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請問巫師 #358

在美食頻道最新的遊戲節目《蔓越莓還是破產》(Cranberries or Bust)中,你需要在兩扇門之間做出選擇:A 門和 B 門。一扇門後面有足夠你一輩子享用的蔓越莓醬,而另一扇門後面什麼都沒有。小伙子,你一定超愛蔓越莓醬吧?

當然,這其中還有個小插曲。主持人會給你一枚硬幣,硬幣的兩面分別標有A和B,分別對應著一扇門。主持人會告訴你,這枚硬幣的權重偏向蔓越莓門——但不會告訴你是哪扇門——而且蔓越莓門對應的字母出現的機率是60%。例如,如果醬汁在A門後面,那麼硬幣出現的機率是A門的60%,而B門的40%。

你可以拋硬幣兩次,之後你必須做出選擇。假設你優化了策略,你選擇蔓越莓醬那扇門的機率是多少?

額外加分:如果允許你翻轉三次、四次……十次,而不是兩次呢?那麼,你選擇有蔓越莓醬的門的機率是多少?

Gialmere

60.000%

60.000%

64.800%

64.800%

68.256%

68.256%

71.021%

71.021%

73.343%

73.343%

[劇透=一次翻轉解決方案]

單次拋擲的情況相當簡單。硬幣有 60% 的機率落在有蔓越莓醬的門上。玩家的策略應該是選擇硬幣落在的任何一扇門。因此,他有 60% 的機率選對。

[劇透]

[劇透=兩次翻轉解]

假設A門上有蔓越莓醬,B門什麼都沒有。那麼,硬幣A面有60%的機率。玩家的策略應該是選擇硬幣大多數情況下落在的門。如果結果相同,玩家可以選擇任何一扇門,因為他沒有有用的信息。

以下是可能的結果及其機率。 A 和 B 混合的情況可以任意順序排列:

AA:60%^2 = 36%
AB:2*60%*40%=48%
BB:40%^2 = 16%

如果硬幣兩次都落在 A 上,玩家就能選對門。如果硬幣一次落在 A 上,一次落在 B 上,玩家將不會獲得任何有用的信息,並且選門的機率是 50%。如果硬幣兩次都落在 B 上,玩家就會選錯門。

因此,在兩次翻轉的情況下,玩家選擇正確門的機率為 60% + 48%*(1/2) = 60%。

[劇透]

[劇透=三次翻轉解]

假設A門上有蔓越莓醬,B門什麼都沒有。那麼,硬幣A面中獎的機率是60%。玩家的策略應該是,硬幣大部分時間都落在哪扇門就選哪扇。

以下是可能的結果及其機率。 A 和 B 混合的情況可以任意順序排列:

AAA:60%^3 = 21.6%
AAB:3*60%^2*40% = 43.2%
ABB:3*60%^2*40%=28.8%
BBB:40%^3 = 6.4%

如果硬幣至少兩次落在 B 上,玩家就能選對門。如果硬幣兩次或兩次以上都落在 B 上,玩家就能選錯門。

因此,在三次翻轉的情況下,玩家選擇正確門的機率為 21.6% + 43.2% = 64.8%。

[劇透]

[劇透=四次翻轉解決方案]

假設A門上有蔓越莓醬,B門什麼都沒有。那麼,硬幣A面有60%的機率。玩家的策略應該是選擇硬幣大多數情況下落在的門。如果結果相同,玩家可以選擇任何一扇門,因為他沒有有用的信息。

以下是可能的結果及其機率。 A 和 B 混合的情況可以任意順序排列:

AAAA:60%^4 = 12.96%
AAAB:4*60%^3*40% = 34.56%
AABB:6*60^2*40%^2 = 34.56%
ABBB:4*60%*40%^3 = 15.36%
BBBB:40%^4 = 2.56%

如果硬幣至少三次落在 A 上,玩家就能選對門。如果硬幣兩次落在 A 上,兩次落在 B 上,玩家將不會獲得任何有用的信息,並且選門的機率是 50%。如果硬幣至少三次落在 B 上,玩家會選錯門。

因此,在四次翻轉的情況下,玩家選擇正確門的機率為 12.96% + 34.56% + 34.56%*(1/2) = 64.80%。

[劇透]

前四種情況的邏輯適用於所有情況。記住,從 y 項中選擇 x 的方法數是 y!/(x! * (yx)!)。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

為了慶祝感恩節,你和19位數學家圍坐在一張圓桌旁。餐桌上的每個人都想吃一份蔓越莓醬,而現在,蔓越莓醬就擺在你面前。

首先,你先自己取。然後,你不再圍成一圈傳遞醬汁,而是隨機地把它傳給你左邊或右邊的座位。然後,他們也照做,隨機地把它傳給他們左邊或右邊的座位。如此反复,直到每個人都拿到了蔓越莓醬。

圈子裡的 20 個人中,誰最有可能最後才收到蔓越莓醬?

Gialmere

其他人最後得到蔓越莓醬的機會都是均等的。

[劇透=解]

讓我們將其中一位數學家命名為 G。為了使 G 成為最後一位,必須發生兩件事:

  1. 蔓越莓必須先到達 G 的鄰居。
  2. 蔓越莓必須向相反方向移動 19 個位置,而不能到達 G。

蔓越莓要成為最後一個,最終必須到達鄰近的蔓越莓之一。因此,這種情況發生的機率是 100%。

那麼,無論第二部分的機率是多少,對每個人來說都是相同的。因此,每個人排在最後的機率是相等的。

如果這個解釋還不夠清楚,Gialmere 是從 fivethirtyeight.com 找到這個問題的。他們在這裡解釋了答案。向下捲動到「上週 Riddler Classic 的答案」部分。

[劇透]

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

向高斯曲線隨機投擲一支飛鏢。設飛鏢的位置為 (x,y)。 x 的絕對值的期望值是多少?

anonymous

[劇透=答案]sqrt(2/π) =~ 0.797884560802865355879892119868 76373695171726232986931533185165 9341315856706 13872860605117725270365371021983 90911167448599242546125101541269 05411654409986351290326916 94507285464167339186956543405998 37283812691206561786677721340931.

這是我的解決方案(PDF)。

要計算小數點後幾位,請使用我的Wiz 計算器

當隨機要求一個人說出一副 52 張牌中的任一張牌時,他們最有可能選出哪張牌?

anonymous

目前為止,黑桃A是最佳選擇。根據《魔術心理學》的統計,黑桃A的出牌機率為24.59%。以下是前五的牌:

  • 黑桃A:24.59%
  • 紅心皇后:13.71%
  • 紅桃 A:6.15%
  • 紅桃K:5.91%
  • 黑桃J:4.26%

在他們表面上的 417 個樣本中,從未選出的是方塊 5、梅花 6、梅花 5、黑桃 6 和黑桃 4。