排列：
AA：60%^2 = 36%
AB：2*60%*40%=48%
BB：40%^2 = 16%
如果硬幣兩次都落在 A 上，玩家就能選對門。如果硬幣一次落在 A 上，一次落在 B 上，玩家將不會獲得任何有用的信息，並且選門的機率是 50%。如果硬幣兩次都落在 B 上，玩家就會選錯門。
因此，在兩次翻轉的情況下，玩家選擇正確門的機率為 60% + 48%*(1/2) = 60%。
[/spoiler] [劇透=三次翻轉解]假設A門上有蔓越莓醬，B門什麼都沒有。那麼，硬幣A面中獎的機率是60%。玩家的策略應該是，硬幣大部分時間都落在哪扇門就選哪扇。
以下是可能的結果及其機率。 A 和 B 混合的情況可以任意順序排列：
AAA：60%^3 = 21.6%
AAB：3*60%^2*40% = 43.2%
ABB：3*60%^2*40%=28.8%
BBB：40%^3 = 6.4%
如果硬幣至少兩次落在 B 上，玩家就能選對門。如果硬幣兩次或兩次以上都落在 B 上，玩家就能選錯門。
因此，在三次翻轉的情況下，玩家選擇正確門的機率為 21.6% + 43.2% = 64.8%。
[/spoiler] [劇透=四次翻轉解決方案]假設A門上有蔓越莓醬，B門什麼都沒有。那麼，硬幣A面有60%的機率。玩家的策略應該是選擇硬幣大多數情況下落在的門。如果結果相同，玩家可以選擇任何一扇門，因為他沒有有用的信息。
以下是可能的結果及其機率。 A 和 B 混合的情況可以任意順序排列：
AAAA：60%^4 = 12.96%
AAAB：4*60%^3*40% = 34.56%
AABB：6*60^2*40%^2 = 34.56%
ABBB：4*60%*40%^3 = 15.36%
BBBB：40%^4 = 2.56%
如果硬幣至少三次落在 A 上，玩家就能選對門。如果硬幣兩次落在 A 上，兩次落在 B 上，玩家將不會獲得任何有用的信息，並且選門的機率是 50%。如果硬幣至少三次落在 B 上，玩家會選錯門。
因此，在四次翻轉的情況下，玩家選擇正確門的機率為 12.96% + 34.56% + 34.56%*(1/2) = 64.80%。
[/spoiler]前四種情況的邏輯適用於所有情況。記住，從 y 項中選擇 x 的方法數是 y!/(x! * (yx)!)。
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
為了慶祝感恩節，你和19位數學家圍坐在一張圓桌旁。餐桌上的每個人都想吃一份蔓越莓醬，而現在，蔓越莓醬就擺在你面前。
首先，你先自己取。然後，你不再圍成一圈傳遞醬汁，而是隨機地把它傳給你左邊或右邊的座位。然後，他們也照做，隨機地把它傳給他們左邊或右邊的座位。如此反复，直到每個人都拿到了蔓越莓醬。
圈子裡的 20 個人中，誰最有可能最後才收到蔓越莓醬？
讓我們將其中一位數學家命名為 G。為了使 G 成為最後一位，必須發生兩件事：
- 蔓越莓必須先到達 G 的鄰居。
- 蔓越莓必須向相反方向移動 19 個位置，而不能到達 G。
蔓越莓要成為最後一個，最終必須到達鄰近的蔓越莓之一。因此，這種情況發生的機率是 100%。
那麼，無論第二部分的機率是多少，對每個人來說都是相同的。因此，每個人排在最後的機率是相等的。
如果這個解釋還不夠清楚，Gialmere 是從 fivethirtyeight.com 找到這個問題的。他們在這裡解釋了答案。向下捲動到「上週 Riddler Classic 的答案」部分。
[/spoiler]我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
向高斯曲線隨機投擲一支飛鏢。設飛鏢的位置為 (x,y)。 x 的絕對值的期望值是多少？
[spoiler=答案]sqrt(2/π) =~ 0.797884560802865355879892119868 76373695171726232986931533185165 9341315856706 13872860605117725270365371021983 90911167448599242546125101541269 05411654409986351290326916 94507285464167339186956543405998 37283812691206561786677721340931.
這是我的解決方案（PDF）。
要計算小數點後幾位，請使用我的Wiz 計算器。
當隨機要求一個人說出一副 52 張牌中的任一張牌時，他們最有可能選出哪張牌？
目前為止，黑桃A是最佳選擇。根據《魔術心理學》的統計，黑桃A的出牌機率為24.59%。以下是前五的牌：
- 黑桃A：24.59%
- 紅心皇后：13.71%
- 紅桃 A：6.15%
- 紅桃K：5.91%
- 黑桃J：4.26%
在他們表面上的 417 個樣本中，從未選出的是方塊 5、梅花 6、梅花 5、黑桃 6 和黑桃 4。