請問巫師 #356
從一副52張牌的牌堆中抽出一張牌，並進行替換。需要抽取幾次才能抽出任意花色的13張牌？請用微積分來解答。
[劇透=解]
如果每單位時間內抽取一張牌，而不是每單位時間內只抽取一張牌，並且兩次抽取之間間隔一段隨機的時間，且平均時間遵循平均值為 1 的指數分佈，那麼答案將是相同的。
抽取任何給定卡片之間的時間平均值為 52。鑑於指數分佈的性質，在 t 個時間單位後未抽取卡片的機率為 exp(-t/52)。
經過 t 個時間單位後，任何特定卡片至少被抽出一次的機率是 1-exp(-t/52)。
經過 t 個時間單位後，至少抽出一次 13 張特定牌的機率是 (1-exp(-t/52))^13。
經過 t 個時間單位後，13 張特定牌中至少有一張不會被抽出，即 1-(1-exp(-t/52))^13。
經過 t 個時間單位後，每組花色中至少缺少一張牌的機率為 (1-(1-exp(-t/52))^13)^4。
將此方程式放入積分計算器中，注意將積分範圍設定為從 0 到無窮大，得出 712830140335392780521 / 6621889966337599800 =~ 107.6475362712258
[/spoiler]這個問題是在我的Wizard of Vegas論壇中提出並討論的。
在「問巫師」專欄第355欄中，有人問了一個關於魷魚遊戲中玻璃橋的問題。這個問題假設玩家記得安全階梯的位置。我的問題是，如果玩家不記得了，答案會是什麼？
讓我先重新表達一下您的問題，而不先提及先前的問題。
16名玩家在一座玻璃橋上進行遊戲。這座橋由18對玻璃板組成。每對玻璃板中，一塊是強化玻璃，可以支撐一名玩家的重量。另一塊是普通玻璃，在玩家的重量下會破碎。如果玩家踩到一塊普通玻璃，就會破碎並墜落身亡。
玩家必須按照預先指定的順序逐一前進。玩家通常不會記得安全台階的位置，除非一對台階中的一塊損壞，否則安全台階的位置顯而易見。
假設隨機猜測每對玻璃台階，預計有多少玩家可以安全通過？
請點擊下面的按鈕查看我的答案。
下表顯示了每位玩家（按遊戲順序）的生存機率。右下角單元格顯示預期倖存者人數為 0.23884892。
無記憶魷魚遊戲橋牌謎題
| 玩家 數位 | 可能性 生存 |
|---|---|
| 1 | 0.00000381 |
| 2 | 0.00000763 |
| 3 | 0.00001526 |
| 4 | 0.00003051 |
| 5 | 0.00006094 |
| 6 | 0.00011911 |
| 7 | 0.00023545 |
| 8 | 0.00046159 |
| 9 | 0.00089886 |
| 10 | 0.00175139 |
| 11 | 0.00345091 |
| 12 | 0.00693198 |
| 十三 | 0.01418276 |
| 14 | 0.02923634 |
| 15 | 0.05993762 |
| 16 | 0.12152477 |
| 全部的 | 0.23884892 |
我的解決方案使用了馬可夫鏈，這很難解釋，而且很耗時。
這個問題是我在我的專欄“ 拉斯維加斯巫師”中提出並討論的。
如果我在德州撲克中持有口袋對 K，並且有四個對手，那麼至少有一個對手持有口袋對 A 的機率是多少？
[劇透=解]
四位對手的八張牌中，四張是A的機率為combin(46,4)/combin(50,8) = 0.000303951。
由此可知，四張 A 牌同時出現在不同人手中的機率為 1-2^4*4!*4!/8! = 0.228571429。因此，另一種可能性，即至少有一對 A 牌出現的機率為 1 - 0.228571429 = 0.771428571。
四張 A 全部出局且至少有一手有兩張 A 的機率為 0.000303951 * 0.771428571 = 0.000234477。
四位對手的八張牌中，三張是A的機率為combin(4,3) * combin(46,5)/combin(50,8) = 0.010212766。
從那裡，他們兩個在同一手中的機率是 4*3*COMBIN(3,2)*5*COMBIN(4,2)/(COMBIN(8,2)*COMBIN(6,2)*COMBIN(4,2)) = 0.428571429。
出現三張 A 且其中兩張在同一手牌中的機率為 0.010212766 * 0.428571429 = 0.0043769。
四位對手的八張牌中，有兩張是A的機率為combin(4,2) * combin(46,6)/combin(50,8) = 0.104680851。
它們同時出現在同一手牌中的機率是 1/7 = 0.142857143。
兩張 A 牌同時出現且在同一手牌中的機率為 0.104680851 * 0.142857143 = 0.014954407。
將至少一名對手獲得兩張 A 的方式相加，我們得到的答案是 0.000234477 + 0.0043769 + 0.014954407 = 0.019565784。
[/spoiler]我在一家線上運動博彩公司看到一個促銷活動，如果NFL的輸贏盤投注中，所選球隊領先17分或以上，投注將自動計為贏家。這個活動的價值是多少？
如果所選球隊領先17分或以上後輸掉比賽，此優惠將使原本輸掉的投注變成贏利。一個很好的例子是投注第51屆超級盃亞特蘭大獵鷹隊。第三節，獵鷹隊一度以28比3領先，領先25分。然而，他們最終以34比28落敗。
為了回答這個問題，我分析了2000年至2015年NFL每個賽季的4131場比賽。下表顯示了獲胜球隊在比賽過程中的最大分差。機率列過濾掉了五場平手的比賽。
克服最大赤字
| 赤字 | 遊戲 | 可能性 |
|---|---|---|
| 領帶 | 5 | 0.000000 |
| 0 | 1804 | 0.437227 |
| 1 | 100 | 0.024237 |
| 2 | 二十九 | 0.007029 |
| 3 | 560 | 0.135725 |
| 4 | 235 | 0.056956 |
| 5 | 23 | 0.005574 |
| 6 | 131 | 0.031750 |
| 7 | 622 | 0.150751 |
| 8 | 三十九 | 0.009452 |
| 9 | 三十四 | 0.008240 |
| 10 | 195 | 0.047261 |
| 11 | 84 | 0.020359 |
| 12 | 14 | 0.003393 |
| 十三 | 49 | 0.011876 |
| 14 | 104 | 0.025206 |
| 15 | 10 | 0.002424 |
| 16 | 6 | 0.001454 |
| 17 | 三十六 | 0.008725 |
| 18 | 14 | 0.003393 |
| 19 | 2 | 0.000485 |
| 20 | 4 | 0.000969 |
| 21 | 22 | 0.005332 |
| 22 | 0 | 0.000000 |
| 23 | 2 | 0.000485 |
| 24 | 5 | 0.001212 |
| 二十五 | 1 | 0.000242 |
| 二十六 | 0 | 0.000000 |
| 二十七 | 0 | 0.000000 |
| 二十八 | 1 | 0.000242 |
| 全部的 | 4131 | 1.000000 |
「平手」這一行代表16個賽季中只有5場比賽以平手結束，所以我們不計算這些比賽。 「0」這一行代表獲胜球隊從未落後的比賽佔比為43.7%。
表格顯示，有87場比賽中，一支球隊輸掉17分或以上，然後又贏了。在已結算的4126場比賽中（即不包括5場平手），這一機率為2.11%。
考慮到這些情況會將輸贏轉化為贏，我們將這個機率乘以一，得出的數值為4.22%。輸贏盤的賭場優勢與讓分盤的賭場優勢大致相同，皆為4.76%。減去4.22%，我們得到本次促銷活動中賭場優勢非常低，僅0.54%。