請問巫師 #357

[劇透=答案]5/34 + 7/68 + 9/12 [/劇透]

[劇透=解]

有 permut(9,3)*permut(6,3)*permut(3,3)/fact(3) = 60,480 種可能的排列組合需要排序才能找到答案。我必須承認，我反覆試驗了至少一個小時，卻沒有找到答案。

因此，我編寫了一個程序，對 fact(9) = 362,880 種對這 9 個數字進行排序的方法進行了測試。棘手的部分在於要對這 9 個數字的所有可能排序方式進行排序。以下是使用字典順序排序的方法。

1. 將所有九個元素放入一個陣列中，按從低到高的順序排列。
2. 找到數組中最後一個元素，使得下一個元素大於它。如果未找到，則退出程式。
3. 從步驟 2 的下一個元素開始，找出陣列中大於步驟 2 中的元素的最後一個元素。
4. 交換步驟 2 和步驟 3 中陣列中的元素。
5. 將陣列中的元素從步驟 2 開始依序反轉，直到最後。
6. 返回步驟 2

按照這個過程，你會找到六次正確答案，一次解決所有六種排序三個分數的方法。 [/劇透]

[劇透=代碼]

我編寫了以下程式碼，按字典順序對從 1 到 9 的每個數字進行排序，並測試每個數字是否為解決方案。

無效三分數（無效）
{
 int i，x_max，y_max，temp_array[100]，保持，pt；
 int lex_array[] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 };
 int num_elements = sizeof(lex_array) / sizeof(lex_array[0]);
 int 計數 = 0;
 bool 停止 = false;
 雙倍tot3；
 cerr << "元素數量 =\t" << num_elements << "\n";
 做
 {
  計數++；
  tot3 = (雙精確度)lex_array[0] / (雙精確度)(10 * lex_array[1] + lex_array[2]);
  tot3 += (雙精度)lex_array[3] / (雙精度)(10 * lex_array[4] + lex_array[5]);
  tot3 += (雙精度)lex_array[6] / (雙精度)(10 * lex_array[7] + lex_array[8]); 
  如果（tot3 == 1.0）
  {
   cerr << count << "\t";
   cerr << lex_array[0] << "/" << lex_array[1] << lex_array[2] << " + ";
   cerr << lex_array[3] << "/" << lex_array[4] << lex_array[5] << " + ";
   cerr << lex_array[6] << "/" << lex_array[7] << lex_array[8] << "\n";
  } 
  x_max = -1；
  對於（i = 0；i <（num_elements - 1）；i ++）
  {
   如果 (lex_array[i] < lex_array[i + 1])
    x_max = i;
  }
  如果（x_max> = 0）
  {
   y_max = 0;
   對於（i = x_max + 1；i < num_elements；i++）
   {
    如果（lex_array[x_max] < lex_array[i]）
     y_max = i;
   }
   保持 = lex_array[x_max];
   lex_array[x_max] = lex_array[y_max];
   lex_array[y_max] = 保持；
   if (x_max + 1 < num_elements - 1) // 反轉
   {
    對於（i = x_max + 1；i < num_elements；i++）
    {
     temp_array[i] = lex_array[i];
    }
    pt = 0;
    對於（i = x_max + 1；i < num_elements；i++）
    {
     lex_array[i] = temp_array[num_elements - 1 - pt];
     點++；
    }
   }
  }
  別的
   停止=真；
 } 當（停止==假）時；
}

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

[劇透=解]

設 j = 罐子的體積。

第一次裝滿酒壺後，酒壺中剩餘 10 加侖葡萄酒。用水取代葡萄酒後，葡萄酒與整桶葡萄酒的比例為 (10-j)/10。

壺舀出稀釋酒後，桶中剩餘10焦加侖稀釋酒。稀釋酒中純酒的含量可表示為：

(10-j)*((10-j)/10) = 5

(10-j)^2 = 50

j^2 - 20j + 100 = 50

j^2 - 20j + 50 = 0

j = (20 +/- 平方根(400-200))/2

j = (20 +/- 10*sqrt(2))/2

j = 10 +/- 5*sqrt(2)

壺不可能比桶子大，所以我們必須使用負號：

j = 10 - 5*sqrt(2) =~ 約 2.92893218813452 加侖。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

[劇透=答案]平均值=14.690219
中位數 = 14
模式 = 13

[劇透=解]

我不得不用馬可夫鏈來解決這個問題。下表根據左列的累積和顯示了每個最終總數的機率。首先從 13 到 18 的明顯情況開始。然後，對於 0 到 12 的累積和，取下面六個單元格的平均值。

可以在第一行找到初始狀態的機率，其總和為 0。

這個問題是在我的論壇“ 拉斯維加斯巫師”中提出並討論的。